目 录 中文摘要 ............................................................................................................................ III
ABSTRACT ...................................................................................................................... III
第一章 绪论 ........................................................................................................................ 1
1.1 研究背景及意义
.................................................................................................................. 1
1.2 石墨烯的简介
...................................................................................................................... 2
1.3 基于石墨烯的表面等离子光波导的研究现状
............................................................. 3
1.3.1
基于石墨烯的槽波导
................................................................................................. 3
1.3.2 涂覆石墨烯的纳米线波导
......................................................................................... 4
1.3.3 基于涂覆石墨烯的混合波导
..................................................................................... 6
1.3.4 涂覆石墨烯的 hBN 纳米线对波导
.......................................................................... 7
1.3.5 涂覆石墨烯的 hBN 多层介质波导
.......................................................................... 8
1.4 分析方法
.............................................................................................................................. 8
1.5 论文的主要内容
................................................................................................................. 9
第二章 涂覆单层石墨烯的椭圆形电介质纳米线光波导的模式特性分析 .................. 11
2.1
理论模型及计算方法
...................................................................................................... 11
2.2
结果与讨论
........................................................................................................................ 14
2.2.1
确定最低阶模式
........................................................................................................ 14
2.2.2
工作波长对模式特性的影响
.................................................................................. 14
2.2.3
半长轴对模式特性的影响
...................................................................................... 16
2.2.4
半短轴对模式特性的影响
...................................................................................... 18
2.2.5
石墨烯的费米能对模式特性的影响
..................................................................... 20
2.3 结构对比
............................................................................................................................ 21
2.3.1
波长对两个结构的影响
........................................................................................... 21
2.3.2 石墨烯的费米能对两个结构的影响
...................................................................... 22
2.4
本章小结
............................................................................................................................ 22
第三章 涂覆双层石墨烯的共焦椭圆介质纳米线的模式分析 ...................................... 24
3.1
理论模型及计算方法
...................................................................................................... 24
3.2
结果与讨论
........................................................................................................................ 27
3.2.1
确定最低阶模式
........................................................................................................ 27
3.2.2
工作波长对模式特性的影响
.................................................................................. 28
3.2.3
石墨烯的费米能对模式特性的影响
..................................................................... 29
3.2.4
半长轴间距对模式特性的影响
.............................................................................. 31
3.2.5 内层椭圆半长轴对模式特性的影响
..................................................................... 33
3.2.6
内层椭圆半短轴对模式特性的影响
..................................................................... 34
3.3
结构对比
............................................................................................................................ 36
3.3.1
波长对两个波导的影响
........................................................................................... 36
3.3.2
石墨烯的费米能对两个波导的影响
..................................................................... 37
3.4
本章小结
............................................................................................................................ 37
第四章 总结与展望 .......................................................................................................... 39
参考文献 ............................................................................................................................ 41
攻读学位期间取得的研究成果 ........................................................... 错误! 未定义书签。
致
谢 ............................................................................................... 错误! 未定义书签。
个人简况及联系方式 ........................................................................... 错误! 未定义书签。
承
诺
书 ........................................................................................... 错误! 未定义书签。
学位论文使用授权说明 ....................................................................... 错误! 未定义书签。
Contents
Chinese Abstract ............................................................................................................... III
ABSTRACT ...................................................................................................................... III
Chapter 1 Introduction ...................................................................................................... 1
1.1 Research background and significance
............................................................................. 1
1.2 Introduction to graphene
..................................................................................................... 2
1.3 Research status of optical waveguide based on graphene surface polaritons
.............. 3
1.3.1 Graphene based groove waveguides
.......................................................................... 3
1.3.2
Graphene-coated nanowire waveguides
..................................................................... 4
1.3.3
Graphene-based hybrid waveguides
........................................................................... 6
1.3.4
Graphene-coated hexagon boron nitride nanowire pairs waveguide
..................... 7
1.3.5
Multilayer dielectric
waveguide of graphene-coated hexagon boron nitride
........... 8
1.4 Research method
.................................................................................................................. 8
1.5 Main research contents
........................................................................................................ 9
Chapter 2 Modes characteristics analysis of optical waveguides based on graphene-coated ellitical dielectric nanowire ............................................................ 11
2.1 Theoretical model and calculation method
..................................................................... 11
2.2 Results and discussion
....................................................................................................... 14
2.2.1
Determination of the lowest order modes
................................................................ 14
2.2.2 Effect of operating operating on mode characteristics
......................................... 14
2.2.3 Effect of semi-major axis on mode characteristics
............................................... 16
2.2.4 Effect of semi-minor axis on mode characteristics
............................................... 18
2.2.5 Effect of the Fermi energy of graphene on the mode characteristics
.................. 20
2.3 Comparison with nanowire
............................................................................................... 21
2.3.1 Effect of wavelength on two structures .......................................................................... 21
2.3.2 Effect of Fermi energy of graphene on two structures ................................................... 22
2.4 Summary of this chapter
................................................................................................... 22
Chapter 3 Modes characteristics analysis of waveguides based on three graphene-coated dielectric nanowires with axis non-coplanar ................................ 24
3.1 Theoretical model and calculation method
..................................................................... 24
3.2 Results and discussion
....................................................................................................... 27
3.2.1 Determination of the lowest order modes
................................................................ 27
3.2.2 Effect of operating wavelength on mode characteristics
....................................... 28
3.2.3 Effect of the Fermi energy of graphene on the mode characteristics
................... 29
3.2.4 Effect of distance between semi-major axes on mode characteristics
................. 31
3.2.5 Effect of the semi-major axis of the inner ellipse on mode characteristics
......... 33
3.2.6 Effect of the semi-minor axis of the inner ellipse on mode characteristics
........ 34
3.3 Structure comparison
......................................................................................................... 36
3.3.1 Effect of wavelength on two structures .......................................................................... 36
3.3.2 Effect of Fermi energy of graphene on two structures ................................................... 37
3.4 Summary of this chapter
................................................................................................... 37
Chapter 4 Summary and expectation ............................................................................ 39
References ......................................................................................................................... 41
Research achievements ....................................................................... 错误! 未定义书签。
Acknowledgments ................................................................................ 错误! 未定义书签。
Personal profiles and contact details ................................................. 错误! 未定义书签。
Letter of Commitment ........................................................................ 错误! 未定义书签。
Authorization statement ..................................................................... 错误! 未定义书签。
I
中
文
摘
要
石墨烯是一种独特的光子学和电子学材料，作为一种单层碳原子的二维材料，与传统的光学材料相比，石墨烯有着诸多独特的光学特性，包括：可调的表面电导率，在中红外波段有超强的模式束缚性与电磁波耦合能力，是光子、电子学器件中广泛应用的一种新型材料，目前在波导、微带天线、调制器、角动量发生器、热电子发射、传感器、吸收器等方面已被广泛应用。石墨烯可以作为表面等离子激元的传输载体，常常被用来代替传统金属材料如：金、银、铜等。涂覆石墨烯的表面等离子（GSP）波导比基于金属的波导有更多的优越性，包括：频带可调范围宽（红外到太赫兹波段），超强的模式约束力，欧姆损耗低，利用这些特性，大量基于石墨烯的表面等离子波导结构被相继提出。
本文中，首先对石墨烯的一些独特的光学特性及 GSP 光波导的研究现状进行详细论述。在此基础上，设计了两种不同结构的涂覆石墨烯的椭圆形电介质纳米线光波导，通过改变纳米线的不同参数，采用分离变量法和有限元法，借助 Mathieu 函数详细地研究了两种椭圆纳米线波导的模式特性。具体工作如下：
（1）设计了一种涂覆单层石墨烯的椭圆形电介质纳米线光波导。研究了工作波长、结构参数以及石墨烯的费米能对前 5 个模式的有效折射率实部、传播长度与品质因数等模式特性的影响。比较了在不同工作波长与石墨烯的费米能下，圆形电介质纳米线和椭圆形电介质纳米线的有效折射率实部和传播长度，验证了椭圆形电介质纳米线波导的优势所在。
（2）设计了一种涂覆双层石墨烯的共焦椭圆形电介质纳米线光波导，研究了工作波长、结构参数以及石墨烯的费米能对前 5 个模式的有效折射率实部、传播长度与品质因数的影响。该波导支持的等离子模式特性可通过工作波长、半长轴间距、石墨烯的费米能以及结构参数来调节。与涂覆单层石墨烯的椭圆形电介质纳米线相比，这种新型的波导结构的模式约束力强，传输损耗低，传播长度长，工作波长与石墨烯的费米能级可调范围广。
本文工作可以为基于涂覆石墨烯的电介质纳米线的光波导的设计、制作和应用提供理论基础，在保偏传输、短距离传输、存储器、等离子共振、探测器和微带天线等领域有着潜在的应用前景。
关键词：石墨烯；椭圆；纳米线；波导；分离变量法
II
ABSTRACT
Graphene, a newly 2D material, consists of monolayer carbon atoms arranged in honeycomb lattice tightly, which has many unique optical properties compared with traditional optical materials, including adjustable surface conductivity, stronger mode confinement and electromagnetic(EM) wave coupling ability in the mid infrared band. It is widely used in photonics and electronics devices. At present, there are many works on waveguide, microstrip antenna, modulator, angular momentum Generator，hot-electron emission, sensor， absorber, and so on. Graphene can be used as the transport carrier of surface plasmon, and is often used to replace traditional metal materials, such as gold, silver, copper, etc. Graphene-coated surface plasmon (GSP) waveguides have additional advantages over traditional metal waveguides, for instance, wide adjustable frequency band (infrared to terahertz band), stronger mode confinement, lower ohmic loss, a large number of graphene based surface plasmon waveguides have been proposed one after another based on these characteristics.
In this paper, firstly, superior characteristics of graphene are briefly introduced, and the research status graphene based dielectric waveguide are discussed in detail. On this basis, two kinds of graphene-coated elliptical dielectric nanowire waveguides are designed. By changing the different parameters of the nanowire, the mode characteristics of the waveguides are researched in detail with the Mathieu function by using the separation of variables method (SVM) and the finite element method (FEM). The specific works are as follows:
(1) In this section, an elliptical dielectric monolayer grapheme coated nanowire optical waveguide is designed. The influence of the operating wavelength, structure parameters and the Fermi energy of graphene on the real part of the effective refractive indexes ( Reeffn ), propagation lengths
II
propL
and the figure of merit (FOM) of the first five modes are investigated. The influence of the operating wavelength and the Fermi energy of graphene on the characteristics of circular dielectric nanowires and that of ellipitcial dielectric nanowires are compared. Then, the advantages of elliptical dielectric nanowire over the circular dielectric nanowire are verified. (2) In this section, a confocal elliptical dielectric nanowire coated with double-layer graphene (CEDNG) surface plasmon waveguide is designed. The influence of the operating wavelength, structure parameters and the Fermi energy of graphene on Reeffn , propL
and FOM of the first five modes are investigated. The mode properties of the waveguide can be changed by tuning the operating wavelength, the Fermi energy of graphene, the distance between semi-major axes d and the geometric parameters. Compared with the elliptical dielectric nanowire coated with monolayer graphene (EDNG), the designed waveguide has advantages: wider adjustable range of opraeting wavelength and Fermi energy level, stronger mode confinement, lower transmission loss, and larger propagation length. This work can provide a theoretical basis for the work, fabrication and application of optical waveguides based on graphene-coated elliptical dielectric nanowires, and can be used in Polarization-maintaining transmission, short distance transmission, memory, plasmon resonances, detectors and microstrip antennas.
Key word: Graphene; Ellipse; Nanowire; Waveguides; Separation of Variables Method
第一章 绪论 1 第一章 绪论 1.1 研究背景及意义 光波导是集成光学系统中的一种基本组成器件，一般由电介质构成，可以在中红外到太赫兹波段传输光波、电磁波。其传输原理是：在不同折射率的电介质材料分界面上，利用光的全反射现象使光波在介质材料表面及附近一定区域内传播。求解光波导模式的方法有射线理论分析法、光束传输方法、Macatili 方法、等效折射率法(EIM)、波动理论分析法与时域有限差分方法 [1] 。在天线 [2-4] 、半加器 [5] 、完美吸收器 [6] 、探测器 [7,8] 、耦合器 [9] 、调制器 [10-13] 以及谐振器 [14] 中被广泛应用。但其发展依然面临着一大严重问题：传输过程中存在着巨大的传播损耗和能量衰减。因此，设计出可以有效降低传输损耗以及可调范围广的光波导对集成光学系统的发展有极大的推动作用。
表面等离子激元（Surface Plasmon polaritons, SPPs）是一种可以沿着电介质表面和金属表面传播的电磁表面波，可以被金属表面的自由电子与光波激发 [15] 。这种波的横向分布小于波长量级，突破了衍射极限 [16] ，可以用于光电子器件及光电子集成器件的制作，是目前纳米光子学的一个重要的研究方向。SPPs 可以打破衍射极限，在亚波长范围内约束和控制光波的传输 [17] ，利用这一优势，SPPs 在纳米光子学中有着重要的应用前景。众所周知，SPPs 的传播损耗与模式约束是一对矛盾的存在，意味着较强的模式束缚必然会增大传输损耗（即传播长度变短），这就需要在损耗和模式约束之间实现一个较好的权衡。为此，金属槽 [18,19] 、金属-绝缘体-金属 [20,21] 、绝缘体-金属-绝缘体 [22,23] 、基于绝缘介质的金属 [24] 和金属楔形 [25-27] 等表面等离子波导（SPWs）结构应运而生，但这些波导的传播损耗较高。针对这个问题，模式约束相对较弱，传播损耗较低的介质波导也随即产生，例如平板波导 [28] 和光子晶体光纤 [29] 等。
之后，有学者将介质波导与 SPWs 的导引机制进行整合，开辟了波导结构的一个新的分支--混合等离子波导（HPWGs），能够实现传播损耗和模式约束之间更好的权衡，但这类波导的传播损耗依然较大，并且在工艺制造上极为复杂、困难，制造成本高，通常是基于贵重金属或传统介电材料，而这些材料都具有不可调谐的特点，也就意味着这类波导一经制造其性能便不可更改。
为了解决以上问题，石墨烯因其独特的三大优势：超强的模式约束、相对较大的传播长度、可调的化学势和载流子迁移率被广泛关注 [30] 。因此,石墨烯材料被视
第一章 绪论 2 为从中红外到太赫兹波段最具前景的材料之一。
1.2 石墨烯的简介 石墨烯，是由单层碳原子紧密堆积成蜂窝状的二维晶体结构 [31-33] ，周围碳原子紧密环绕成六边形平面，相当于一个苯环，各个碳原子之间杂化方式为 sp 2 ，碳-碳键长度约为 0.142 nm，单层石墨烯的厚度为 0.35 nm，仅为一个原子的厚度。微观层面，石墨烯有着独特的晶格结构，每个晶格内有三个 σ 键，形成了稳定的六边形结构，并且在垂直于晶面方向上 π 键的存在，又使其具备了导电性能。石墨烯层片上存在大量的波纹结构，独立存在的石墨烯层片，正是通过这种波纹结构在其表面形成褶皱，或附着在其他分子表面来维持自身的稳定性。当有外力作用在表面时，石墨烯片表面随即发生弯曲褶皱，用以缓冲外力作用，以实现保持原有结构即维持自身的稳定性的效果 [16] 。
石墨烯在 THz 和红外波段范围内具有类金属性质，在其表面可以激发 SPPs [34 ] 。石墨烯具有优异的光学性能 [35,36] 。有实验及理论结果表明，石墨烯具有极强的透光性，以单层石墨烯片为例，当单层石墨烯被可见光照射时，有 2.3%的可见光会被吸收，也就意味着有高达 97.7%的可见光会被透射，并且随着石墨烯薄膜层数的增加，石墨烯薄膜的透射率将以 2.3%的步长逐渐减小 [37] 。根据这一特点我们也可以通过石墨烯薄膜对可见光透射率的值估算石墨烯薄膜的层数。
与贵重金属相比，石墨烯对模式的束缚性更强，传播损耗相对较小，并且其表面电导率可以通过改变其掺杂浓度或栅极偏压的方式来灵活调节。石墨烯的表面电导率g 由带内电导率intra 和带间电导率inter 两部分构成（int int g ra er ），与工作角频率 ω、环境温度 T 和石墨烯的费米能 E F 有关，并由 Kubo 公式 [38] 得到：
2B F2B22 ( )( ) 2 intraje k T Eln coshj k T
(1.1) 2 2F F2 2B F B2 ( 2 ) 1 1( )4 2 2 2 ( 2 ) (2 ) interE E e jarctan lnk T E k T
(1.2) 其中 e 为电子的电荷量， 为约化后的普朗克常量，Bk 为玻尔兹曼常量，环境温度T=300 K，ω=2πf 是工作角频率，122 10 rad/s 是载流子散射率，FE 为石墨烯的费米能。
石墨烯支持的 SPPs 有其自身的独特性：强模式约束、长传播长度、可调的费米能级和载流子迁移率。与传统的基于贵重金属的表面等离子波导相比，基于石墨烯
第一章 绪论 3 的表面等离子波导有其独特的光学特性：频带范围宽，超强的模式约束力，欧姆损耗低 [39] 。研究人员利用这些特性，设计许多了基于石墨烯的表面等离子波导结构，包括石墨烯片 [40] ，石墨烯纳米带 [41] ，石墨烯槽/楔 [42,43] ，石墨烯纳米线 [44,45] 等等。并且，基于石墨烯的表面等离子（GSPs）在光子学中有着广泛的应用，包括光波导、调制器、谐振器、半加器、高密度集成 [46,47] 、空间开关、天线、热电子发射 [48] 、角动量发生器 [49] 、吸收器、探测器和传感器等等 [50] 。
其中，基于 GSPs 的光波导，由于具有深度亚波长约束，其波长比自由空间中的波长小两个数量级，适合短距离传输，因此出现了许多关于 GSPs 波导的广泛研究，如石墨烯纳米带波导、石墨烯纳米线波导、石墨烯槽/楔波导、涂覆多层石墨烯的纳米线波导以及基于石墨烯的混合等离子波导。
1.3 基于石墨烯的表面等离子光波导的研究现状 近年来，基于石墨烯材料的电介质波导在微型集成光子学芯片中已经被广泛研究。由于石墨烯具有良好的柔性，结合实际应用，石墨烯可以制成各式不同的几何形状，而不同的几何结构对波导的模式性能也会产生影响。最初研究的波导结构是石墨烯纳米带，众所周知，石墨烯必须有固体衬底支撑，而石墨烯的理想状态是无限宽、独立存在的薄膜，但这种状态在自然界中是不存在的，也就无法在集成光学中实现。对于光子学器件来说，基于石墨烯的波导的制备可以通过化学气相沉积法（CVD）在介质衬底上层得到，形成基于石墨烯的波导。根据结构的不同，大致可分为以下几类：基于石墨烯的槽波导、石墨烯纳米线波导、基于石墨烯的混合波导，以及近年来用石墨烯包覆的六方氮化硼(hBN）波导等，还可选用不同电介质层作为衬底，通过对结构与材料的不断地优化，研究波导的光学性能。
1.3.1 基于石墨烯的槽波导
图 1.1 基于石墨烯的三槽波导横截面示意图[42]
第一章 绪论 4 2016 年 Rui Xing 和 Shuisheng Jian 等人设计了一种具有场增强功能的涂覆石墨烯的三槽波导 [42] 。图 1.1 所示，为该波导横截面示意图，由三个凹槽组成，在其内部侧表面涂覆石墨烯。电场可被紧密约束在沟槽中，中间沟槽的场增强可达 2000倍。讨论了用贵金属金替换石墨烯时场增强的效果，较高频率下涂覆石墨烯的比涂覆金的场增强更高。此外，该波导结构简单，在光电器件和生物传感中具有广阔的应用前景。
图 1.2 新型混合石墨烯槽波导(HGDSW)横截面示意图[51]
2019 年，Xueqing He 等人设计了如图 1.2 所示的新型石墨烯混合槽波导 [51] ，研究了基础混合模式（TM 极化）的模式特征性，包括有效折射率、归一化模式面积、传播长度。结果表明，所提出的 HGDSW 中的混合模式可以通过该波导的几何结构参数和石墨烯的化学势来调节。此外，HGDSW 还能支持 THz 波长下的低损耗和有效的深度亚波长光传输，同时达到了整体高性能。此外，还可以实现两个平行的HGDSWs 之间的超低串扰。HGDSW 在光场的超紧密集成中有潜在能力。
1.3.2 涂覆石墨烯的纳米线波导
图 1.3 GN 的横截面示意图[45,52]
第一章 绪论 5 涂覆石墨烯的纳米线波导是近年发展起来的另一个传输电磁波的波导的分支。这类波导是在单根或多根对称、非对称分布的圆柱形电介质纳米线上涂一层、两层或多层石墨烯构成。由于没有边缘效应引起的损耗，这种波导受到了广泛的关注。现在就其中几个结构进行简要介绍。
图 1.3 为两个涂覆石墨烯的电介质纳米线（GN）的横截面示意图。图 1.3(a)为Yixiao Gao 等人所做工作 [45] 。主要对 GN 的等离子模的 5 个最低模式进行研究，得出了一种计算各阶模式截止波长的公式与可以灵活调节的单模工作区域，实现了强模式约束，并减少不必要的模式损耗，计算结果与模拟结果实现了完美匹配，在集成光学器件和等离子激元传感器中有潜在应用。2019 年 Zhiyong Wu 等人对石墨烯纳米线的类光子模进行了研究 [52] ，如图1.3(b)该文章对GN的色散方程进行了求解。研究发现，在该波导中，除了表面等离子极化(SPP S )外，还存在另一个导模分支，称为类光子模。这种类光子模的传播距离可以比 SPP S 大 5 个数量级。通过改变石墨烯的费米能，可以在 10 − 4 ~1m 范围内对其进行调制。在调制过程中，模场分布基本保持不变。在 COMSOL 数值模拟与物理解析计算分析的基础上，进一步论证了类光子模的传播损耗不仅与石墨烯的化学势有关，而且与石墨烯内部的模式功率比有关。类光子模在纳米级光开关、调制器和磁场开关中有着巨大的应用潜力。
图 1.4 涂覆两层石墨烯的纳米线波导结构示意图[53,54]
图1.4(a)为2015年Jianfeng Yang等人设计的涂覆两层石墨烯的圆柱形电介质纳米线波导（CGPW）模型 [53] 。当涂覆双层石墨烯的圆柱形电介质纳米线的芯区与中间层为同种介质时，有超强的模式约束，其模式特性受工作频率、石墨烯的费米能及耦合距离的影响，可以记录光谱强度的变化，并有效监测纳米级分子，还可用作高度敏感的宽带分子传感器。图1.4(b)所示结构为2017年Jianping Liu等人设计 [54] ，该结构中芯区与中间层为不同介质，可实现长传播长度与深度亚波长约束，有较小的归一化模式面积，可实现光子电路的高密度集成。二者都利用分离变量法与
第一章 绪论 6 Maxwell Equations 推导出色散方程 [55] ，通过 FEM 数值分析对模型的色散关系进行了研究，并与分离变量法的计算结果一致。
2019年Da Teng等人对圆形介质纳米线波导进行了总结研究 [56] ，如图1.5所示。将涂覆石墨烯的单根纳米线、纳米线对的对称与非对称结构以及椭圆与圆形纳米线的组合方式进行综合对比，如图 1.5(b)所示。通过调节该波导结构的几何参数和石墨烯的表面电导率，传播长度可达 9 μm 左右，大于涂覆石墨烯的圆形纳米线等离子模式。同时，有效模式面积仅为 10 -4 A 0 ，比石墨烯包覆的圆形纳米线等离子体模式小一个数量级。并且，增大石墨烯的化学势可以进一步提高该波导的传播长度。此外，所提出的涂覆石墨烯的纳米线对具有较好的制备耐受性。利用石墨烯等离子在深亚波长尺度上操纵中红外波可能在可调谐集成纳米光子器件和红外传感中提供潜在的应用。
图 1.5 (a)GCNWD 的横截面示意图;(b）三种对比结构[56]
1.3.3 基于涂覆石墨烯的混合波导
图 1.6 (a)GHPW 的横截面示意图; (b)GHPW 的 3D 结构图[57]
2018年Xueqing He与Tigang Ning等人设计了一种新型的基于石墨烯等离子混
第一章 绪论 7 合波导(GHPW)
[57] ，它由高折射率圆柱形介电波导与低折射率矩形波导表面包覆石墨烯的衬底组成，如图 1.6 所示。详细分析了模态特性对所提出结构的几何依赖性，表明所提出的 GHPW 具有较低的传播损耗，因此传播距离相对较长。工作频率为3THz 时，对于 TM 极化，石墨烯与高折射率 GaAs 之间的低折射率间隙区域有超强的模式束缚性，归一化模面积小至 0.0018(λ 2 /4)。除了能够高密度集成外，还可分析由两个 GHPWs 组成的定向耦合器之间的串扰。当相邻 GHPWs 之间的中心距为 32 μm 时，这种结构表现出超低串扰，这对于构建各种太赫兹集成器件具有很大的应用前景。
图 1.7 基于石墨烯的混合等离子太赫兹波导（a）3D 几何结构图；（b）2D 横截面示意图[58]
2019 年 Xueqing He 等人在图 1.6 所示结构的基础上，报道了一种新型的基于石墨烯的混合等离子体波导 [58] (GHPW)，如图 1.7 所示。数值模拟结果表明，通过调节该波导的几个关键结构参数和石墨烯的费米能，混合等离子模(TM)的尺寸可减小到~10− 4 (λ 2 /4)，同时传播长度可达几十微米。此外，还分析了放置在同一衬底上的两个相邻 GHPWs 之间的串扰，实现了超低串扰。该方案有望在太赫兹频段内基亚波长等离子体波导实现各种高性能纳米光子分量。
1.3.4 涂覆石墨烯的 hBN 纳米线对波导
图 1.8 GHNP 的结构示意图[59]
第一章 绪论 8 六方氮化硼(hexagonal Boron Nitride, hBN)有白色石墨之称，具有类似石墨的层状结构，是一种各向异性材料，有良好的电绝缘性、导热性和耐化学腐蚀性，化学性质稳定，有天然的双曲性。石墨烯包覆的 hBN 介质波导是近年发展起来的另一个分支。2018 年 Shen Ye 与 Zixiao Wang 等人研究了石墨烯包覆的 hBN 单根介质纳米线中的等离子声子极化子(SPP-PHP)模式和声子极化子(PHP)模式 [59] ，以及石墨烯包覆的hBN介质纳米线对(SPP-PHP -GHNP)支持的5个最低阶等离子声子极化子模式和石墨烯包覆的 hBN 介质纳米线对(GHNP)支持的最低 5 阶声子极化子模式的场分布分别进行了论证和分析，其结构示意图如图 1.8。通过 COMSOL 数值模拟结果表明，SPP-PHP-GHNP 模式 0 具有最强的约束和最小的损耗。此外，通过控制 GHNP的几何参数，SPP-PHP -GHNP 模式 0 的场增强可达到 10 5 以上。同时，还给出了石墨烯的费米能对电场增强的影响。所提出的结构可改善石墨烯-hBN 基于光电器件的发展。
1.3.5 涂覆石墨烯的 hBN 的多层介质波导 2019 年 Yaser Hajati 等人设计了一种新型的高约束低损耗中红外混合等离子-声子波导，在介质衬底上方加入 hBN 与石墨烯 [60] ，如图 1.9 所示。该课题设计了两种混合等离子-声子波导，分别由 hBN-石墨烯-hBN 在衬底上(hGhS)和石墨烯-hBN-石墨烯-hBN 在衬底上组成(GhGhS)。并主要研究了石墨烯的费米能和 hBN 的厚度对该波导模式特性的影响；比较了 GhGhS 和 hGhS 波导的模式特性，结果表明在 hGhS波导表面包覆一层石墨烯之后，可提供更长的传播长度和更好的光学性能，不仅改善了模式约束和传播损耗之间的平衡，还实现了石墨烯与 hBN 的等离子-声子模式的强耦合和杂交。
图 1.9 hGhS 波导和 GhGhS 波导的横截面示意图[60]
1.4 分析方法 前人对于涂覆石墨烯的纳米线波导的研究大多数利用的是有限元法，用仿真软
第一章 绪论 9 件 COMSOL Multiphysics 进行灵活的网格划分，数值模拟结果比较精确。也有学者利用分离变量法，借助 Bessel 函数对圆柱形纳米线作解析计算，再将数值模拟结果与半解析结果进行拟合。此前，翟利与薛文瑞等人通过基于 FEM 的仿真软件COMSOL Multiphysics 对涂覆石墨烯的并行椭圆介质纳米线 [46] 、内壁涂覆石墨烯的双椭圆中空介质纳米线的模式特性进行了仿真模拟 [61] ，但尚未有研究小组对椭圆形介质纳米线光波导的模式特性进行解析研究。
分离变量法是指在椭圆柱坐标系中,借助 Mathieu 函数与 Maxwell"s equations，利用分离变量法,把涂覆单层石墨烯的椭圆形电介质纳米线和涂覆双层石墨烯的共焦椭圆电介质纳米线支持的 SPPs 模式进行展开，利用边界条件，得到模式传输特性。这种方法将磁场和电场分为奇对称和偶对称形式，利用结构的对称性从而简化计算，适合本文所提出的椭圆形介质纳米线波导结构。
本文采用分离变量法(Separation of Variable Method，SVM)和有限元法(Finite Element Method，FEM)，借助 Mathieu 函数，对涂覆石墨烯的椭圆形电介质纳米线光波导的有效折射率的实部、传播长度和品质因数进行分析，通过分离变量法和有限元法两种方法得出传播常数 ，利用公式0Re( ) 2 Re( ) effn 、 1 2Im( ) propL 和 FOM Re( )/Im( ) eff effn n 计算得出有效折射率的实部、传播长度和品质因数。并比较了分离变量法得到的半解析结果与有限元法得到的数值模拟结果，验证了分离变量法的正确性。
1.5 论文的主要内容 涂覆石墨烯的纳米线波导克服了石墨烯纳米带的边缘效应，极大地减小了传播损耗，使得纳米线波导成为了研究热点。迄今为止，尚未有学者解析分析过涂覆石墨烯的椭圆形介质纳米线光波导。本文采用 SVM 和 FEM 对这种波导的模式特性进行解析分析。具体内容如下：
第一章，首先是研究背景和意义；其次是石墨烯的简介；然后是基于石墨烯光波导的研究现状，并介绍了本文采用的研究方法；最后介绍了论文的主要内容。
第二章，对涂覆单层石墨烯的单根椭圆形介质纳米线光波导的模式特性进行研究。通过改变工作波长、椭圆纳米线的半长轴、半短轴以及石墨烯的费米能，对模式的有效折射率的实部、传播长度和品质因数的影响进行了详细分析。其次，与涂覆单层石墨烯的单根圆形介质纳米线波导的有效折射率实部和传播长度进行对比。最后，将 FEM 得到的数值模拟解与分离变量法得到的半解析结果进行对比。
第一章 绪论 10 第三章，对涂覆双层石墨烯的共焦椭圆介质纳米线波导的模式特性进行研究。通过改变工作波长、共焦椭圆的半长轴间距、共焦椭圆纳米线的几何参数以及石墨烯的费米能，对模式的有效折射率实部、传播长度和品质因数进行详细分析。最后与涂覆单层石墨烯的单根椭圆形介质纳米线的有效折射率实部和传播长度进行了简单比较。将 FEM 得到的数值模拟解与分离变量法得到的解析结果进行对比。
第四章，本文工作的总结以及展望。
第二章 涂覆石墨烯的椭圆形电介质纳米线光波导的模式特性分析 11 第二章 涂覆单层石墨烯的椭圆形电介质纳米线光波导的模式特性分析 近年来，为了传输中红外到太赫兹频段的波，涂覆石墨烯的电介质纳米线波导受到了人们的关注。这类波导是在单根或多根对称、非对称分布的圆柱形电介质纳米线上涂一层或多层石墨烯构成。与石墨烯纳米带相比，这种波导没有边缘效应引起的损耗。研究表明，在涂覆单层石墨烯的单根圆柱形纳米线波导中，通过调节工作波长，可以实现单模工作 [44] ；石墨烯纳米线的类光子模的传播距离比 SPP S 大 5 个数量级 [52] ；在涂覆单层石墨烯的方形纳米线波导中，可以实现较小的归一化模式面积 [62] ；在涂覆双层石墨烯的单根圆柱形纳米线波导中，可实现深度亚波长约束 [53] ；在涂覆多层石墨烯的单根圆柱形纳米线波导中，可进一步增强模式的束缚性 [63,64] ；在涂覆单层石墨烯的并行纳米线波导的狭缝区域，有明显的场增强效应及超强的梯度力 [65,66] ；在涂覆单层石墨烯的非对称并行纳米线波导中，可以灵活调节模式的传输特性 [67] 。在涂覆双层石墨烯的纳米并行线间狭缝区，可以得到更高的场增强 [68] 。在涂覆单层石墨烯的三根并行纳米线波导中，可以灵活调节模式的有效折射率及传播长度 [69] 。在涂覆单层石墨烯的三根不共轴纳米线波导 [70] 中，较文章[69]有更长的传播长度。前人的工作中，采用有限元法的数值模拟结合分离变量法的半解析计算对圆柱形纳米线进行了详细的分析，但并未有人对涂覆石墨烯的椭圆形纳米线进行解析分析。在此基础上，本章设计了一种涂覆石墨烯的椭圆形电介质纳米线光波导结构，这种结构与圆形纳米线结构相比，其明显的优势是：在适当增大半长轴时，该波导结构的有效折射率实部与传播长度都增大。在低太赫兹频率下，利用石墨烯单层和纳米结构石墨烯超表面可以使电介质和金属椭圆柱隐身 [71] 。本章采用分离变量法对这种波导的模式特性进行研究。通过改变工作波长、椭圆形纳米线的几何参数以及石墨烯的费米能，对模式的有效折射率的实部、传播长度和品质因数进行了详细分析。为了验证分离变量法结果的正确性，与 FEM 的结果进行了对比。这种波导有望在中红外到太赫兹波的保偏传输方面得到应用 [72-74] 。
2.1 理论模型及计算方法 涂覆石墨烯的椭圆形电介质纳米线光波导的结构如图 2.1 所示，它是在相对介电常数为d 的椭圆形电介质纳米线的表面涂覆单层石墨烯材料而构成。背景介质是空气，介电常数为air 。假设 2.1025d ， 1.0air 。波导结构的半长轴为 a ，半短轴为 b ，椭圆的左、右两个焦点分别为1f 和2f ，半焦距为 q。
第二章 涂覆石墨烯的椭圆形电介质纳米线光波导的模式特性分析 12 以椭圆的中心为原点，建立如图 2.1 所示的直角坐标系 o xy 和椭圆坐标系 o ，两套坐标系之间的关系为 cosh cos x q ， sinh sin y q ，其中 为径向坐标， 为角向坐标 [75] ，取值范围分别为 0 ， 0 2 。椭圆形电介质纳米线的表面对应的径向坐标为0 。在椭圆坐标系中，借助 Mathieu 函数，采用分离变量法求解波动方程。假设该波导所支持的模式沿着 z 方向传播，则场分量均可表示为( , )exp[ ( - )] F i z t ，其中 ( , ) F 代表电场或者磁场在横截面上的分布， 为传播常数。把模式分为奇模(ZH 奇对称，ZE 偶对称)与偶模(ZH 偶对称，ZE 奇对称)两类 [76,77] 。
图 2.1 涂覆石墨烯的椭圆形电介质纳米线光波导的横截面示意图 以奇模为例，假设在柱内（0 ）的纵向场分量表示为：
1 10 0( ) ( )( ) ( ) 11 1 2 2m om 1 om 1 m om omZm= m=11 1 2 2m em 1 em 1 m em emZm= m== A R ,- S ,- = A R S= B R ,- S ,- = B R SHE ,
（2.1）
在柱外（0 ）的纵向场分量表示为：
03 3 2 20 01 103 3 2 20 00 0( ,- ) ( ,- )( ,- ) ( ,- ) m om om m om omZm mm em em m ...
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