Last updated on the afternoon of January 3, 2021
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统计概率与统计案例
（十三）统计概率与统计案例
考纲要求
常考知识点
能力要求
命题规律
理解离散型随机变量及其分布列的概念；
理解二项分布；
理解并能计算离散型随机变量均值和方差；
了解独立性检验（只要求2x2列联表）与回归分析的基本思
想、方法及其简单应用。
分布列、均值、方差、标准差、散点图、相关系数；线性回归方程；独立性检验。
通过阅读理解、数学建模等考查考生数据处理与运算求解能力
每年必考，主要以选择题的形式考查，位于第3、4题，第10题的位置；解答题位于第18或19题的位置，多数属于中档题。
【命题解读】
考向1：事件与概率（包括古典概型与几何概型）
分析定位：古典概型、几何概型及其概率计算公式是概率计算的基础，为此，要根据题意把概率模型抽象出来，重点是理解好“要完成一件怎样的事”与“要发生的事件是什么”.
例1（2016年全国Ⅱ卷第10题）从区间随机抽取2n个数,，…，，，，…，，构成n个数对，，…，，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为
（A）（B）（C）（D）
分析：先审题，然后转化成几何概型的问题进行解决.
解：题意如右图，边长为的正方形中有个点，其中有个点落在
半径为的个圆中，则，所以，故选C.
总结：究竟是考查古典概型还是几何概型，需要考生从题意中把模型抽象出来.
考向2：统计与概率（包括离散型随机变量的分布列）
分析定位：史宁中教授关于统计与概率的观点如下：
统计学与数学的差异
研究起点：数学是基于定义与假设，统计是基于数据与模型；
思维方法：数学是着重于演绎推理，统计是着重于归纳推理；
结果判断：数学主要是判断对不对，统计主要是判断好不好.
统计学与概率的区别
共性：都是研究随机现象
差异：概率是用数学的方法，统计是用数据分析的方法（为预测、决策提供依据）.
所以，基于“数据与信息，构建模型，进而判断好不好”是考查的基本方向.
840更换的易损零件数911O10频数20例2（2016年全国Ⅰ卷第19题）某公司计划购买台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个
8
40
更换的易损零件数
9
11
O
10
频数
20
以这台机器更换的易损零件数的频率代替台机器更换的易损零件数发生的概率，记表示台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买台机器的同时购买的易损零件数.
（I）求的分布列；
（=2\*ROMANII）若要求，确定的最小值；
（=3\*ROMANIII）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？
分析：（1）数据与信息：本题中是指某种机器中有一易损零件，购进机器时买一个是200元，购进机器后买一个是500元，这就产生了一个问题是：究竟购进机器时要买几个这个零件更好？题中给出了100台机器使用过程中更换零件的状况，其题意如下：
更换零件个数
8
9
10
11
频率
模型：本题是指购买2台机器时，使用的过程中需更换的零件个数，由上表知，则的可能的取值为16，17，18，19，20，21，22，把上表的频率当概率，列得分布列如下：
16
17
18
19
20
21
22
（3）判断：本题中有两个，一是概率不小于时，的最小值是多少？二是当与之中选其一，应选用哪个需要考生进行决策，当然是用数据说话，哪个概率大选哪个
【备考启示】
1.增强考生读表、画图、识图，数据处理的综合能力
从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，要求考生能系统地收集、整理和描述数据，还要会制作直观图表、阅读和解释图表，根据对直观图表的分析，作出合理推断，并能对推断做出符合实际的评价，学会用数据说话.
基于教材进行复习，不要人为地制造“冷考点”与“易失分点”
首先要强化基础知识；其次是强化思想方法，包括计数方法、概率的思想、统计的思想；再次是提升综合分析问题的思维能力.
总之，要摒弃“题型套路”，学会思考与分析才是关键.
【十年真题】
（A）组
1.（2009年全国卷第3题）对变量有观测数据（i=1,2,…,10）,得散点图1,对变量有观测数据（）,得散点图2.由这两个散点图可以判断
（A）变量与正相关,与正相关（B）变量与正相关,与负相关
（C）变量与负相关,与正相关（D）变量与负相关,与负相关
2.（2013年全国Ⅰ卷第3题）为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生
中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情
况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是
（A）简单随机抽样（B）按性别分层抽样
（C）按学段分层抽样（D）系统抽样
3．（2015年全国Ⅱ卷第3题）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单
位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是
（A）逐年比较，2008年减少二氧化碳的效果最明显
（B）2007年我国治理二氧化碳排放显现成效
（C）2006年以来我国治理二氧化碳排放量呈减少趋势
（D）2006年以来我国治理二氧化碳排放量与年份正相关
4.（2015年全国Ⅰ卷第4题）投篮测试中，每人投次，至少投中次才能通过测试.已知
某同学每次投篮投中的概率为，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概
率为
（A）（B）（C）（D）
5.（2016年全国Ⅰ卷第4题）某公司的班车在，，发车，小明在至
之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过分
钟的概率是
（A）EQ\F(1,3)（B）EQ\F(1,2)（C）EQ\F(2,3)（D）EQ\F(3,4)
6.（2016年全国Ⅲ卷第4题）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为，B点表示四月的平均最低气温约为.下面叙述不正确的是
（A）各月的平均最低气温都在以上
（B）七月的平均温差比一月的平均温差大
（C）三月和十一月的平均最高气温基本相同
（D）平均最高气温高于的月份有5个
7．（2010年全国卷第6题）某种种子每粒发芽的概率都为，现播种了粒，对于没
有发芽的种子，每粒需再补种粒，补种的种子数记为，则的数学期望为
（A）（B）（C）（D）
8.（2007年海南宁厦卷第11题）甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表
甲的成绩
环数
7
8
9
10
频数
5
5
5
5
乙的成绩
环数
7
8
9
10
频数
6
4
4
6
丙的成绩
环数
7
8
9
10
频数
4
6
6
4
分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有
(Ａ) (Ｂ)(Ｃ) (Ｄ)
9.（2010年全国卷第13题）设为区间上的连续函数，且恒有,
可以用随机模拟方法近似计算积分,先产生两组（每组个）区间上的均匀
随机数,…,和,…,,由此得到个点（，）（）,其中满
足（）的点数，那么由随机模拟方法可得积分的近似
值为.
10.（2012年全国卷第15题）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件或元件正
常工作，且元件正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）
均服从正态分布，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超
元件1元件2元件3过小时的概率为
元件1
元件2
元件3
11.（2017年全国Ⅲ卷第3题）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.
根据该折线图，下列结论错误的是
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份
D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
12.（2017年全国Ⅱ卷第13题）一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则．
13.（2009年全国卷第18题）某工厂有工人名,其中名工人参加过短期培训（称为类工人）,另外名工人参加过长期培训(称为类工人）,现用分层抽样方法（按类、类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人,调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）.
（Ⅰ）求甲、乙两工人都被抽到的概率,其中甲为类工人,乙为类工人；
（Ⅱ）从类工人中的抽查结果和从类工人中的抽插结果分别如下表1和表2.
表1:
生产能力分组
人数
4
8
5
3
表2:
生产能力分组
人数
6
y
36
18
（i）先确定再在答题纸上完成下列频率分布直方图.就生产能力而言,类工人中个体间的差异程度与类工人中个体间的差异程度哪个更小（不用计算,可通过观察直方图直接回答结论）
（ii）分别估计类工人和类工人生产能力的平均数,并估计该工厂工人的生产能力
的平均数,同一组中的数据用该组区间的中点值作代表.
（B）组
14.（2016年全国Ⅱ卷第10题）从区间随机抽取2n个数,，…，，，，…，，构成n个数对，，…，，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为
（A）（B）（C）（D）
15.（2008年海南宁厦卷第16题）从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm），结果如下：
甲品种：271 273 280 285 285287 292 294 295 301 303 303 307
308 310 314 319 323 325 325328 331 334 337 352
乙品种：284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318 318
320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356
由以上数据设计了如下：
根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：
① ；② ．
16.（2012年全国卷第18题）某花店每天以每枝元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
（Ⅰ）若花店一天购进枝玫瑰花，求当天的利润(单位：元)关于当天需求量（单位：枝，）的函数解析式．
（Ⅱ）花店记录了天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
日需求量
频数
以天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
（ⅰ）若花店一天购进枝玫瑰花，表示当天的利润（单位：元），求的分布列，数学期望及方差；
（ⅱ）若花店计划一天购进枝或枝玫瑰花，你认为应购进枝还是枝？请说明理由．
17.（2010年全国卷第19题）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了位老人，结果如下：
男
女
需要
40
30
不需要
160
270
（Ⅰ）估计该地区老年人中，需要志愿提供帮助的老年人的比例；
（Ⅱ）能否有99℅的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，能否提出更好的调查办法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由.
附：
18.（2014年全国Ⅱ卷第19题）某地区年至年农村居民家庭纯收入（单位：千元）的数据如下表：
年份
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
年份代号
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入
（Ⅰ）求关于的线性回归方程；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析年至年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区年农村居民家庭人均纯收入.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，.
19.（2016年全国Ⅱ卷第18题）某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
保费
a
2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数
0
1
2
3
4
概率
（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出的概率；
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
20.（2008年海南宁厦卷第19题）、两个投资项目的利润率分别为随机变量和.
根据市场分析，和的分布列分别为：
5%
10%
2%
8%
12%
（Ⅰ）在、两个项目上各投资100万元，和分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差DY1、DY2；
（Ⅱ）将万元投资项目，万元投资项目，表示投资项目所得利润的方差与投资项目所得利润的方差的和，求的最小值，并指出为何值时，取到最小值.（注：）
21.（2011年全国卷第19题）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于的产品为优质产品，现用两种新配方（分别称为配方和配方）做试验，各生产了件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：
配方的频率分布表
指标值分组
频数
8
20
42
22
8
配方的频率分布表
指标值分组
频数
4
12
42
32
10
（Ⅰ）分别估计用配方，配方生产的产品的优质品率；
（Ⅱ）已知用配方生产的一件产品的利润（单位：元）与其质量指标值的关系式为从用配方生产的产品中任取一件，其利润记为（单位：元），求的分布列及数学期望.（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）
22.（2015年全国Ⅱ卷第18题）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A、B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：
A地区：6273876
7689
B地区：7383625
9348658
（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；
（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：
满意度评分
低于70分
70分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．
23.（2013年全国Ⅰ卷第19题）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取件作检验，这件产品中优质品的件数记为.如果，再从这批产品中任取件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果，再从这批产品中任取件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验.
假设这批产品的优质品率为，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立.
(Ⅰ)求这批产品通过检验的概率；
（Ⅱ）已知每件产品检验费用为元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为（单位：元），求的分布列及数学期望.
24.（2007年海南宁厦卷第20题）如图，面积为的正方形中有一个不规则的图形，可按下面方法估计的面积：在正方形中随机投掷个点，若个点中有个点落入中，则的面积的估计值为，假设正方形的边长为2，的面积为1，并向正方形中随机投掷个点，以表示落入中的点的数目．
（Ⅰ）求的均值；
（Ⅱ）求用以上方法估计的面积时，的面积的估计值与实际值之差在区间内的概率．
附表：
25.（2013年全国Ⅱ卷第19题）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出该产品获利润元，未售出的产品，每亏损元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如下图所示.经销商为下一个销售季度购进了该农产品.以（单位：，）表示市场需求量，（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.
（Ⅰ）将表示为的函数；
（Ⅱ）根据直方图估计利润不少于元的概率；
（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若，则取，且的概率等于需求量落入的频率，求的数学期望．
26.（2014年全国Ⅰ卷第18题）从某企业的某种产品中抽取件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
(Ⅰ)求这件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.
(i)利用该正态分布，求；
（ⅱ）某用户从该企业购买了件这种产品，记表示这件产品中质量指标值为于区间的产品件数，利用（i）的结果，求.
附：，
若～，则，.
27.（2016年全国Ⅲ卷第18题）下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.
︱︱︱︱︱︱︱
︱︱︱︱︱︱︱
1234567
年生活垃圾无害化处理量y
—
—
—
—
—
—
年份代码t
◆
◆
◆
◆
◆
◆
◆
注：年份代码1-7分别对应年份2008–2014.
（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；
（Ⅱ）建立关于的回归方程（系数精确到），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.
附注：
参考数据：，，，.
参考公式：相关系数.
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：,.
840更换的易损零件数911O10频数2028.（2016年全国Ⅰ卷第19题）某公司计划购买台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个
8
40
更换的易损零件数
9
11
O
10
频数
20
以这台机器更换的易损零件数的频率代替台机器更换的易损零件数发生的概率，记表示台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买台机器的同时购买的易损零件数.
（I）求的分布列；
（=2\*ROMANII）若要求，确定的最小值；
（=3\*ROMANIII）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？
29.（2015年全国Ⅰ卷第19题）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费(单位：千元)对年销售量(单位：)和年利润(单位：千元)的影响，对近年的年宣传费和年销售量()数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
563
1469
表中，.
（Ⅰ）根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利润与，的关系为，根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
（ⅰ）当年宣传费=49时，年销售量及年利润的预报值时多少？
（ⅱ）当年宣传费为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：.
30.（2017年全国Ⅰ卷第19题）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．
（Ⅰ）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；
（Ⅱ）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
经计算得，，其中为抽取的第个零件的尺寸，．
用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到）．
附：若随机变量服从正态分布，则，
，．
31.（2017年全国Ⅱ卷第18题）淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率直方图如下：
（Ⅰ）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A的概率；
（Ⅱ）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量＜50kg
箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法
（Ⅲ）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到）
P（）
k
32.（2017年全国Ⅲ卷第18题）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
[10，15）
[15，20）
[20，25）
[25，30）
[30，35）
[35，40）
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
（Ⅰ）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；
（Ⅱ）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？
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