模型思想

　小学数学教学中渗透模型思想的思考 小学数学教学中渗透模型思想的思考作者：王子华

　减负增效来源：小学数学教学网

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　更新时间：2012-4-11 用数学建模的思想来指导着小学数学教学，不同的年级、内容、学习对象应该体现出一定的差异，但也存在着很大的关联性。就教学实施的一般程序来看，可以归结到三个字：“磨”“模”“魔”。

　一、“磨”。

　所谓“磨”，即“琢磨”。也就是教师首先要反复琢磨每一具体的教学内容中隐藏着怎样的“模”？需要帮助学生建立怎样的“模”？如何来建“模”？在多大的程度上来建“模”？所建的“模”和建模的过程对于儿童的数学学习具有怎样的影响？……在基于建模思想的数学教学中，这些问题都是一些本原性的问题。一个老师如果从来不曾在这些方面作过思考的话，可以肯定，他的数学课堂上数学知识概念、命题、问题和方法等很难见到“数学模型”的影子，他的学生也可能从未感受过“数学模型”的力量。

　众所周知，“鸡兔同笼”问题的数学模型是二元一次整数方程，然而，在小学里学生并不学习二元一次整数方程。可是，“鸡兔同笼”却被广泛地运用到小学教材中：北师大版五年级上册“尝试与猜测”中用它来让学生学会表格列举；苏教版六年级上册将之作为一道练习题来巩固“假设和替换”的策略；而人教版则是浓墨重彩，在六年级上册“数学广角”中详细介绍了“鸡兔同笼”问题的出处、多种解法及实际应用。教学这些内容时，如果仅是就题讲题，就课本讲课本，难免显得过于简单和浅薄。那么，对小学生的数学学习而言，“鸡兔同笼”是否还隐藏着其他的“模型”因素呢？我想至少有三方面是值得关注的：一是内容层面的，即“鸡兔同笼”这类题本身的题型结构特征（告知两个未知量的和以及两个未知量之间一定的量值关系，求未知量）；二是方法层面的，即“假设法”的一般解题思路（画图、列举、替换等在某种意义上都是“假设”）；三是思想层面的，即从一个具体的“鸡兔同笼”数学问题出发，在经历了对其解答的过程之后，能将解决它的方法和思路进行扩展运用（学习“鸡兔同笼”，最终的目标并不仅仅是会解答一道“鸡兔同笼”，更有其他）。有了这样的理解，在教学中，我们就会引导学生在关注教材中所编排内容的同时，注意把握题目的类型、结构和类比运用，用系统的眼光来看待它的教学价值。这些，恰恰是学生到了中学后真正建立二元一次整数方程数学模型的基础。

　再比如，“确定位置”的数学模型是立体坐标系。学生在一年级接触到的一列队伍中“老爷爷排在第 3 个”，其实就是一维空间上的确定位置；在二年级接触到的“小明坐在第 3 排第4 个”，其实就是二维空间上的确定位置；五年级学习的“数对”则是初步抽象的二维坐标模型。如果在教学中能将这一层意义渗透进去，一定能为学生将来学习立体坐标系提供很好的支持。

　眼界决定境界。一个老师是否具有“模型”眼光和“模型”意识，往往会决定着他的教学深刻性和数学课堂的品质。

　二、“模”。

　所谓“模”，即“建模”。也就是在教学中要帮助学生不断经历将现实问题抽象成数学模型并进行解释和运用。对小学数学而言，“建模”的过程，实际上就是“数学化”的过程，是学生在数学学习中获得某种带有“模型”意义的数学结构的过程。以下是两位老师利用同一素材教学“减法”的片段：

　【教学片段 1】

　出示情境图。

　师：请同学们认真观察这两幅图，说一说从图上你看到了什么？ 生：有 5 个小朋友在浇花，走了 2 个，剩下 3 个。

　师：你真棒!谁再来说一说。

　生：原来有 5 个小朋友在浇花，走了 2 个小朋友，还剩下 3 个小朋友。

　师：很好！你知道怎样列式吗？ 生：5-2=3。

　教师听了满意地点点头，板书 5-2=3。

　接着教学减号及其读法。

　【教学片段 2】

　出示情境图。（同上）

　师：谁来说一说第一幅图，你看到了什么？ 生：从图中我看到了有 5 个小朋友在浇花。

　师：第二幅图呢？ 生：第二幅图中有 2 个小朋友去提水了，剩下 3 个小朋友。

　师：你能把两幅图的意思连起来说吗？ 生：有 5 个小朋友在浇花，走了 2 个，还剩下 3 个。

　师：同学们观察得很仔细，也说得很好。你们能根据这两幅图的意思提一个数学问题吗？ 生：有 5 个小朋友在浇花，走了 2 个，还剩几个？ 生（齐）：3 个。

　师：对，大家能不能用圆片代替小朋友，将这一过程摆一摆呢？ （教师在行间指导学生摆圆片，并请一生将圆片摆在情境图的下面。）

　师：（结合情境图和圆片说明）5 个小朋友在浇花，走了 2 个，还剩 3 个；从 5 个圆片中拿走 2 个，还剩 3 个，都可以用同一个算式（学生齐接话：5-2=3）来表示。（在圆片下板书：5-2=3）

　生齐读：5 减 2 等于 3。

　师：谁来说一说这里的 5 表示什么？2、3 又表示什么呢？ …… 师：同学们说得真好！在生活中存在着许许多多这样的数学问题，5-2=3 还可以表示什么呢？请同桌互相说一说。

　生 1：有 5 瓶牛奶，喝掉 2 瓶，还剩 3 瓶。

　生 2：树上有 5 只小鸟，飞走 2 只，还剩 3 只。

　…… 上述两段教学，所体现出来的教学着力点是不一样的。第一个片段，属于“就事论事”式的简单教学，教师对教学的定位完全停留在知识传授的层面上，“5-2=3”仅是一道题的解答算式而已。第二个片段，除了教学充分展开外，更主要的是渗透了初步的数学建模思想，训练的是学生抽象、概括、举一反三的学习能力。且这种训练并不是简单、生硬地进行，而是和低年级学生数学学习的特点相贴切——由具体、形象的实例开始，借助于操作予以内化和强化，最后通过思维发散和联想加以扩展和推广，赋予“5-2=3”以更多的“模型”意义。

　再比如，在小学阶段，学生认识小数时主要是将它和分数之间进行意义上的关联，即：一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……。按照螺旋上升的教材编排原则，上述内容大多分解在三、四年级分两次学完，三年级先认识一位小数。如何在三年级初步认识一位小数时就体现出“建模”的思想呢，我们进行了如下教学：

　课始，教师出示到超市购买的一些物品和相应的价钱：水彩笔 12 元、美工刀 3 元 5 角、铅笔 0.4 元。当“0.4 元”出现后，教师提问：

　师：知道“0.4 元”到底是多少钱吗？ 生：0.4 元就是 4 角钱。

　（板书 4 角=0.4 元）

　师：4 角钱有没有 1 元多？ 生：没有。

　师：看来，和 1 元相比，0.4 元只能算是一个“零头”了。如果我们用这样的一个长方形来表示 1 元（出示图 1），你能把它分一分、涂一涂，将 0.4 元表示出来吗？ 图 1

　图 2 （学生拿出练习纸画画涂涂，把自己的想法表示出来。交流时，寻找共性特点：平均分成10 份，涂出其中的 4 份）

　师：为什么这样就将“0.4 元”表示出来了呢？ 生：因为 1 元等于 10 角，平均分成 10 份，1 份就是 1 角，4 份就是 4 角。

　师：看着大家画出的图示，让我想起以前咱们学什么时，也是这样子平均分一分、涂一涂？ 生：分数！

　师：那 0.4 元如果用分数表示，如何表示呢？ 生：十分之四元。

　师：数学真是有趣，原来 0.4 元也就是我们熟悉的十分之四元。

　（出示图 2）

　师：老师购买了一块橡皮，它的价钱是多少呢？（出示：0.8 元）0.8 元是多少钱？ 生：0.8 元就是 8 角 师：又是一个不足 1 元的零头，如果我们还是用这样的一个长方形来表示 1 元，那 0.8 元又该怎么表示呢？ 学生模仿者刚才的方式表示出“0.8 元也就是十分之八元”（见右图）。接着，老师给学生提供一个空白的平均分成 10 份的长方形，任意涂出其中一部分，表示出一个小数和相应的分数。几个学生自由展示后，组织梳理，从 0.1 就是十分之一，0.2 就是十分之二…… 师：接下来我们再来看看笔记本的价格，我给你一个图示（见下图），你知道它的价钱了吗？ 生：笔记本的价格是 1.2 师：刚才的小数都是“零点几”，现在怎么变成“一点几”了？ 生：现在有两个长方形了，第一个涂满了颜色，表示整 1 元。第二个平均分成了 10 份，涂了其中的 2 份，也就是 2 角钱，0.2 元，合起来就是 1.2 元了。

　师：我买的钢笔的价钱是 8.6 元，如果让你画一幅图来表示它的价钱，你准备怎样画呢？ 生：我准备先画 9 个大小一样的长方形，然后把前面 8 个涂满颜色，第 9 个长方形平均分成10 份，涂出其中的 6 份。

　…… 上述教学过程抓住了知识间的联系（小数和十进分数的关系）而展开，但又不是停留在教师直接的讲解和“告诉”，而是让学生充分展开探索过程，借助于直观图示的形象支撑，建立起了一位小数的“直观模型”（长方形等分、涂色）。这种形象的“直观模型”既搭起了小数和分数之间的桥梁，也具有强大的“扩展”功能，对后面学习两位小数、三位小数（同样的长方形，只是平均分成 100 份、1000 份）以及抽象概括“小数的意义”具有统摄作用。

　从上述两例可以看出，运用建模思想来指导小学数学教学，在很大程度上是要在学生的认知过程中建立起一种统摄性、符号化的具有数学结构特征的“模型”载体，通过这样的具有“模型”功能的载体，帮助学生实现数学抽象，为后续学习提供强有力的基础支持。当然，对学生“模型”意识的培养和“建模”方法的指导，要根据具体内容和具体年级而有层次不同的要求，低年级要恰到好处地结合日常实例和常规教学对学生进行“模型”及“模型意识”的渗透、点化，高年级则可以更明确地引导学生关注数学学习中“模型”的存在，培养初步的建模能力。

　三、“魔”。

　所谓“魔”，即“着魔”，也就是学生对“模型”在数学学习中的运用有着深切的体验和感悟，并对之产生好奇，从而在数学学习中能主动地构想模型、建立模型、运用模型。儿童数学教学的终极目标，应该是让学生都懂数学、爱数学，对数学怀有敬畏之心和热爱之情。要实现这样的目标，数学教学就不能只停留在知识和方法层面，而是要深入到数学的“腹地”，用数学自身的魅力来吸引学生。正如日本数学家米山国藏所说：“作为知识的数学出校门不到两年就忘了，唯有深深铭记在头脑中的数学的精神、数学的思想、研究的方法和着眼点等，这些随时随地地发生作用，使人终身受益”。[vii][⑦] 要让学生能充分感受到数学模型和建模教学所产生的“魔力”，实际教学中，一方面要结合日常教学给学生以充分的体验和感受。比如，在二年级教学“确定位置”时，设定观察的规则（观察顺序）非常重要——“从左向右数是第几排”、“从前往后数是第几列”、“从下往上数是第几层”……如果我们结合这样的观察顺序在直观图上分别添加“横向带箭头的直线→”（坐标系中的“横轴”原型）和“纵向带箭头的直线↑”（坐标系中的“纵轴”原型），既将观察顺序形象表达，又蕴含了二维坐标（第一象限）的基本原理。如果学生在独立练习中也能模仿着使用，那感受会更加深刻。而在六年级学习“确定位置”（用方向、角度、距离来确定平面图中任意一个位置）时，如果让学生试着总是以观测点为中心先画出一个“十字”坐标图然后再确定位置，那学生的观察不仅变得有序，而且准确性很高。在此基础上，老师再对学生进行“建模”、 “用模”的学习水平进行适当评价和鼓励，教学的境界就会大大提升。

　另一方面，也可以在中高年级进行一些专题性的训练。我们曾以“鸡兔同笼”为例进行过这方面的尝试。在学生初步能用不同的假设思路解答鸡兔同笼的题目后，老师提问：“生活中你见过有人把鸡和兔放在一个笼子里养殖的吗？就是放在一起养殖，也没谁去做数头数脚这种无聊的事吧。我们的老祖宗干嘛煞费苦心地研究来研究去的，一千多年过去了，鸡兔同笼这道数学题还作为宝物似的流传到今？”（屏幕显示：“鸡兔同笼”有什么独特的魅力？）在学生对所提问题一时困惑皱眉时，老师提议带着这个问题来继续进行“龟鹤同游”和“人狗同行”的研究并再次提出疑问：“鸡兔同笼”有什么独特的魅力？”经过研究和比对，学生发现：“鸡兔同笼”不只是代表着鸡、兔同笼的问题，有很多类似的问题都可以看成是“鸡兔同笼”问题，如人马问题、牛鸡问题、汽车和自行车的轮子问题，等等。随后，师生共同研究“信封里放着 5 元和 2 元的钞票，共 8 张，34 元，信封里 5 元和 2 元的钞票各有多少张？”，探讨其与鸡兔同笼问题的关联。经过比较和猜想，学生的认识再次提升：“这里的 2元的钞票就相当于鸡有 2 只脚，而 5 元的钞票就相当于兔，是 5 只脚的怪兔”。最后，老师让学生联系生活，将一些实际问题编成“怪鸡”、“怪兔”同笼的数学问题并解答。到了课堂总结时，屏幕上第三次出示：“鸡兔同笼”有什么独特的魅力？学生总结感受之后，老师顺势给以强化：从一个具体的数学问题出发，研究解法，并上升到一种模型，最后进行广泛的运用，数学就是这样发展起来的。同样，如果我们在学习各种数学问题时能有“模型”的意识，举一反三，能触类旁通，那么你必将会走向数学学习的自由王国。

　上述教学通过对“‘鸡兔同笼’有什么独特的魅力？”这一问题的三次追问把整节课串联起来，虽然每一次追问的层次和目标是不一样（第一次是针对具体的、“原生态”的鸡兔同笼问题发问，主要是激发学生的探究欲望，向更高的学习层次迈进；第二次是进一步明确“鸡兔同笼”问题的结构、模型，同时，又让学生很好地经历更高层次“数学化”的过程；第三次是帮助学生实现完整的“模型”建构，实现“形式的”数学知识向现实生活的“复归”），但是，其核心都是让学生从“模型”和“建模”的角度来亲近数学，了解数学。站在“高点”再回望探究之旅，学生对数学的认识就更加深入了，由此而产生的“魔力”，将深刻而持久地影响着他们的数学学习和生活。

　总的说来，在数学课堂上，我们教的是数学，面对的是儿童。“磨”，侧重于教师对数学本身

　的理解；“魔”，则是要坚持儿童立场，读懂儿童，引领儿童，发展儿童；“模”指向教学过程，是在数学和儿童之间真正搭起一座有意义的数学学习之桥。三者有机统一，互...