惠州市 2020 届高三第三次调研考试
戏学试題(文科)
戏学试題(文科) 91 3页?共6员
戏学试題(文科)
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效学试
效学试BJ (文科〉 那2贝?共6页
7.恐州市某学校一位班主任希耍更换手机语咅月卡套餐，该教师统计自己1至8月的月平均通 话时间?其中有6个月的月平均通话时间分别为520、530、550、610、650、660 (单位：分 钟),有2个月的数据未统计出来.根据以上数据.该教师这8个月的月平均通话时间的中 位数大小不可能是().
A. 580 B. 600 C. 620 .?D? 640
8?已知丙数/(x) = ej+4为偶丙数?若曲线y=∕(x)的一条切线与立线2x+3y=0垂U?
B
B
則切点的横坐标为()?
A. √2
B. 2 C. 21n2 D.
ln2
9.函数/(x) = (l-COSX)Sinr在卜兀,兀］的图大致为(
).
Ky λ
Ky
X
?π
IXZ
π
10.已知P为椭圆為+ ^T上的一个动点，M、N分别为ESC： (x-3)2+√=1? 03D (x+3)2+∕=r2(0<r<5)上的两个动点.若∣PM∣+IPNI的最小值为17, 则尸?()?
A. 4 B? 3 C. 2 D? 1
11?已知函tt∕(x)=sin(<ax+^j+^cosβu(α>0tω>0),对任ftχ∈Λ,
都Tf∕(x)<√3,若/(x)在［0,兀］上的值域?［∣,√3］,则Q的取值范曲戏(
A.B?I 23,3C.
A.
B?
I 2
3,3
C.
D.
12.己知函数/(x)≡=3Xj-α√+αr+l(α≤l)在也(4 F处的导数相等?
Wl不等式∕O,+G) + m≥O恒成立时?实数加的取值范［fi是(
A?[―h+co)
A?[―h+co)
B. (-oo?—1]
C. (-∞rl]
D? —
V 3
16.设M为不等式组x+βy-4≤0x-y+4
16.设M为不等式组
x+βy-4≤0
x-y+4≥i)所衷示的平面区域, y≥0
N为不等式组
驱示的平面区域’其中心。4?
二 填空題：本题共4小風 每小題5分?共2盼?其中第16題第一空3分.第二空2分? 13?执行如图所示的程序框图?则输出的”值是
14.己知AzlBC1的内角/k B、C所对的边分别为α? b、c.
若α+b = 2c? 3c = 5δ> 则*■
15.如图所示是古希腊数学凉阿基米撞的墓碑文.墓碑上刻着一个
的柱.圆柱内有一个内切球?这个球的宾径恰好与圆柱的高相
母?相传这个田形表达了阿基米德最引以为自姦的发现?
我们来更iS这个伟大发现?圆柱的表面枳与球的表面积
Z比为.
在M内随机取一点记点"在N内的櫃率为P ?
(1)若Z = L MP=
<2) P的最大值込
效学试歷
效学试歷c文科〉 则4页?共6页
效学试歷
效学试歷c文科〉 则4页?共6页
三、解答題：共70分?解答应写出文字说明、证明过程庇演算步骤.
聖17?21题为必考題，毎个试題考生都必须作答.
第22、23題为选考題，考生根据要求作答.
(-)必考題：共60分.
门.(本小題满分12分)
尊差敷列｛α.｝的前刃项和为Sr已知q=-7,公差N为大于0的整数, 当且仅当“ =4时，S(I取御/R小值.
<1>求公湮N及数列｛%｝的通项公式；
(2)求数列｛∣αn∣｝的前20项和.
18.(本小起満分12分)
如图.四棱^S-ABCD中? 88S是正三角形,
如图.四棱^S-ABCD中? 88S是正三角形,
点E是BS的中点?
(1)求证：SD〃平面ACEI
(2)若平面/18Sl丄平面ABCD.
ZABC≈?2QP.求三棱^E-ASD的体积.
JB州市某商店也倚某海?t经理统计了存节前后50天该海鲜的日需求量K (10≤x≤20.
矶位，公斤)?其频率分布豆方图如下图所示?该海鮮每天进货I次.每1公斤可获利40 元：若供大于求.剩余的海鮮IW价处理，闸价处理的海卄毎公斤亏损10元：若供不应求?可从 其它商底调拨?调扱的海πmw 1公斤可获利JO元.收设商店该禅鲜毎天的进货■为14公 斤，ojsww?海鲜的日利润为y元.
(1)求商店日利JWy关干日需求ItX的函数衣达式?
敕学试
敕学试Ia (文科) 凱6页?共6灵
敕学试
敕学试Ia (文科) 凱6页?共6灵
(2)根抿频率分布直方图?
估计这50
估计这50天此商店该海鲜日需求 伏的平均数.
假设用事件发生的频率估计概率, 请估计日利润不少于620元的槪率?
/
0J5
0. 12
0. 10
0. 08
0. 05
'频率/组距
■ ■ ■ ■
—
?
日爲求屯
10 12 14 16 18 20 "
20.(本小题满分12分)
己知函数/(x)=(x-α)lnx(α ∈ R) 9函数/(x)的导函数为f(×).
(I)当α=≡l时.求广⑴的零点:
(2)若函数/(x)存在极小值点?求α的取值范围.
21.(本小Ig满分12分)
设抛物线Cty2 ≈ 2px(p>Q)与貝线/：X-砂一彳=0交于/1、B两点.
(1)当M团取得仪小值为芋时，求P的值.
<2)在(1〉的条件下，过点P(3,4)作两条直线PM、PN分别交抛物线C■于M、N
(ΛΛ N不同于点P)两点，RAMPN的平分线与X轴平行，
求证，直线MN的斜率为定ffU
(二)选考题：共W分.请考生在聊22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题 计分.答題时请在答題卷中写清題号并将相应倍息点涂尿.
(本小題満分10分)【选修4一4：坐标系与参数方程］
在平≡HΛ坐标系XQy中，以坐标Ki点O为扱点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲
线M的极坐标方程为P=2cos0,若极坐标系内异于0的三点A(pltφ)l ÷7 P
Pi?P2
Pi?P2>Pj>0)都在曲纽M上?
(I)求证：J5q=qi+∕?;
(2)若过B? C两点的直线参数方程为<
(f为卷数〉?
求四边形OBAC的面积?
(本小題满分】0分)［选修4?5,不等式选讲］
已知函数/(x)=∣x+2∣÷∣x-4∣.
求不蒔式/(x)≤3x的解集1
若/(x)≥A:IX-II对任JftXeRtU成立?求k的収值范BL
文科数学参考答案与评分细则
2.【解析】z (12 23i
2.【解析】
z (12 23
i)2 14 2 2 2
2
2 2 i+ 2 i 2 2 i ，故答案选 B
3.【解析】
由韦达定理可知
a1 a5 5，a1 a5 3，则 a1 0， a5 0，从而 a3 0，
2
且 a3 a1 a5 3 a3
3 ，故答案选 D
、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
D
B
A
B
D
D
C
C
A
A
B={0,2,4,6}. AUB={0，1，2，3，4，6}.故答案选 C
1.【解析】
a 1 0 a 1 ，loga b 0 b 1或
a 1 0 a 1 ，loga b 0 b 1或 0 b 1，
所以答案选 B 5【. 解析】若圆上存在两点关于直线对称， 则直线经过圆心， C -2,0 l ， 2k 2 0 ，得 k 1，
所以答案选 A
6.【解析】 AP mAB 1 AC mAB 1 4AD mAB 2AD ，又 B、P、D 三点共线，所以
22
m 2 1，得m 1，故选B
7.【解析】当另外两个月的通话时长都小于 530(分钟)时，中位数为 530 550 540(分钟)，当
2
另外两个月的通话时长都大于 650(分钟)时，中位数为 610 650 630(分钟)，所以 8 个月
2
的月通话时长的中位数大小的取值区间为 540,630 ，故选 D
x x x x
8.【解析】 f x 为偶函数，则 a 1， f(x) ex+e x， f '(x) ex e x.设切点得横坐标为 x0，
x x 3 x
则 f '(x0) e 0 e 0 .解得 ex0 2，所以 x0 ln 2 。故答案选 D
0 2 0
9.【解析】 f x 为奇函数，则排除 B；当 x 0, ，f(x) 0，排除 A；f '(x) cosx cos2x，
5
f '(x) 0 解得 x 或 x 0 ，对比图象可知，答案选 C
6
10.【解析】 C(-3,0) ，D(3,0)恰好为椭圆的两个焦点，因为 PM r PD , PN 1 PC
PM PN PC PD 1 r 20 1 r 17， r 2 ，所以答案选 C
11.【解析 1】f(x) sin x acos x= 3
11.【解析 1】
6 2 2 2
f (x)max32， a
f (x)
max
3
2
， a 2， f(x) 3sin( x )
3
0 x , 0， 3 x 3 3 ， 23 f(x) 3，
211 ， 所以答案选 A
2 3 3 6 3
33
解析 2】本题也可通过分析临界值求出答案。由 f (0) 可知 f ( ) 或 f ( ) 3 为两个临界
1 1 1
值，由此可解得 = ，及 = ，结合图象可知 ，所以答案选 A
6 3 6 3
12.【解析】由题得 f '(x) x2 2ax a(a 1) ，由已知得 t1+t2=2a， f (t1+t2) m 0恒成立，
4 3 2 m f (2a)(a 1)恒成立。令 g(a) f (2a) a3 2a2 1(a 1) ，
则 g'(a) 4a2 4a 4a(a 1)，当 a ( ,0), g'(a) 0，当a (0,1), g '(a) 0;
g(a)在 ( ,0) 上单调递减，在 (0,1)上单调递增。
g(a)min g(0) 1, m 1, m 1.故选答案 A
、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分，其中第 16题第一空 3分，第二空 2分。
TOC \o "1-5" \h \z \o "Current Document" 3 3 1
13．6 14． (或 120°) 15.3:2(或 ，或 1.5) 16． (3分)， (2分)
3 2 8 2
246
13.【解析】① n 2,22 20;② n 4,24 20;③n 6,26 20.故答案为 6．
14.【解析】因为 a 7b,c 5
14.【解析】因为 a 7b,c 5b，
33
cosA
b2 c2 a2
2bc
b2 (5b)2 (7b)2
33
5
2b( b)
3
12
， A ．
23
15.【解析】设球的半径为 R ，则圆柱的底面半径为 R ，高为 2R，
2 2 2
圆柱的表面积 S1 2 R2 2 R 2R 6 R2；球的表面积 S2 4 R2
所以
所以 SD∥ 平面 ACE ． 4分
S1 6 R13 圆柱的表面积与球的表面积之比为 1 2 ，本题正确结果：S2 4 R 216.【解析】由题意可得，平面区域1M 的面积为 8 4 16 ，2当 t 1 时，平面区域 N 的面积为2 3 6，所以 P 6 316如图，当 2t 4 t 取得最大值时，即 t 2 时， P 最大，当 t 2 时，平面区域 N 的面积为 2 4 8 ，所以最大值8
P16故答案为
S1 6 R
13 圆柱的表面积与球的表面积之比为 1 2 ，本题正确结果：
S2 4 R 2
16.【解析】由题意可得，平面区域
1
M 的面积为 8 4 16 ，
2
当 t 1 时，平面区域 N 的面积为
2 3 6，所以 P 6 3
16
如图，当 2t 4 t 取得最大值时，
即 t 2 时， P 最大，
当 t 2 时，平面区域 N 的面积为 2 4 8 ，所以最大值
8
P
16
故答案为
三．解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第
17～21 题为必考题，每个考
生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
17．（本小题满分 12 分）
解析】（ 1）设{ an }的公差为 d ，则由题可知： a4 0 n a5 0
1分
a1 3d
a1 4d
0 ，即 7 3d 0
7 4d 0
2分
解得 7 d
4
3分
因为 d 为整数， d =2
4分
an a1 (n 1)d 7 2( n 1) 2n 9
所以数列 {an} 的通项公式为 an 2n 9
5分
2）当 n 4 时， an 0；当 n 5 时， an 0
6分
a1
a2
a3
a4
a5
a20 (a1 a2 a3 a4 ) (a5
a20)
7分
所以数列 an 的前 20 项和为 272
18．（本小题满分 12 分）
(a1 a4) 4 (a5 a20 ) 16
22
( 7 1) 4 (1 31) 16
22
=272
12 分
9分
10 分
11 分
解析】（ 1）连接 BD，设 AC BD O，连接 OE，则点 O是 BD的中点．
又因为 E是 BS的中点，所以 SD∥OE ，
1分
3 分【注：每个条件 1 分】
又因为 SD 平面 ACE， OE 平面 ACE，
2）因为四边形 ABCD 是菱形，且 ABC 120 ，
1
所以 ABD ABC 60 ．又因为 AB AD ，
2
所以三角形 ABD是正三角形． ? 5 分
取 AB 的中点 F ，连接 SF ，则 DF AB ，且
6分DF 2 3 ．
6分
又平面 ABS⊥平面 ABCD， DF 平面 ABCD ，平面 ABS 平面 ABCD AB ，?7 分
所以 DF 平面 ABS．即 DF 是四棱锥 D AES的一条高 8 分 1
【解法 1】而 S△ASE SA SE sin ASE 2 3 ． 9 分
TOC \o "1-5" \h \z △ ASE 2 所以 VE ADS VD AES 分10
11
S△ASE DF 2 3 2 3 4 ． 11 分
\o "Current Document" 3 △ ASE 3
综上，三棱锥 E ASD 的体积为 4. 12 分
1 【解法 2】因为E是BS的中点，所以 VE ADS 1VB ADS 1分0
2
而VB ADS VD ABS S△ABS DF 1 4 2 3 2 3 8 ． 11 分
3 2 所以，三棱锥 E ASD 的体积为 4. ? 12 分 19．（本小题满分 12 分）
【解析】（ 1）当10 x 14时 1 分
y 40x 10 14 x =50x 140 ? 2 分
当14 x 20时 3 分
y 40 14 30 x 14 =30x 140 4 分
30x 140 14 x 20
所求函数表达式为： y ． 5 分
50x 140 10 x 14 【注：函数解析式分段正确的前提下，定义域错误最多扣 2 分】 （2）①由频率分布直方图得：
海鲜需求量在区间 10,12 的频率是 f1 2 0.05 0.1；
海鲜需求量在区间 12,14 的频率是 f2 2 0.1 0.2；?6 分
海鲜需求量在区间 14,16 的频率是 f3 2 0.15 0.30；
海鲜需求量在区间 16,18 的频率是 f4 2 0.12 0.24；
海鲜需求量在区间 18,20 的频率是 f5 2 0.08 0.16； 7 分
【注：写对任意 2 个得 1 分，全部写对得 2 分】
这 50 天商店销售该海鲜日需求量的平均数为：
x x1 f1 x2 f2 x3 f3 x4 f4 x5 f5 8 分
11 0.1 13 0.2 15 0.30 17 0.24 19 0.16 ? 9 分
15.32（公斤） 10 分
②当 x 14时， y 560 ，
由此可令 30x 140 620，得 x 16? 11 分
所以估计日利润不少于 620 元的概率为 0.12 0.08 2 0.4 .? 12 分
20．（本小题满分 12 分）
【解析】（ 1） f x 的定义域为 0, ，
1
当 a 1时， f x lnx 1 .? 1 分
x
由 f '' x 1 12 0恒成立，知 f x 在 0, 上是单调递增函数， 2 分 x x2
3分又 f 1 ln1 1 1 0，所以 f x 的零点是 x 1 .
3分
x a a
2） f x lnx 1 lnx ， xx
4分a a 1 x a
4分
令 g x 1 ln x ，则 g x 2 2 ..
x x x x
① 当 a 0 时， f x 1 lnx ，
11
令 f x 0，得 x 1；令 f x 0，得 0 x 1 ，
0, 1 上单调递减，在 eee
0, 1 上单调递减，在 e
所以 f x 在
1
所以当 a 0 时， f x 存在极小值点 ，符合题意 .5 分 e
② 当 a 0时， g x 0 恒成立，所以 g x 在 0, 上单调递增
又 g 1e ae 0 ， g ea 1 eaa a 1 a 1 e1a 0 ，
由零点存在定理知， g x 在 1,ea 上恰有一个零点 x0 ，. 6 分 e
且当 x 0,x0 时， f x g x 0；当 x x0, 时， f x g x 0 ，
所以 f x 在 0,x0 上单调递减，在 x0, 上单调递增，
1a
所以当 a 0时， f x 在 ,ea 存在极小值点 x0 ，符合题意 .? 7 分 e
③ 当 a 0时，令 g x 0 ，得 x a .
当 x 0, a 时， g x 0；当 x a, 时， g x 0，
所以 g x min g a 2 ln a . 8 分
若 g a 2 ln a 0 ，
即当 a e 2 时， f x g x g a 0 恒成立，
即当 a e 2 时， f x 在 0, 上单调递增，无极值点 .? 9 分
若 g a 2 ln a 0 ，
a
即当 e 2 a 0 时， g 1 a 1 ln 1 a 0 ，
1a
所以 g a g 1 a 0，即 g x 在 a, 上恰有一个零点 x1， 10分 当 x a,x1 时， f x g x 0；当 x x1 时， f x g x 0 所以当 e 2 a 0 时， f x 存在极小值点 x1 . 11分 综上可知， a e 2, 时，函数 f x 存在极小值点 . 12 分
21．（本小题满分 12 分）
1分解析】（ 1）由题意知：直线 l :x my p 0 过定点 （p,0）
1分
22
联立 x my
联立 x my 2p，消去 x得： y2 2px
y2 2pmy p2 0
2分
设 A(x1,y1),B(x2,y2)，
有 y1 y2 2pm ， y1 y2 p
3分
AB
p p 2
x1 x2 x1 x2 p m(y1 y2) 2p 2p(m 1)
22
4分
注：只要学生写出 AB=x1 x2 p即可给 1 分】
p 0,m2 0 ，当 m 0时，
AB min 2p
5分
2p 16 ，解得 p 8
33
6分
注：如果解答过程没有证明当 m 0时 ABmin 2 p ，最多可得 3 分】
2）证明：由已知可知直线 PM、PN 的斜率存在，且互为相反数
7分
设 M (x3,y3),N(x4,y4)，直线 PM 的方程为 y k(x 3) 4.
2 16
y x 2
联立 3 ，消去 x 整理得： 3ky2 16y 64 48k 0. y k(x 3) 4
8分
又 4为方程的一个根，所以 4y3 64 48k ，得 y3 16 12k 16 4
3 3k 3 3k 3k
9分
同理可得 y4 16 4
4 3k
kMN y3 y4 y3 y4 16 1 16 1 2
x3 x4 3 (y 2 y 2) 3 y3 y4 3 ( 8) 3
16 3 4
10分
11 分
所以直线 MN 的斜率为定值 2
12分
22. （本小题满分 10 分）
4
4
4
4
解析】（ 1）【解法 1】由
解析】（ 1）【解法 1】由 1 2cos ， 2 2cos 6
， 3 2cos
， 3 6
，?3分
则 2 3 2cos 6
2cos 2 3cos
6
所以 3 1 2 3
2
1分解法 2】 M 的直角坐标方程为 x 1 2 y2 1
1分
假设直线 OA、 OB、OC的方程为 y kx， y k2x，y k3x，k 3, 3 ，
由点到直线距离公式可知
MF
k2 1
在直角三角形 OMF 中，由勾股定理可知 1 1
21
+ MF
1，得 1
k2 1
2分
由直线方程可知 k tan ， k2 tan +
26
， k3 tan
36
所以 k2
tan +tan6 3k+1
，得
1 tan tan 3 k
6
所以 k3
tan -tan 6 3k 1
1 tan tan
6
3 k ，得 3
3k
k2 1
3k
k2 1
3分
4分
所以 3 1 2 3
6分7分2）【解法 1】曲线 M 的普通方程为： x2 y2
6分
7分
将直线 BC 的参数方程代入上述方程，整理得 t2 3t 0，解得 t 0,t 3；
平面直角坐标为 B 1, 3
22
,C 2,0
8分
则 2 1, 3 2,；又得 1 3.
61
9分
即四边形面积为 SOBAC 1 1 2sin 1
OBAC 2 1 2 6 2
1 3sin 3 3为所求 .
1 3 6 4
10分
解法 2】由BC 的参数方程化为普通方程得： x 3y 2.
5分
②如果作图的坐标系没有标记箭头或
②如果作图的坐标系没有标记箭头或 x、 O、 y ，扣过程分 1 分。
②如果作图的坐标系没有标记箭头或
②如果作图的坐标系没有标记箭头或 x、 O、 y ，扣过程分 1 分。
联立
x 3y 2
22
x 2 y2 2x 0
解得 x1 2 或 y1 0
1
x2
2
3 y2
2
，即 B(21, 23) ,C(2,0)
6分
33
2 1, , 点 A 的极坐标为（ 3， ），化为直角坐标为 （ ， ） 7 分
2 6 6 2 2
33
3
2 2 3
直线 OB的方程为 y 3x，点 A 到直线 OB的距离为 d . 8分
1 （ 3）2 2 分
OBACBAS OAC1
OBAC
BA
S OAC
1 1 3 1 2 3 3 3 .?
2 2 2 2 4
10分
23．（本小题满分 10 分）
解析】（ 1）当 x 4 时，原不等式等价于 x 2 x 4 3x，解得 x 2，所以 x 4 1分
2
当 x 2 时，原不等式等价于 x 2 x 4 3x ，解得 x ，所以此时不等式无解 ?2分
5
5分当 2 x 4时，原不等式等价于 x 2 x 4 3x，解得 x 2，所以 2 x 4 3分
5分
综上所述，不等式解集为 2, ．
2)由 f x k x 1 ，得 x 2 x 4 k x 1
当 x 1时， 6 0恒成立，所以 k R；6分当 x 1
当 x 1时， 6 0恒成立，所以 k R；
6分
当 x 1 时，
因为
1 x31
x1
1x1
1
x1
7分
1 x31
8分
33
当且仅当 1 1 0即x 4或x 2时，等号成立， ?9 分
x 1 x 1
所以， k 2；
1 分，正确写出结果各综上， k 的取值范围是 ,2 ． ? 10
1 分，正确写出结果各
注】①如果本题两个小问通过图象法解答，分别正确作出图象（如下图）各
1 分，中间过程可酌情给 1 分，但每小问给分最多不超过 3 分。
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