第
1 1
讲
整式的乘除 （）
(满分：150 分；考试时间：120 分钟) 一、精心选一选：本大题共
小题，每小题 分，共
分．
1、下列计算正确的是
（
）
A、5 3 22a b a
B、a a a 4 4 C、6 3 2a a a
D、 632a a
2012 2012532135. 2 （
）
A. 1
B. 1
C.
0
D.
1997
3、下列关系式中，正确的是
（
）
A. 2 22b a b a
B. 2 2b a b a b a C. 2 22b a b a
D. 2 22b 2ab a b a 4、下列各式能用平方差公式计算的是（
）
A、（2a＋b）（2b－a）
B、（ 12 x＋1）（－12 x－1）
C、（3x－y）（－3x＋y）
D、（－x－y）（－x＋y）
5.若 a=0.3 2 ,b=-3 -2 ,c=21( )3 ,d=01( )3 ,
则
(
)
A.a<b<c<d
B.b<a<d<c
C.a<d<c<b
D.c<a<d<b 6．已知 m+n=2，mn=﹣2，则（1﹣m）（1﹣n）的值为（ C ）
A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．5
7．下列计算正确的是（ A ）
A．4a 2 +4a 2 =8a 2
B．（3x﹣2）（2x+3）=6x 2 ﹣6 C．（﹣2a 2 b）
4 =8a 8 b 4
D．（2x+1）
2 =4x 2 +1 8.下列式子一定成立的是（
B
）
A．x 4 +x 4 =2x 8
B．x 4 ·x 4
=x 8
C．(x 4 ) 4 =x 8
D．x 4 ÷x 4 =0 9. 下列运算正确的是
（ C）． A.2 3 5a a a
B.6 2 3a a a
C. 32 6a a
D. 2 3 6 a a a
10、可以用平方差公式进行计算的是
（
C ）
A、（3a+2b）(-3a+3b)
B、(3a-2b)(-3a+2b) C、(3a+2b)(-3a+2b)
D、（-3a-2b）（3a+2b）
11.小英做数学题时，她突然发现一道题目：（2a 2 +3ab-b 2 ）-（-3a 2 -ab+5b 2 ）=
5a 2
- 6b 2 ， 空格的地方被墨水弄脏了，请问空格中的一项是
(
C
) A. +2ab
B. +3ab
C. +4ab
D. -ab 12、两整式相乘的结果为 a 2
-a-12 的是
( A
)
A、(a+3)(a-4)
B、(a-3)(a+4)
C、(a+6)(a-2)
D、(a-6)(a+2) 3 13 、
的个位数字是
（
）
A、1
B、5
C、6
D、9 14. 为 了 求2 31 2 2 2 … +20082 的 值 ， 可 令2 31 2 2 2 S …20082 ， 则2 3 42 2 2 2 2 S …20092 ， 因 此20092 2 1 S S ， 所 以2 31 2 2 2 …2008 20092 2 1 ．仿照以上推理计算出2 31 5 5 5 …20095 的值是 A.20095 1
B.20105 1
C.20095 14
D.20105 14 分析：仔细阅读题目中示例，找出其中规律，求解本题． 解：根据题中的规律，设 S=1+5+52 +5 3 +…+5 2009
则 5S=5+52 +5 3 +…+5 2009 +5 2010
所以 5S-S=4S=52010 -1 所以 S=
故选 D 15.从边长为 a 的大正方形纸板中挖去一个边长为 b 的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（图甲），然后拼成一个平行四边形（图乙）．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式（
D
）
A．2 2 2( ) a b a b
B．2 2 2( ) 2 a b a ab b
C．2 2 2( ) 2 a b a ab b
D．2 2( )( ) a b a b a b
甲
乙 左边阴影的面积等于边长为 a 的正方形面积减去边长为 b 的正方形面积，即 a2 -b 2 ，右边平行四边形底边为 a+b，高为 a-b，即面积=（a+b）（a-b），两面积相等所以等式成立． 解：a2 -b 2 =（a+b）（a-b）
16.已知 , 3 , 5 xy y x 则 2 2y x （
）
A. 25.
B
25
C
19
D、 19
17、下列各式中不能用平方差公式计算的是
（
）
A、) )( ( y x y x B、) )( ( y x y x C、) )( ( y x y x D、) )( ( y x y x 2 4 8 16 32 64(2 1)(2 1)(2 1)(2 1)(2 1)(2 1)(2 1)
10.已知 m m Q m P158, 11572 （m 为任意实数），则 P 、 Q 的大小关系为（C
）
A、 Q P
B、 Q P
C、 Q P
D、不能确定 求差比较法比较大小：若 P-Q＞0，则 P＞Q；若 P-Q=0，则 P=Q；若 P-Q＜0，则 P＜Q． ∵Q-P=（m2 -m）-（ m-1）
=m2 -m+1 =（m- ）2 + ＞0， ∴Q＞P． 故答案为 P＜Q．
二、细心填一填：本大题共
小题，每小题
分，共
分． 1、若 4a2＋ka +9 是一个完全平方式，则 k ＝
2.已知 51 xx ，那么221xx =_______。
3．若 x 2 +mx+9 是一个完全平方式，则 m 的值是
．
4．（3 分）如图，是用四张相同的长方形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分的面积的不同表示方法，写出一个关于 a、b 的恒等式
． （a-b）
2 =（a+b）
2 -4ab
5．若 a﹣b=1，则代数式 a 2 ﹣b 2 ﹣2b 的值为
．
试题分析：利用整体代数的思想来进行求解，因为 a－b=1，所以原式=（a+b）（a－b）－2b=a+b－2b=a－b=1.
6．若 m+n=2，mn=1，则 m 2 +n 2 =
．
解：∵m+n=2，mn=1， ∴原式=（m+n）2-2mn=4-2=2， 故答案为：2
7.若非零实数 b a, 满足，2 241b ab a 则ab=
8.利用整式乘法公式计算：2014×2012-2013 2 =_________．
9.、已知 2 b a ， 4 c b ， ca bc ab c b a 2 2 2的值是
. 10．已知 1999 2000, 1999 2001, 1999 2002 a x b x c x = + = + = + ， 则多项式2 2 2a b c ab ac bc + + - - - 的值
11.若2 27( )3 8x ，则 x =
. 12.（1）如图 5-1，可以求出阴影部分的面积是
（写成两数平方差的形式）；
（2）如图 5-2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是
，长是
，面积是
（写成多项式乘法的形式）； （3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式
（用式子表达）．
解：（1）阴影部分的面积=大正方形的面积﹣小正方形的面积=a2 ﹣b 2 ； （2）长方形的宽为 a﹣b，长为 a+b，面积=长×宽=（a+b）（a﹣b）； （3）由（1）、（2）得到，（a+b）（a﹣b）=a2 ﹣b 2 ． 13、若 x＋2y+3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，则 x＋y＋z 的值是_____________．
(x+2y+3z)+(4x+3y+2z)=25， 5x+5y+5z=25， x+y+z=5 25．2 2005 ×（0.125）
668 =________． 22．如果（2a+2b+1）（2a+2b－1）=63，那么 a+b 的值是________． 三、解答题（本大题共
小题，共
分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
1．（16 分）（计算：
（1）5x 3 •2x 2 y
（2）10 5 ÷10﹣ 1 ×10 0
（3）（ x 2 y 3 ）
2 ÷（ x 3 y 4 ）•（﹣4xy）
（4）（ +n）
2 ﹣（ ﹣n）
2 ﹣2mn．
（5）2) 3 ( ) 3 2 )( 3 2 ( b a b a b a
a a b b 图 5-1 图 5-2
（5）、2) 3 ( ) 3 2 )( 3 2 ( b a b a b a
（6）
2003 2007 2005 2
解：原式=2 2 2 29 6 9 4 b ab a b a （7）、 2003 2007 2005 2
（（8 ）〔2 25 ) 2 )( ( ) 2 ( y y x y x y x 〕÷（ ) 2y
解：原式= ) 2 2005 )( 2 2005 ( 20052
= ) 4 2005 ( 20052 2
2、(1)先化简，后求值：6a 2 -[a 2 +(5a 2 -2a)-2(a 2 -3a)]，其中 a= - 8.（6 分）。
解：原式=2a 2 -4a
原式=160
（2）先化简，再求值，其中 a=1，b=2，[（a+b）
2 ﹣（a﹣b）
2 ﹣8a 3 b 2 ]÷（4ab）．
（3）
的值 求2 2, 10 , 3 b a ab b a
(4) 先化简，再求 值：
2( 5 )( 5 ) ( 5 ) x y x y x y ，中 其中 x= －1 ，y=0.5
（5）化简再求值： x x y x x 2 1 22 ，其中251 x，25 y。
(6)先化简，再求值：（a+2b）
2 +（b+a）（b﹣a），其中 a=﹣1，b=2． 21cnjy.com
原式=(a+2b^2)+(b-a)(b+a) =(a+2b^2)-(b^2 -a^2) =a+b^2 +a^2
=-1+4+1 =4 3.(1)已知 2 a ＝8 b （a、b 是正整数）且 a＋2b＝5，求 2 a ＋8 b 的值；
(2).已知 a>b，M＝ ，Ｎ＝ ，试比较 M 与 N 的大小．
(3).已知 2 a =8 b （a，b 是正整数）且 a+2b=5，那么 2 a +8 b 的值. 分析：根据幂的乘方，底数不变，指数相乘的逆运算，可把 a、b 的关系求出来，然后与 a+2b=5联立成方程组，求得 a、b 的值，代入所求的代数式求解即可． 解 ：∵2 a =8 b ， ∴2 a =2 3b ，即 a=3b， 又∵a+2b=5， ∴a=3，b=1； 把 a=3，b=1 代入 2 a +8 b 得 2 3 +81=8+8=16． 4.（8 分）图 10-1 是一个长为 2 m 、宽为 2 n 的长方形， 沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形， 然后按图 7 的形状拼成一个正方形． （1）你认为图 10-2 中的阴影部分的正方形的边长等于多少? （2）请用两种不同的方法求图 6 中阴影部分的面积． （3）观察图 10-2 你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗? 代数式：( m + n )2 ，( m - n ) 2 ， mn ． （4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若 a + b =7， ab =5，则( a - b )2 =
．
解：（1）由图形可知阴影部分的正方形的边长为（m-n）． （2）根据正方形的面积公式求图中阴影部分的面积为（m-n）2 ． 用大正方形的面积减去四个小长方形的面积（m+n）2 -4mn． （3）由图形可知 大正方形的面积减去四个小长方形的面积正好等于图中阴影部分的面积． 又∵（m+n）2 正好表示大正方形的面积，（m-n）
2 正好表示阴影部分小正方形的面积，mn 正好表示一个小长方形的面积． ∴（m+n）2 -4mn=（m-n）
2
将 m+n 换为 a+b，将 m-n 换为 a-b，将 mn 换为 ab，得（a+b）2 -4ab=（a-b）
2 ． 5. 已知：
a x b x c x 2003 2002 2003 2003 2003 2004 ， ， ，求：
a b c bc a2 2 25 的值。
解：由已知可得：
b a c a 1 2 ，
a b c bc aa a a a a aa a a a a a a a2 2 22 2 22 2 2 251 2 1 2 52 1 4 4 3 2 55( ) ( ) ( )( ) 6、图 a 是一个长为 2m、宽为 2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图 b形状拼成一个正方形．（10 分）。
(1)你认为图 b 中的阴影部分的正方形的边长等于多少？ (2)请用两种不同的方法求图 b 中阴影部分的面积． (3)观察图 b 你能写出下列三个代表式之间的等量关系吗？ 代数式:(m+n) 2 ,(m-n) 2 ,mn
解：、(1)m-n
(2)(m-n) 2 =m 2 -2mn+n 2 ;
(m+n) 2 -4mn=m 2 -2mn+n 2
(3)(m-n) 2 =(m+n) 2 -4mn
8、如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4=2 2 -0 2 ，12=4 2 -2 2 ，20=6 2 -4 2 ，因此 4，12，20 这三个数都是神秘数．（12 分）。
（1）28 和 2 012 这两个数是神秘数吗？为什么？ （2）设两个连续偶数为 2k+2 和 2k（其中 k 取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是 4 的倍数吗？为什么？ （3）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？ 解：(1) 找规律：
4=4×1=2 2 -0 2 ，
12=4×3=4 2 -2 2 ， 20=4×5=6 2 -4 2 ， 图 10-1 图 10-2
28=4×7=8 2 -6 2 ，
2 012=4×503=504 2 -502 2 ，
所以 28 和 2 012 都是神秘数．
(2) (2k+2) 2 -(2k) 2 =4(2k+1)，
因此由这两个连续偶数 2k+2 和 2k 构造的神秘数是 4 的倍数．
---------------8 分 (3) 由(2)知，神秘数可以表示成 4(2k+1)，因为 2k+1 是奇数，因此神秘数是 4 的倍数，但一定不是8 的倍数．另一方面，设两个连续奇数为 2n+1 和 2n-1，则(2n+1) 2 -(2n-1) 2 =8n， 即两个连续奇数的平方差是 8 的倍数．
因此，两个连续奇数的平方差不是神秘数．
9、如图①，将线段 A 1 A 2 向右平移 1 个单位到 B 1 B 2 ，得到封闭图形 A 1 A 2 B 2 B 1 (即阴影部分)，在图②中，将折线 A 1 A 2 A 3 向右平移 1 个单位到 B 1 B 2 B 3 ，得到封闭图形 A 1 A 2 A 3
B 3 B 2 B 1 (即阴影部分)。
1 1
（图①）
（图②）
（图③）
（图④）
（图⑤）
（1）在图③中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移 1 个单位，从而得到一个封闭图形，并用阴影表示； （2）请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积(设长方形水平方向长均为 a，竖直方向长均为 b)：S 1 =
，S 2 =
，S 3 =
； （3）如图④，在一块长方形草地上，有一条弯曲的小路（小路任何地方的水平宽度都是 2 个单位），请你写出空白部分表示的草地面积是____________________.
（4）如图⑤，若在（3）中的草地又有一条横向的弯曲小路（小路任何地方的宽度都是 1 个单位），请你写出空白部分表示的草地的面积是____________
解:(1)画图如下:
(2)S 1 =ab﹣b,S 2 =ab﹣b,S 3 =ab﹣b 猜想:依据前面的有关计算,可以猜想草地的面积仍然是 ab﹣b 方案:1、将"小路"沿着左右两个边界"剪去"； 2、将左侧的草地向右平移一个单位； 3、得到一个新的矩形 理由:在新得到的矩形中,其纵向宽仍然是 b．其水平方向的长变成了 a﹣1, 所以草地的面积就是:b(a﹣1)=ab﹣b． (3)∵小路任何地方的水平宽度都是 2 个单位, ∴空白部分表示的草地面积是(a﹣2)b； (4)∵小路任何地方的宽度都是 1 个单位, ∴空白部分表示的草地面积是 ab﹣a﹣2b+2． 10.如图①，将线段 A 1 A 2 向右平移 2 个单位到 B 1 B 2 ，得到封闭图形 A 1 A 2 B 2 B 1 （即阴影部分），在图②中，
将折线 A 1 A 2 A 3 向右平移 2 个单位到 B 1 B 2 B 3 ，得到封闭图形 A 1 A 2 A 3 B 3 B 2 B 1 （即阴影部分）．
（1）在图③中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移 2 个单位，从而得到一个封闭图形，并用阴影表示； （2）请你分别写出上述三个图形中阴影部分的面积（设长方形水平方向长均为 a，竖直方向长均为b）：S 1 =______，S 2 =______，S 3 =______； （3）如图④，一块长方形草地，长为 20 米，宽为 10 米，草地上有一条弯曲的小路（小路任何地方的宽度都是 2 米），请你...
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