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立体几何证明方法总结_立体几何证明平行方法总结计划及专题训练学生

发布时间: 2021-11-06 18:06:33

  .

  立体几何证明平行的方法及专题训练

  立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为

  线线平行,而证明线线平行一般有以下的一些方法

  1) 通过“平移”。

  2) 利用三角形中位线的性质。

  3) 利用平行四边形的性质。

  4) 利用对应线段成比例。

  5) 利用面面平行的性质,等等。

  通过“平移”再利用平行四边形的性质

  1.如图,四棱锥 P- ABCD 的底面是平行四边形, 点 E、F 分 别为棱 AB、 PD 的中点.求证 AF∥平面 PCE;

  P

  分析取 PC 的中点 G,连 EG., FG,则易证 AEGF 是平行四边形

  F

  A D

  E

  B C

  ( 1 题图)

  2、如图,已知直角梯形 ABCD 中, AB∥ CD, AB⊥ BC, AB= 1, BC= 2, CD=1+ 3 ,

  过 A 作 AE⊥ CD,垂足为 E, G、 F 分别为 AD、 CE 的中点,现将 △ ADE 沿 AE 折叠,使得 DE⊥ EC.

  (Ⅰ)求证 BC⊥ 面 CDE; (Ⅱ)求证 FG∥ 面 BCD;

  .

  .

  D E F C

  G

  A B

  分析取 DB 的中点 H,连 GH,HC 则易证 FGHC 是平行四边形

  3、已知直三棱柱 ABC- A1B1C1 中, D, E, F 分别为 AA 1, CC1, AB 的中点,

  为 BE 的中点 , AC⊥ BE. 求证

  (Ⅰ) C1D⊥ BC; (Ⅱ) C1D∥ 平面 B1FM.

  分析连 EA,易证 C1 EAD 是平行四边形,于是 MFEA

  

  D

  G

  F

  C

  E

  A B

  C1

  B1

  E

  M

  C

  B

  F

  

  A1

  D

  A

  4、如图所示 , 四棱锥 P ABCD底面是直角梯形 , BA AD, CD

  AD , CD=2AB, E为 PC

  的中点 , 证明: EB平面PAD;

  分析 :取 PD 的中点 F,连 EF,AF则易证 ABEF 是

  平行四边形

  .

  .

  利用三角形中位线的性质

  5、如图,已知

  E、 F 、G、M 分别是四面体的棱 AD、 CD、BD、BC的中点,求

  证 AM ∥平面 EFG 。

  A

  分析法一连

  MD 交 GF 于 H,易证 EH 是△ AMD 的中位线

  E

  法二证平面

  EGF∥ 平面 ABC,从而 AM ∥ 平面 EFG

  B

  G

  F

  D

  M

  C

  6、如图,直三棱柱 ABC

  ABC ,

  BAC

  9 ,

  AB AC2,

  ′ ,点 M,N 分别为

  和

  C

  的中

  AA=1

  A B

  B

  点。

  7.如图,三棱柱 ABC— A1B1C1 中, D 为 AC 的中点 .

  求证 AB1 面 BDC1;

  分析连 B1C 交 BC1 于点 E,易证 ED 是

  △ B1AC 的中位线

  .

  .

  8、如图 ,直三棱柱 ABC-A 1B1C1 中 ,D,E 分别是 AB,BB1 的中点 .证明 :

  BC1 平面 A1CD;

  分析此题与上面的是一样的, 连结 AC1 与 A1C 交 F,连结 DF,则 DFBC 1

  9、如图所示,四边形

  ABCD 是平行四边形,点

  P 是平面 ABCD 外一

  点, M 是 PC的中点,在 DM 上取一点 G,过 G 和 AP 作平面交平面

  BDM

  于

  .求证

  ∥ .

  GH

  AP GH

  利用平行四边形的性质

  1.正方体 ABCD—A1 B1C1D1 中 O 为正方形 ABCD的中心,求证 D1O 平面 A1BC1;

  .

  .

  D

  1

  11、在四棱锥 P-ABCD 中, AB∥ CD,AB=

  DC, E为PD 中点 .A

  2

  求证 AE∥平面 PBC;

  E

  B

  C

  P

  12、在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 为平行四边形,∠ ACB=9 ,EA⊥平面A

  BCD, EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC .AB=2EF .

  (Ⅰ)若M是线段AD的中点,求证GM∥平面ABFE ; (Ⅱ)若AC=BC=2AE ,求二面角A - BF - C的大

  小.

  利用对应线段成比例

  13、如图 S 是平行四边形 ABCD 平面外一点, M 、 N 分别是 SA、 BD 上的点,

  AM BN

  (1)=, 求证 MN ∥平面 SDC

  SM ND

  AM DN

  (2) , 求证 MN ∥平面 SBC

  SM BN

  .

  .

  (6) 利用面面平行

  15、如图,三棱锥 P ABC 中, E 为 PC 的中点, M 为 AB 的中点,点 F 在 PA 上,

  且 AF 2FP. 求证 CM 平面 BEF;

  16、如图 , 在直三棱柱 ABC A1B1C1中, AC 3, BC 4 , AB 5, AA1 4 ,点 D 是

  AB 的中点,

  ( 1)求证 AC BC1;( 2)求证 AC1 平面 CDB 1;

  ( 3)求三棱锥 C1 CDB1 的体积。

  分析 :取 A1B1 的中点 E,连结 C1E 和 AE,易证

  C1E∥ CD,AE∥ DB1,则平面 AC1 E∥DB1C,于是

  AC1 平面 CDB1

  .

  .

  17 在长方体 ABCD A1 B1C1 D1 中 , AB

  BC 1,AA1 2,

  点M 是BC的中点 ,点N是 AA1的中点.

  A1

  D 1

  (1)

  求证 : MN 平面 A1CD ;

  B1

  C1

  (2)

  过 N ,C , D 三点的平面把长方体 ABCD

  A1B1C1 D1

  截成

  N

  两部分几何体 , 求所截成的两部分几何体的体积的比值 .

  A

  D

  B M C

  .

   

  

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