一元微分学概念性质与计算讲义

　 一元微分学的概念 性质与计算 讲义

　 一、考试内容

　（一）

　导数与微分的概念与性质

　， 函数 在点 处 可导， 则其所示曲线在点 处有切线，反之不然.

　（二）

　基本函数的导数 及高阶导数表

　；

　， . （三）

　导数与微分的运算法则

　， 对幂指函数也可用对数求导法，其适用于幂指函数、连乘、连除、开方、乘方等；

　；

　(0) 00 000 0( ) ( ) ( )(0) lim , ( ) lim ( ) ,fx hf x mh f x nh f mxf a ma f x a m n ax h           00 0 0 0 0 0 0( ) "( ) "( ) ,lim ( ) ( ) "( ) "( ) ( )x xf x a f x f x a f x f x f x f x f x             ( ) ( ) ( ) ( ) "( ), ( ( )) "( ) ( ) "( ) "( ) "( ) , y x A x x o x A x y x dy u x y u du x y u u x dx y x dx          ( ) f x0x0x2 22 21[ln( )]" , x x ax a  2 21 1( ln )" ,2a xa a x a x 11,1(ln )" ,( )" ,[( ) ]" ( 1)( )1,n nx ax x a x a x a n x a x ax a x          ( ) ( ) ( 1) ( )101 ( 1) !( ) ! ,( ) ln ,[ln( )] ( ) ,( )nm n x n x n n nnn m nmn mnx n n m a a a x ax a x aA x n m        ( )(sin ) sin( 2)n nax a ax n   ( )(cos ) cos( 2)n nax a ax n   ( ) ( ) ( )( )[ ( ) ] ( ) [ ( )ln ( )] ( ) [ "( ) "( )ln ( )]( )v x v x v xv xd u x u x d v x u x u x u x v x u x dxu x  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 20[ ( ) ( )] ( ) ( ),[ ( ) ( )] [ ( )] [ ( )]nn n n n k n k knkk u x k v x k u x k v x u x v x C u x v x    

　 设 二阶可导，且 ，则 ， ；

　设 二阶可导，若 由 所确定， 则

　， .

　二、典型例题

　题型一

　可导性的判定

　1、设函数 在 处连续，则 是 的(A) (A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也非必要条件 2 2 、设 ，则 是 的(B) (A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也非必要条件 注 1：

　是 的(C) ，但 是的(B) ． 提示：取 ,则 ，但 在 处非右连续． 注 2：若设函数 在 处连续，则 是的(D)，但 是 的(A)．

　3、设 存在但不相等，则下列命题正确的是(B) (A) 在 处不连续 (B) 在 处连续但不可导

　(C) 为 的跳跃间断点 (D) 为 的跳跃间断点 注 1：

　为 的跳跃间断点 存在但不相等； ) (x f y  " 0 y  "( ) 1 " x y y 3""( ) "" " x y y y ( ), ( ) x t y t ( ) y y x  ( ), ( ) x x t y y t  "( ) "( ) "( ) y x y t x t 3""( ) [ "( ) "( )] ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] ( ) y x d y t x t dx t y t x t y t x t x t        ) (x f0x x 010lim( ) ( )x xx x f x a 0( ) f x a  0 ) 0 (  f220lim ( 1)xxx f e a  "(0) f a 220lim ( 1)xxx f e a  "(0) f a1lim ( )nnf n a "(0) f a0,( )1,x Qf xx Q  1( ) 0 fn ( ) f x 0 x ) (x f 0 x 220lim ( 1)xxx f e a  "(0) f a 220lim ( 1)xxx f e a  "(0) f a0 0"( ), "( ) f x f x ( ) f x0x x  ( ) f x0x x 0x x  ( ) f x0x x  "( ) f x0x x  "( ) f x 0 0"( ) "( ) f x f x ，

　 为 的可去间断点 存在且相等； 注 2：设 在 处连续，且 存在且相等 在处连续． 4、设 在 处连续，则下列命题正确的个数为(D) (1) 若 在 处可导，则

　(2) 若 在 处连续，则

　 (3) 若 ，则

　(4) 若 ，则 (A)

　 (B)

　 (C)

　 (D)

　 5、函数 不可导点的个数为 ． 6、设 ， 在 连续，但不可导，又 存在，求证：

　是 在 可导的充要条件． 题型二

　求导（微）的计算

　例 1、设 ，求 ． 例 2、设 ，求 ． 例 3、设 ，求 ． 例 4、函数 可导， 当自变量 在 处取得增量时，相应的函数增量 的线性主部为 ，则．(提示：

　) 例 5、设 是方程 所确定的函数，求 及． 0x x  "( ) f x 0 0"( ) "( ) f x f x ，( ) f x0x x 0 0"( ) "( ) f x f x ，  "( ) f x0x x 00( ),( ),g x x xf xa x x  0x( ) g x0x0 0"( ) "( ) f x g x  "( ) g x0x0 0"( ) "( ) f x g x 0 0"( ) "( ) g x g x b  0"( ) f x b 0 0"( ) "( ) g x g x b 0"( ) f x b 1 2 3 42 2( ) ( ) 2 f x x x x x     1( ) ( ) ( ) F x g x x   ( ) x  x a  ( ) g a ( ) 0 g a  ( ) F x x a ) ( ) 2 )( 1 () ( ) 2 )( 1 () (n x x xn x x xx f    ) 1 (f xex y  "( ) y x2 2[ln( 1 )] 1 f x x x     )] 1 [ln(2x x f    ) (u f ) (2x f y  x 1   x1 . 0   x y  0.1 (1)f 0.52 2[ ( )]" 2 "( ) dy f x x xf x x    ) (x f y  0   xy e ex y) 0 (y) 0 (y 

　 例 6、

　求 ． 例 7、设严格单调函数 具有二阶导数，其反函数为且满足 ，则 ． 例 8、设 二阶可导，且 ，求

　求 ． 例 9、设 是由方程组 所确定的隐函数，求． 例 例 0 10 、 已 知 是 由 方 程 确 定 ， 则 ．

　例 11、求函数 的导数 ． 例 例 1 12 2 、对于函数

　,问选取怎样的系数才能使得 处处具有一阶连续导数，但在 处却不存在二阶导数． 题型三

　高阶 导 数 的计算

　例 1、设 ，则 ．例 2、设 ，求 ． 例 3、设 ，求 ． 例 4、设 ，求 ， ． 三 、 课后 练 习 2 2arctany x eyx  dy( ) y f x ( ), x y  (1) 1, (1) 2, (1) 3 f f f      (1)    3 8) (t f 0 ) (   tf   ) ( ) () (t f t f t yt f x22dxy d) (x f y     0 1 sin3 2 32y t et t xy202| td ydx  x f y    1 ln cos    x y xy    lim 2 1nn f n  2) 1 1 )( 1 (      x x x yy   0 ) 1 ln(0) (2x xx c bx axx fc b a , , ) (x f 0  x50 2) 5 4 (   x y ! 100 4 50) 100 (  y2 13 ( 2) y x x x  ) (nyx x y4 4cos sin  ( ) ( 1)4 cos(4 2)n ny x n  2 1( 2) (cos4 )n ny x x x    ) () (x fn) 1 () (nf

　 1(A)、设 存在，则 ． 2(A)、设 在 处连续，且 ，则 ． 3(B)、若 ，且 ,则 ． 4(A)、设函数 在 处连续，下列命题错误的是( ) (A)若 存在，则

　(B)若 存在，则

　 (C)若 存在，则 存在(D)若 存在，则 存在 5(A)、设 ，则 在点 可导的充要条件是( ) (A) 存在

　(B) 存在

　(C) 存在 (D)

　6(B)、设 可导， ，则 是 在处可导的( ) (A) 充要条件 (B)充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D)即非充分也非必要条件 7(A)、函数 不可导点的个数是 ． 8(A)、设 则使 存在的最高阶数 为( ) (A)0

　 (B)1

　(C)2

　(D)3

　 9(B)、设 ，则 在 内( )

　(A) 处处可导(B) 恰有一个不可导点

　(C)恰有两个不可导) (0xf 10 00lim [ ( ) ( 2 )]xx f x x f x x   ) (x f 2  x2 12lim( 4) ( ) 3xx f x  (2)f (0) 0 f  (0)= f a 3 2 30lim [ ( ) 2 ( )]xx x f x f x ) (x f 0 x 10lim ( )xx f x(0) 0 f 10lim [ ( ) ( )]xx f x f x 0 ) 0 (  f10lim ( )xx f x"(0) f10lim [ ( ) ( )]xx f x f x "(0) f0 ) 0 (  f ) (x f 0  x20lim (1 cosh)hh f10lim (1 )hhh f e20lim (tan sin )hh f h h10lim [ (tan ) (sin )]hh f h f h) (x f ) sin 1 )( ( ) ( x x f x F   0 ) 0 (  f ) (x F 0  xx x x x x f    3 2) 2 ( ) (3 2( ) 3 , f x x x x  ( ) (0) nf nnnnx x f31 lim ) (   ( ) f x ) , (  

　 点 (D) 至少有三个不可导点 10(A)、设 ，其中 是有界函数，则在 处( ) (A)极限不存在 (B) 极限存在，但不连续 (C) 连续但不可导 (D) 可导点 11(B)、设 在 处连续，则下列命题正确的个数为( ) (1) 若 ，则

　(2) 若 ，则 (3) 若 ， 则

　(4) 若，则

　(A)

　 (B)

　(C)

　 (D)

　 12(A)、设 为不恒等于零的奇函数，且 存在，则 为的( ) (A) 连续点

　(B) 跳跃间断点

　 (C) 可去间断点 (D) 第二类间断点

　 13(A)、若 为偶函数，且 存在，求证：

　． 14(A)、设函数 的图形如图所示，则在 处的 及的正负号为（ ）

　（A）

　（B）

　（C）

　（D）

　2(1 cos ) 0( )( ) 0x x xf xx g x x    ) (x g ) (x f0  x000( )( )( )g x x xf x a x xh x x x  0x0 0"( ) "( ) g x h x b  0"( ) f x b 0 0"( ) "( ) g x h x b  0"( ) f x b 0 0"( ) "( ) g x h x b 0"( ) f x b 0 0"( ) "( ) g x h x b  0"( ) f x b 1 2 3 4) (x f ) 0 (f 0 x ( ) ( ) g x f x x ) (x f ) 0 (f 0 ) 0 (  f) (x f y 0x dy dy y  0 , 0     dy y dy 0 , 0     dy y dy0 , 0     dy y dy 0 , 0     dy y dy y

　 15(A)、设 可微， , 则 . 16(A)、设 在 的某邻域内可导,且 , ，则 .

　 0

　 17(A)、设函数 ，其中 为正整数，则=( ) . 18、计算下列导数（微分）：

　（1）(A)设 ，则 . （2）(A)设 ，求 . （3）(A)若 由 确定，则 . （4）(B)设 ，其中 具有二阶导数，且 ，求. （5）(A)设 ，其中 可导，且 ，则 . （6）(A)设 由 所确定，则 . （7）(B)设函数 则 . （8）(B)设 ，则 . （9）(A)设 ，则 . （10）(A) 则 . （11）(B)设函数 ，则当 ， . 19(A) 、设 ，则

　. ( ) g x1 ( )( ) e , (1) 1, (1) 2g xh x h g    (1) g ( ) f x 2 x   ef xf x    2 1 f    2f0x x x  0x2( ) ( 1)( 2)x x nxf x e e e n    …（ - ）

　n"(0) f2ln (1 ) (1 ) y x x    (0)y23 [(1)( 7)] [ (1 )] y x x x x     (1)y) (x f y  0 1 62    x xy ey(0)y) ( y x f y   f " 1 f  ""( ) y x   ) 1 () (3te f yt f x f 0 ) 0 (  f0 tdydx) (x y y    2 3) 1 ln(t t yt t x22d ydxln , 1( )= , ( ( )),2 1, 1x xf x y f f xx x    2=xdydx 2 3( ) max , , , (0,2) f x x x x x   ( ) f x  ( ) (1 ) (1 ) f x x x   ( ) ( ) nf x ln(1 2 ) y x   ，( ) (0) ny ) 1 ln( ) (2x x x f   3  n( ) (0) nf 0( ) lim (1 3 ) x ttf x x t  "( ) f x 

　 2 20 0(A)、 、 设函数 由方程 确定，则．

　2 21 1(A) 、定义于 上的 ， 为常数，且在 上, ,

　(1) 在 上， ；(2) 若 在 处可导，则. 22(A) 、设

　问 取何值时， 可导？

　23(A)、设 讨论 在 处的连续性.

　24(B)、 的导数在 处连续，则 （连续）． 25(B)、设 ，求 的导数，并讨论的连续性. 26(B)、设

　， 则 . 27(B)、设 可导， 当自变量 在 处取得增量时，相应的函数增量 的线性主部为 ，则．

　 ) (x f y ) 1 ( y xe x y      lim 1 1nn f n R ( ) ( 2) f x kf x   k [0, 2]2( ) ( 4) f x x x  [ 2,0]  ( ) f x  ( ) f x 0 x  k    , 1

　 ,, 1

　 , 2 ) 1 sin() (x b axx xx f b a, ) (x f2arctan ,

　 0,( )0,

　0,x x xf xx  ) (xf 0  x10, cos ,( )0, 0,x x xf xx   0 x   30( )0 0x x xf xx  )] ( [ ) ( x f f x   ) (x    t t t yt t x4 5220 0 0= , = ? , =t t tdx dy dydt dt dx  ) (u f22(log ) y f x  x 1   x0.01 x    y  0.02 (0)f