第七章——离散时间系统Z域分析.doc

　第七章 离散时间系统的 Z 域变换 7.1 Z Z 变换的定义

　（ 一）定义

　 单边 Z Z 变换 ：

　         201 20nnx xX z x n x x n zz z         双边 边 Z Z 变换 ：

　     nnX z x n x n z       （ 二）常用函数的 Z Z 氏 变换

　[1]

　单位样值 函数

　   01nnn n z         [2]

　单位阶跃序列

　 111 1zu nz z      [3]

　斜变序列

　  21011nnnu n nzz        2 23011nnz zn u n n zz   [4]

　指数序列

　   111nza u n z aaz z a      00jjnze u nz e   [5]

　正余 弦序列

　     10001 2 2 2 20 0cos 1 coscos1 2 cos 2 cosnz z zn u n zz z z z                         10 001 2 2 2 20 0sin sinsin1 2 sin 2 cosnz zn u n zz z z z                  

　7.2 Z Z 变换的收敛域

　（ 一）定义

　 对于任意给定的有界序列   x n ，使 Z 变换定义式级数收敛的所有 Z 值的集合，称为 Z 变换   X z 的收敛域。

　（ 二）几类序列的 Z Z 变换 收敛域问题

　1.

　有限长序列

　 1 2n n n  

　 当1 20, 0 n n   时，收敛域为 0 z   ； 当1 20, 0 n n   时，收敛域为 z  ； 当1 20, 0 n n   时，收敛域为 0 z  。

　2.

　右边序列

　   10, x n n n  

　 右边序列的收敛域是半径为1 xR 的圆外部分。

　当10 n  时，收敛域为1 xz R  ； 当10 n  时，收敛域为1 xR z   ； 3.

　左边序列

　   20, x n n n  

　 左边序列的收敛域是半径为2 xR 的圆内部分。

　当20 n  时，收敛域为20xz R   ； 当20 n  时，收敛域为2 xz R  。

　4.

　双边序列

　  n  

　 双边序列的收敛域通常是环形1 2 x xR z R  

　 注：通常，收敛域以极点为边界。对于多个极点的情况，右边序列的收敛域是从   X z 最外面（最大值）有限极点向外延伸至 z  （可能包括  ）； 左边序列的收敛域是从   X z 最里面（最小值）非零极点向内延伸至 0 z  （可能包括 0 z  ）。

　7.3 逆 逆 Z Z 变换

　（ 一）定义

　    1112 jnCx n X zX z z dz    （ 二）留 数 法

　     1 11Re2 jmn nCm z zx n X z z dz s X z z       上式中的 C 表示收敛域内的围线，该式表示围线 C 内各极点的留数之和。

　如果  1 nX z z在mz z  处有 S 阶极点，此时该极点对应的留数等于      11 111Re1 !z z mmssn nmsz zds X z z z z X z zs dz           若只含有一阶极点，即 S=1，上式可以简化为      1 1Rez z mmn nmz zs X z z z z X z z          例

　求     2, 11 0.5zX z zz z  的逆变换。

　解 ：由上式可知   X z 的逆变换为    1Re1 0.5mnmz zzx n sz z     在收敛域内的围线 C 包含了 1, 0.5 z z   两个一阶极点，可求得各极点所对应的留数为   1 111Res 21 0.5 0.5n nzzz zz z z           1 10.50.5Res 0.51 0.5 1n nnzzz zz z z        

　因为 1 z  ，所以为因果序列，由此可以写出       2 0.5nx n u n    （ 三）

　部分分式 展开法

　Z 变换的基本形式为mzz z ，在利用 Z 变换的部分分式展开法时，通常先将  X zz展开，然后每个分式乘以 Z，这样对于一阶极点，   X z 便可以展开成mzz z 形式。

　例

　用部分分式展开法求解  221.5 0.5zX zz z  1 z  的逆变换   x n 。

　解 解 ：

　：

　由 题 可 知    2 221.5 0.5 1 0.5z zX zz z z z    ， 只 包 含 一 阶 极 点1 20.5, 1 z z   。得到以下展开式  1 20.5 1X z A AZ z z   式中   10.50.5 1zX zA zZ         211 2zX zA zZ      故   X z 展开为  21 0.5z zX zz z   因为 1 z  ，所以   x n 是因果序列，最后得到序列     2 0.5 n x n u n  

　（ 三）常见逆 Z Z 变换

　逆 逆 Z Z 变换 表一

　Z 变换（ z a  ）

　序列 1zz   u n

　zz a   na u n

　 22zz a      1nn a u n 

　 11mmzz a      1 2!nn n n ma u nm    1b b zz a a z a            n b ba u n na a   

　 11mzz     1 1!n n n mu nm     2azz a   nna u n

　逆 逆 Z Z 变换 表 二

　Z 变换（ z a  ）

　序列 1zz   1 u n   

　zz a    1na u n   

　 22zz a      1 1nn a u n    

　 11mmzz a      1 21!nn n n ma u nm     

　1b b zz a a z a             1n b ba u n na a    

　7.4

　Z Z 变换 的 基本性质

　（ 一）线性

　         1 2ax n by n aX z bY z R Z R          （ 二）时域特性

　[1]双边 Z 变换    mx n m z X z         mx n m z X z      

　 [2]单边 Z 变换        10mm kkx n m u n z X z x k z                  1m kk mx n m u n z X z x k z            （ 三）Z Z 域 微分

　   mmdn x n z X zdz         （ 四）Z Z 域 尺度变换

　 1 2nx xz za x n X R Ra a                na x n X az    （ 五）

　初值 定理

　（ 六）终 值 定理

　     1lim lim 1n zx n z X z     

　（ 七）时域 卷积 定理

　        x n h n X z H z       （ 八）Z Z 域 卷积定理

　     1112 jCzx n h n X v H v dvv       

　    0 limzx X z

　5 7.5 差分 方程的 的 Z Z 域 求解

　对于二阶离散时间 LTI 系统，描述系统的差分方程为          1 0 1 0, 0 y t a y t a y t bx t b x t t        

　   0 , 0 y y  为系统的初始状态。记            , y t Y s x t X s   L L 。根据单边拉普拉斯变换的时域微分特性，有                  20 , 0 0 y t sY s y y t s Y s sy y          L L