统计、统计案例
考点五：随机抽样
对某商店一个月 30 天内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示） ，则该样本的中位数、众数、极差
分别是（
）
A ． 46， 45， 56
B． 46，45， 53
C． 47，45， 56
D． 45，47， 53
某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测
试成绩分成 6 组： [40 ，50)，[50 ， 60)，[60，70)， [70 ，80)，
[80 ， 90)， [90 ， 100] 加以统计，得到如图所示的频率分布直
方图．已知高一年级共有学生
600 名，据此估计，该模块测
试成绩不少于 60 分的学生人数为
（
）
A．588
B． 480
C．450
D． 120
3.(2013 ·阜阳模拟 ) 如图是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、 乙两名选手打出的分数的茎
叶图 ( 其中 m为数字 0～ 9 中的一个 ), 去掉一个最高分和一个最低分后 , 甲、乙两名选手得分
的平均数分别为 a1,a 2, 则一定有 ( )
(A)a 1>a2
(B)a 2>a1
(C)a 1=a2
(D)a 1,a 2 的大小与 m的 有关 【来源：全 , 品?中
&高 * 考 * 3.【思路点 】 去掉的最低分和最高分就是第一行和第三行的数据 ,剩下的数只要
算其叶上的数字之和 ,即可作出判断 .【来源：全 ,品 ? 中& 高 *考 * 网】
【解析】 B.去掉一个最高分和一个最低分后 ,甲 手叶上的数字之和是 5+4+5+5+1=20,
乙 手叶上的数字之和是 4+4+6+4+7=25, 故 a2 >a 1 .
网】 4.(2013 ·安 模 ) 某著名 集 了减 生 成本 走高的 力 , 划提高某种
品的价格 , 此 售部在 10 月 1 日至 10 月 5 日 五天 某个大型批 市 中 品一
天的 售量及其价格 行了 , 其中 品的价格 x( 元 ) 与 售量 y( 万件 ) 之 的数据如
表所示 :
日期 10月1日 10月2日 10月 3日 10月4日 10月 5日
价格 x( 元 ) 9 9.5 10 10.5 11
售量
11 10 8 6 5
y( 万件 )
已知 售量 y 与价格 x 之 具有 性相关关系 , 其回 直 方程 :y=a-3.2x, 若 集 提高
价格后 批 市 的日 售量 7.36 万件 , 品的价格
( )
(A)14.2 元 (B)10.8 元
(C)14.8
元(D)10.2
元
6【.解析】选 D.依题意
=10,
=8. 因为线性回归直线必过样本中心点
( , ),所以 8=-3.2
×10+a,
解得
a=40.
所以回归直线方程为
y=40-3.2x.
令
y=7.36,
则
7.36=-3.2x+40,
解得
x=10.2.
所
以该产品的价格约为
10.2 元.
5. 给出以下三幅统计图及四个命题 :
①从折线统计图能看出世界人口的变化情况; ② 2050 年非洲人口大约将达到
15 亿 ; ③2050
年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多 ; ④从 1957 年到 2050 年各洲中北美洲人口增长速
度最慢
.
其中命题正确的是
(
)
(A) ①② (B) ①③ (C) ①④ (D)
②④
5.【解析】选
B.①显然正确
;从条形统计图中可得到
,2050
年非洲人口大约将达到
18 亿,②错 ;
从扇形统计图中能够明显地得到结论
:2050
年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多
,③正
确;由上述三幅统计图并不能得出从
1957
年到
2050
年中哪个洲人口增长速度最慢
,故④错
误.
6.(2012 ·陕西高考 ) 如图是用模拟方法估计圆周率
π 的程序框图 ,P 表示估计结果 , 则图中空白框内应
填入 ( )
(A)P= (B)P=
(C)P= (D)P=
【思路点 】 首先 懂程序框 的含 ,其中 懂 + ≤1 是关 ,然后 化 几何概型确定
周率 π的表达式 ,最后得出 P 的表达式 .
【解析】 D.∵xi,yi 0 ～1 之 的随机数 ,构成以 1 的正方形面 ,当 + ≤1 ,
点(x i,y i)均落在以原点 心 ,以 1 半径且在第一象限的 内 ,当 + >1 , 点
落在阴影部分中 (如 所示 ).因此有 = ,N π=4M-M π,得π(M+N)=4M, 所以 π
= .
7.(2013 ·上 模 ) 某 市 出售西 柿 , 当价格上 , 供 量相 增加 , 而需求量相
减少 , 具体 果如下表 :
表 1 市 供 量
价 ( 元 /kg)
2
2.5
3
3.3
3.5
4
供 量 (1 000kg)
50
60
70
75
80
90
表 2
市 需求量
价 ( 元 /kg)
4
3.5
3.2
2.8
2.4
2
需求量 (1 000kg)
50
60
65
70
75
80
根据以上提供的信息 , 市 供需平衡点 ( 即供 量和需求量相等 的 价 ) 在的区 是
( )
(A) (2.4,2.5) (B)(2.5,2.8) (C)(2.8,3)(D)(3,3.2) 【来源：全 , 品?中 &高 * 考 *
网】3.【解析】 C.由表 1,表 2 可知 ,当市 供 量 60 ～ 70 ,市 价 2.5 ～ 3;当市
需求量 65 ～ 70 ,市 价 2.8 ～3.2, ∴市 供需平衡点 在 (2.8,3) 内 ,故 C.
8. 商 在国 黄金周的促 活 中 , 10 月 2 日 9 至 14
的 售 行 , 其 率分布直方 如 所示 , 已知 9 至
10 时的销售额为 2.5 万元 , 则 11 时至 12 时的销售额为 ( )
(A)6 万元 (B)8
万元
(C)10
万元 (D)12
万元
5.【解析】 选 C.设 11 时至 12 时的销售额为 x 万元 ,由
= ,得 x=10,
故选 C.
9.(2013 ·西安模拟 ) 一组数据共有
7 个整数 , 记得其中有 2,2,2,4,5,10,
还有一个数没记清 ,
但知道这组数的平均数、 中位数、众数依次成等差数列
, 这个数的所有可能值的和为
(
)
(A)11(B)3(C)17(D)9
6.【思路点拨】 分别由不同的情况求出这个数各种可能的值
,再求和 .
【解析】选 D.设没记清的数为 x,若 x≤2,则这列数为 x,2,2,2,4,5,10, 则平均数为
,中位数为
2,众数为 2,所以 2 ×2=
+2, 得 x=-11;
若 2<x ≤4,则这列数为 2,2,2,x,4,5,10, 则平均数为
,中位数为 x,众数为 2,所以 2x=
+2,
得 x=3;
若 x≥5,则这列数为 2,2,2,4,5,x,10 或 2,2,2,4,5,10,x, 则平均数为 ,中位数为 4,众数为 2,所
以 2×4=
+2, 得 x=17.
所以这个数的所有可能值的和为
-11+3+17=9,
故选 D.
10.(2013
·马鞍山模拟 ) 一个样本容量为 10 的样本数据 , 它们组成一个公差不为 0
的等差数
列{a n}, 若 a3=8, 且 a1,a 3,a
7 成等比数列 , 则此样本的平均数和中位数分别是
(
)
(A)13,12(B)13,13(C)12,13(D)13,14
2.【解析】 选 B.设公差为 d, 则有
=(a 3 -2d)(a
3+4d), 又 a3
=8, 解得 d=2,
所以这 10
个样本是
4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,
故此样本的平均数和中位数都是
13.
11. 将容量为 n 的样本中的数据分为 6 组 , 绘制频率分布直方图 , 若第一组至第六组的数据的
频率之比为 2∶ 3∶ 4∶ 6∶ 4∶1, 且前三组数据的频数之和为 27, 则 n= .
【解析】 由已知 ,得 ×n=27, 即 ×n=27, 解得 n=60.
答案： 60
下列说法 :
①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后 , 标准差恒不变 ;
②设有一个回归方程
y=3-5x,
变量
x 增加一个单位时
,y
平均增加
5 个单位
;
③曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系
;
④在一个 2× 2 的列联表中 , 由计算得 χ2=13.079, 则没有证据显示两个变量间有关系 .
其中错误的个数是 .
【解析】 根据标准差的计算公式 ,可知①正确 .对② ,变量 x 增加一个单位 ,y 平均减少 5 个
单位 ,故不正确 .对③ ,不是相关关系 ,而是确定性关系 .对④ ,
13.079>6.635, 则有 99% 的把握认为两个变量有关系 .
答案： 3
1
其中 a： b： c＝ 2∶ 5∶3，全校参加登山的人数占总人数的 . 为了了解学生对本次活动的满
4
意程度， 按分层抽样的方式从中抽取一个
200 人的样本进行调查， 则高三年级参加跑步的学
生中应抽取
(
)
A．15 人 B ．30 人
C．40 人 D ．45 人
【广东省广州市执信、广雅、六中2014 届高三 10 月三校联考 ( 文）】（本小题满分 12
分）某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者 .现从符合条件的志愿
者中随机抽取 100 名按年龄分组：第 1 组 20,25 ，第 2 组 25,30 ，第 3 组 30,35 ，第
4 组 35,40 ，第 5 组 [40, 45] ，得到的频率分布直方图如图所示 .
（1）若从第 3， 4，5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参加广场的宣传活动，应从第
3， 4，5 组各抽取多少名志愿者？
（2）在（ 1）的条件下，该县决定在这
6 名志愿者中随机抽取
2 名志愿者介绍宣传经验，求
第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率
.
【福建省安溪一中、德化一中 2014 届高三摸底联考数学文】 （本题满分 12 分）从一批苹果中，随机抽取 50 个作为样本，其重量（单位：克）的频数分布表如下：
分组（重量）
[80,85)
[85,90)
[90,95)
[95,100)
频数（个）
5
10
20
15
（Ⅰ）根据频数分布表计算苹果的重量在 [90， 95 ) 的频率；
（Ⅱ）用分层抽样的方法从重量在 [80 ，85 ) 和 [95 ，100 ) 的苹果中共抽取 4 个，其中重量在
[80 ，85 ) 的有几个？
(Ⅲ )在（ 2）中抽出的 4 个苹果中，任取 2 个，求重量在 [80，85)和 [95， 100)中各有 1 个的
概率。
20.(14 分 )(2012 ·湖南高考 ) 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息 , 安排一名员工
随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据 , 如下表所示 .
一次购物量
1至4件
5至8件
9至12
件
13至16件
17 件及以上
顾客数 ( 人)
x
30
25
y
10
结算时间
1
1.5
2
2.5
3
(分钟/人)
已知这 100 位顾客中一次购物量超过
8 件的顾客占 55%.
(1) 确定 x,y 的值 , 并估计顾客一次购物的结算时间的平均值.
(2) 求一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率 .( 将频率视为概率 )
21. 【解析】
(1) 由已知得
25+y+10=55,x+30=45,
所以
x=15,y=20.
超市所有 客一次 物的 算 成一个 体 可 体的一个容量 100 的 随机 本本平均数估 ,其估
,所收集的 100 位 客一次 物的 算
, 客一次 物的 算 的平均 可用
=1.9( 分 ).
(2) A 事件“一位 客一次 物的 算 不超 2 分 ” ,A 1,A 2 ,A 3 分 表示事件“
客一次 物的 算 1 分 ”“ 客一次 物的 算 1.5 分 ”“ 客一次
物的 算 2 分 ” .将 率 概率得
P(A 1 )=
= ,P(A 2 )=
= ,
P(A 3 )=
=.
因 A=A 1∪A2∪A3,且 A1,A2,A3 是互斥事件 ,
所以 P(A)=P(A 1∪ A2 ∪ A 3)=P(A 1 )+P(A 2)+P(A 3 )= +
故一位 客一次 物的 算 不超 2 分 的概率
+=
.
.
21.(2012
·安徽高考
) 若某 品的直径 与 准 的差的 不超
1mm , 合格品
,
否 不合格品 . 在近期一次 品抽 中
件 行 , 果 有 50 件不合格品 . 算
, 从某厂生 的此种 品中 , 随机抽取
50 件不合格品的直径 与 准 的差
5000
(
位:mm), 将所得数据分
, 得到如下 率分布表
:
分
数
率
-3 ～-2
0.10
8【来源：
-2 ～-1
全, 品?中
&高*考*
网】
【来源：
全, 品?中
1～2 0.50
&高*考*
网】
2～3 10
3～4
合 50 1.00
(1) 将上面表格中缺少的数据填充完整 .
(2) 估 厂生 的此种 品中 , 不合格品的直径 与 准 的差落在区 1～ 3 内的概率 .
厂 种 品的某个批次 行 , 果 有 20 件不合格品 . 据此估算 批 品中的合格品的件数 .
【思路点 】 (1) 利用 率 = 求解 .
利用 率估 概率 .
【解析】 (1)
分
数
率
-3
～-2
5
0.10
-2
～-1
8
0.16
1
～2
25
0.50
2
～3
10
0.20
3
～4
2
0.04
合 50 1.00
(2)
不合格品的直径长与标准值的差落在区间
1～ 3
内的概率为
0.50+0.20=0.70.
答:不合格品的直径长与标准值的差落在区间
1～ 3
内的概率为
0.70.
(3)
合格品的件数为
20 ×
-20=1980(
件 ).
答:合格品的件数为
1980
件 .
23.（成都石室中学 2014 届高三上学期期中）
成都市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试，且规定：成绩大于或等于 90 分的有
参赛资格， 90 分以下（不包括 90 分）的则被淘汰。若现有 500 人参加测试，学生成绩的频
率分布直方图如下：
（ I ）求获得参赛资格的人数；
（ II ）根据频率直方图， 估算这 500 名学
生测试的平均成绩；
（ III ）若知识竞赛分初赛和复赛，在初
赛中每人最多有 5 次选题答题的机会，累
计答对 3 题或答错 3 题即终止，答对 3 题
者方可参加复赛，已知参赛者甲答对每一
个问题的概率都相同，并且相互之间没有
影响，已知他连续两次答错的概率为 1 ，
9
求甲在初赛中答题个数的分布列及数学
期望。
解： (1) (0.005+0.0043+0.032)*20*500=0.25*500=125 2 分
(2) (40*0.0065+60*0.0140+80*0.0170+100*0.0050+120*0.0043+140*0.0032)*20
=(0.26+0.84+1.36+0.5+0.516+0.448)*20=78.48
5 分
(3) 甲答 每一道 的概率
.P
(1
p)2
1
p
2
9
3
可能取得值为 ，，
3 4 5
P(
3)
P 3
(1 P)3
1
3
P(
4)
C32 P2 (1
P)P C32 (1 P)2 P(1
P)
10
27
P(
5)
1 1
10
8
3
27
27
的分布列
3
4
5
P
1
10
8
3
27
27
E 3*1
4* 10
5 * 8
=
107 12 分
3
27
27
27
24.（成都市
2014 届高三上学期摸底）
某 将 10 名技工平均分成甲、乙两 加工某种零件，
在 位 内每个技工加工的合格零件数的 数据的茎叶
如 所示．
（ I）已知两 技工在 位 内加工的合格零件数的平均数
都
10，分 求出
m，n 的；
（Ⅱ）分 求出甲、 乙两 技工在 位 内加工的合格零件数的方差
S甲2 和 S乙2 ，并由
此分析两 技工的加工水平；
（Ⅲ） 部 从 甲、 乙两 技工中各随机抽取一名技工， 其加工的零件 行
，若两人加工的合格零件数之和大于 17， 称 “ 量合格 ”，求 “ 量
合格 ”的概率．
（注：方差， s2 1 [( x1 x)2
(x2 x) 2
(xn x) 2 ，其中 x 数据 x1 ，x2， ? ，
n
xn 的
平均数）
25.（泸州市 2014 届高三第一次教学质量诊断）
在一次数学统考后，某班随机抽取 10 名同学的成绩进行样本分析，获得成绩数据的茎
叶图如下．
（Ⅰ）计算样本的平均成绩及方差；
（Ⅱ）现从 10 个样本中随机抽出 2 名学生的成绩，设选出学生
的分数为 90 分以上的人数为 X，求随机变量 的分布列和均值．
解：（Ⅰ）样本的平均成绩
x
92
98
98
85
85
74
74
74
60
60
， 2
分
10
80
方差 s2 1 [(92
80)2
(98
80) 2
(98
80) 2
(85
80)
2
10
(85
80) 2
(74
80) 2
(74
80)2
(74
80) 2
(60
80) 2
(60
80)2] 4分
175；6 分
（Ⅱ）由题意知选出学生的分数为 90 分以上的人数为 ，得到随机变量 X 0,1,2 ．7
分
P(
0)
C 72
7
， P(
1)
C13 C71
7
， P(
2)
C 32
1
．10 分
C
2
15
C2
15
C2
15
10
10
10
0
1
2
P
7
7
1
15
15
15
E
0
7
1
7
2
1
3． 12分
15
15
15
5
某中学对高二甲、乙两个同类班级进
行“加强 ‘语文阅读理解 ’训练对提高 ‘数学应用题 ’得分率作用 ”的试验，其中甲班为试验班
(加强语文阅读理解训练 ) ，乙班为对比班 (常规教学，无额外训练 )，在试验前的测试中，甲、
乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致， 试验结束后， 统计几次数学应用题测试的平
均成绩 (均取整数 )如下表所示：
60 分以
61～70
71
～ 80
81～ 90
91
～ 100
下
分
分
分
分
甲班 (人数 )
3
6
11
18
12
乙班 (人数 )
4
8
13
15
10
现规定平均成绩在 80 分以上 (不含 80 分 )的为优秀．
试分别估计两个班级的优秀率；
由以上统计数据填写下面 2×2 列联表，并问是否有 95%的把握认为 “加强 ‘语文阅读理解’训练对提高 ‘数学应用题 ’得分率 ”有帮助 .
优秀人数 非优秀人数 合计
甲班
乙班
合计
解： (1)由题意知，甲、乙两班均有学生
50 人，
30
甲班优秀人数为 30 人，优秀率为 50＝ 60%，
乙班优秀人数为 25 人，优秀率为 2550＝ 50%，
所以甲、乙两班的优秀率分别为 60(2)列联表如下：
优秀人数
非优秀人数
合计
甲班
30
20
50
乙班
25
25
50
合计
55
45
100
100 ××25－ 20×
2
2
100
因为 χ＝
50×50×55×45
＝ 99 ≈ 1.010，
所以由参考数据知， 没有 95%的把握认为 “加强 ‘语文阅读理解 ’训练对提高 ‘数学应用题 ’得分
率”有帮助．
相关热词搜索： 统计 统计 案例 统计、统计案例x
