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立体几何证明平行的方法及专题训练
立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为
线线平行,而证明线线平行一般有以下的一些方法
1) 通过“平移”。
2) 利用三角形中位线的性质。
3) 利用平行四边形的性质。
4) 利用对应线段成比例。
5) 利用面面平行的性质,等等。
通过“平移”再利用平行四边形的性质
1.如图,四棱锥 P- ABCD 的底面是平行四边形, 点 E、F 分 别为棱 AB、 PD 的中点.求证 AF∥平面 PCE;
P
分析取 PC 的中点 G,连 EG., FG,则易证 AEGF 是平行四边形
F
A D
E
B C
( 1 题图)
2、如图,已知直角梯形 ABCD 中, AB∥ CD, AB⊥ BC, AB= 1, BC= 2, CD=1+ 3 ,
过 A 作 AE⊥ CD,垂足为 E, G、 F 分别为 AD、 CE 的中点,现将 △ ADE 沿 AE 折叠,使得 DE⊥ EC.
(Ⅰ)求证 BC⊥ 面 CDE; (Ⅱ)求证 FG∥ 面 BCD;
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.
D E F C
G
A B
分析取 DB 的中点 H,连 GH,HC 则易证 FGHC 是平行四边形
3、已知直三棱柱 ABC- A1B1C1 中, D, E, F 分别为 AA 1, CC1, AB 的中点,
为 BE 的中点 , AC⊥ BE. 求证
(Ⅰ) C1D⊥ BC; (Ⅱ) C1D∥ 平面 B1FM.
分析连 EA,易证 C1 EAD 是平行四边形,于是 MFEA
D
G
F
C
E
A B
C1
B1
E
M
C
B
F
A1
D
A
4、如图所示 , 四棱锥 P ABCD底面是直角梯形 , BA AD, CD
AD , CD=2AB, E为 PC
的中点 , 证明: EB平面PAD;
分析 :取 PD 的中点 F,连 EF,AF则易证 ABEF 是
平行四边形
.
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利用三角形中位线的性质
5、如图,已知
E、 F 、G、M 分别是四面体的棱 AD、 CD、BD、BC的中点,求
证 AM ∥平面 EFG 。
A
分析法一连
MD 交 GF 于 H,易证 EH 是△ AMD 的中位线
E
法二证平面
EGF∥ 平面 ABC,从而 AM ∥ 平面 EFG
B
G
F
D
M
C
6、如图,直三棱柱 ABC
ABC ,
BAC
9 ,
AB AC2,
′ ,点 M,N 分别为
和
C
的中
AA=1
A B
B
点。
7.如图,三棱柱 ABC— A1B1C1 中, D 为 AC 的中点 .
求证 AB1 面 BDC1;
分析连 B1C 交 BC1 于点 E,易证 ED 是
△ B1AC 的中位线
.
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8、如图 ,直三棱柱 ABC-A 1B1C1 中 ,D,E 分别是 AB,BB1 的中点 .证明 :
BC1 平面 A1CD;
分析此题与上面的是一样的, 连结 AC1 与 A1C 交 F,连结 DF,则 DFBC 1
9、如图所示,四边形
ABCD 是平行四边形,点
P 是平面 ABCD 外一
点, M 是 PC的中点,在 DM 上取一点 G,过 G 和 AP 作平面交平面
BDM
于
.求证
∥ .
GH
AP GH
利用平行四边形的性质
1.正方体 ABCD—A1 B1C1D1 中 O 为正方形 ABCD的中心,求证 D1O 平面 A1BC1;
.
.
D
1
11、在四棱锥 P-ABCD 中, AB∥ CD,AB=
DC, E为PD 中点 .A
2
求证 AE∥平面 PBC;
E
B
C
P
12、在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 为平行四边形,∠ ACB=9 ,EA⊥平面A
BCD, EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC .AB=2EF .
(Ⅰ)若M是线段AD的中点,求证GM∥平面ABFE ; (Ⅱ)若AC=BC=2AE ,求二面角A - BF - C的大
小.
利用对应线段成比例
13、如图 S 是平行四边形 ABCD 平面外一点, M 、 N 分别是 SA、 BD 上的点,
AM BN
(1)=, 求证 MN ∥平面 SDC
SM ND
AM DN
(2) , 求证 MN ∥平面 SBC
SM BN
.
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(6) 利用面面平行
15、如图,三棱锥 P ABC 中, E 为 PC 的中点, M 为 AB 的中点,点 F 在 PA 上,
且 AF 2FP. 求证 CM 平面 BEF;
16、如图 , 在直三棱柱 ABC A1B1C1中, AC 3, BC 4 , AB 5, AA1 4 ,点 D 是
AB 的中点,
( 1)求证 AC BC1;( 2)求证 AC1 平面 CDB 1;
( 3)求三棱锥 C1 CDB1 的体积。
分析 :取 A1B1 的中点 E,连结 C1E 和 AE,易证
C1E∥ CD,AE∥ DB1,则平面 AC1 E∥DB1C,于是
AC1 平面 CDB1
.
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17 在长方体 ABCD A1 B1C1 D1 中 , AB
BC 1,AA1 2,
点M 是BC的中点 ,点N是 AA1的中点.
A1
D 1
(1)
求证 : MN 平面 A1CD ;
B1
C1
(2)
过 N ,C , D 三点的平面把长方体 ABCD
A1B1C1 D1
截成
N
两部分几何体 , 求所截成的两部分几何体的体积的比值 .
A
D
B M C
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