第三讲
代数式 考点综述: 对于代数式，中考中主要考查用代数式表示简单问题的数量关系，解释代数式的意义和求代数式的值，近年来，探索规律并用代数式表示也是中考考查的热点，主要考查学生能否用观察分析、直觉思维、推理猜想、还有数形结合等思想方法来解决问题。
典型例题: 例 1.(2008 西宁)回收废纸用于造纸可以节约木材．根据专家估计，每回收一吨废纸可以节约 3 立方米木材，那么回收 a 吨废纸可以节约
立方米木材． 解: 3a
例 2:(2007 云南)一台电视机的原价为 a 元，降价 4%后的价格为_________________元． 解: (1–4%) a 元或 0.96 a 元
例 3:(2008 茂名)任意给定一个非零数，按下列程序计算，最后输出的结果是(
)
m
平方
- m
÷ m
+2
结果
A． m
B． m2
C． m +1
D． m -1 解:C 例 4:(2008 济南) 当3, 1 x y 时，代数式2( )( ) x y x y y 的值是
． 解:9 例 5:(2007 河南)图①所示的正六边形进行分割得到图②，再将图②中最小的某一个正六边形按同样 的方式进行分割得到图③，再将图③中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割，…，则第 n 个图形中共有
个正六边形．
解:3n－2 例 6:(2008 宜昌)2021 年 6 月 1 日北京奥运圣火在宜昌传递，圣火传递路线分为两段，其中在市区的传递路程为 700(a－1)米，三峡坝区的传递路程为(881a＋2309)米．设圣火在宜昌的传递总路程为 s 米． (1)用含 a 的代数式表示 s； (2)已知 a＝11，求 s 的值． 解:(1)s＝700(a－1)＋(881a＋2309) ＝1 581 a ＋1 609. (2)a＝11 时， s＝1 581 a ＋1609＝1 581×11 ＋1 609 ＝19 000 实战演练: 1.(2008 镇江)用代数式表示“ a 的 3 倍与 b 的差的平方”，正确的是(
) ③ ②
A．2(3 ) a b
B．23( ) a b
C．23a b
D．2( 3 ) a b
2.(2008 深圳)今年财政部将证券交易印花税税率由 3‰调整为 1‰(1‰表示千分之一)．某人在调整后购买 100000 元股票，则比调整前少交证券交易印花税多少元？(
) A．200 元
B．2000 元
C．100 元
D．1000 元 3.(2008 广州)若实数 a 、 b 互为相反数，则下列等式中恒成立的是(
) A． 0 a b
B. 0 a b
C. 1 ab
D. 1 ab
4.(2008 咸宁)化简 ( ) m n m n 的结果为
A． 2m
B． 2m
C． 2n
D． 2n
5.(2008 北京)若 2 3 0 x y ，则 xy 的值为(
) A． 8
B． 6
C． 5
D． 6
6.根据如图所示的(1)，(2)，(3)三个图所表示的规律，依次下去第 n 个图中平行四边形的个数是(
) A． 3n
B． 3 ( 1) n n
C． 6n
D． 6 ( 1) n n
7.(2007 茂名)某商场 2021 年的销售利润为 a 预计以后每年比上一年增长 b%，那么 2021 年该商场的销售利润将是(
) A． 21 a b
B． 21 % a b
C． 2% a a b
D．2a ab
8.(2008 株洲)根据如上图所示的程序计算，若输入的 x 的值为 1，则输出的 y 值为
.
9．(2008 威海)如图，在平面直角坐标系中，点 A 1 是以原点 O 为圆心，半径为 2 的圆与过点(0，1)且平行于 x 轴的直线 l 1 的一个交点；点 A 2 是以原点 O 为圆心，半径为 3 的圆与过点(0，2)且平行于 x 轴的直线 l 2 的一个交点；……按照这样的规律进行下去，点 A n 的坐标为
．
10.(2008 海南)用同样大小的黑色棋子按图 6 所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去， …… （1）
（2）
（3）
输入 x 平 方 乘以 2 减去 4 若结果大于 0 否则 输出 y 第 8 题 （第 9 题）
x y O A 1 A 2 A 3 l 2 l 1 l 3 1 4 2 3
则第 n 个图形需棋子
枚(用含 n 的代数式表示).
11．(2008 北京)一组按规律排列的式子:2ba ，25ab，83ba ，114ba，…( 0 ab )，其中第 7个式子是
，第 n 个式子是
( n 为正整数)． 12．(2008 梅州)观察下列等式: ① 3 2 -1 2 =4×2；
② 4 2 -2 2 =4×3； ③ 5 2 -3 2 =4×4；
④ (
) 2 -(
) 2 =(
)×(
)； …… 则第 4 个等式为_______．
第 n 个等式为_____．( n 是正整数) 13．(2008 河北)若 m n ， 互为相反数，则 5 5 5 m n
． 14.(2008 金华)如果 x+y=-4，x-y=8，那么代数式 x2 －y 2 的值是
cm. 15.(2007 云南)小华将一条直角边长为 1 的一个等腰直角三角形纸片(如图 1)，沿它的对称轴折叠 1 次后得到一个等腰直角三角形(如图 2)，再将图 2 的等腰直角三角形沿它的对称轴折叠后得到一个等腰直角三角形(如图 3)，则图 3 中的等腰直角三角形的一条腰长为_____________；同上操作，若小华连续将图 1 的等腰直角三角形折叠 n 次后所得到的等腰直角三角形(如图 n+1)的一条腰长为_______________________．
16.(2008 烟台)已知 21 3 x x x y ，求2 22 x y xy 的值. 17.(2008 湛江)先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题． 1 111 2 2
1 1 12 3 2 3
1 1 13 4 3 4
┅┅ (1)计算1 1 1 1 11 2 2 3 3 4 4 5 5 6
． (2)探究1 1 1 1......1 2 2 3 3 4 ( 1) n n
．(用含有 n 的式子表示) (3)若 1 1 1 1......1 3 3 5 5 7 (2 1)(2 1) n n 的值为1735，求 n 的值． 应用探究: 1.(2008 青海)对单项式“ 5x ”，我们可以这样解释:香蕉每千克 5 元，某人买了 x 千克，共第1个图 第2个图 第3个图 …
付 款 5x 元 ． 请 你 对 “ 5x ” 再 给 出 另 一 个 实 际 生 活 方 面 的 合 理 解释:
． 2.(2008 黄石)若实数 a b ， 满足21 a b ，则2 22 7 a b 的最小值是
． 3.(2008 成都)已知 y = 31x – 1,那么31x 2
– 2xy + 3y 2
– 2 的值是
. 4.(2008 巴中)在长为 a m，宽为 b m 的一块草坪上修了一条 1m 宽的笔直小路，则余下草坪的面积可表示为
2m ；现为了增加美感，把这条小路改为宽恒为1m的弯曲小路(如图)，则此时余下草坪的面积为
2m ．
5.(2008 北京)已知等边三角形纸片 ABC 的边长为 8 ， D 为 AB 边上的点，过点 D 作DG BC ∥ 交 AC 于点 G ． DE BC 于点 E ，过点 G 作 GF BC 于点 F ，把三角形纸片 ABC 分别沿 DG DE GF ， ， 按图 1 所示方式折叠，点 A B C ， ， 分别落在点A，B，C处．若点A，B，C在矩形 DEFG 内或其边上，且互不重合，此时我们称 ABC △ (即图中阴影部分)为“重叠三角形”．
(1)若把三角形纸片 ABC 放在等边三角形网格中(图中每个小三角形都是边长为 1 的等边三角形)，点 A B C D ， ， ， 恰好落在网格图中的格点上．如图 2 所示，请直接写出此时重叠三角形 ABC 的面积； (2)实验探究:设 AD 的长为 m ，若重叠三角形 ABC 存在．试用含 m 的代数式表示重叠三角形 ABC 的面积，并写出 m 的取值范围(直接写出结果，备用图供实验，探究使用)．
解:(1)重叠三角形 ABC 的面积为
； (2)用含 m 的代数式表示重叠三角形 ABC 的面积为
； m 的取值范围为
． 6.(2008 河北)在一平直河岸 l 同侧有 A B ， 两个村庄， A B ， 到 l 的距离分别是 3km 和 2km，km AB a ( 1) a ．现计划在河岸 l 上建一抽水站 P ，用输水管向两个村庄供水． A
G
C
F
B CE
B
D
A 图 1
A
G
C
F
B C E
B
D
A 图 2
A
C
B
备用图
A
C
B
备用图
方案设计 某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案:图 1 是方案一的示意图，设该方案中管道长度为1d ，且1(km) d PB BA (其中 BP l 于点 P )；图 2 是方案二的示意图，设该方案中管道长度为2d ，且2(km) d PA PB (其中点A与点 A 关于 l 对称， AB 与 l 交于点 P )．
观察计算 (1)在方案一中，1d
km(用含 a 的式子表示)； (2)在方案二中，组长小宇为了计算2d 的长，作了如图 3 所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，2d
km(用含 a 的式子表示)． 探索归纳 (1)①当 4 a 时，比较大小:1 2_______ d d (填“＞”、“＝”或“＜”)； ②当 6 a 时，比较大小:1 2_______ d d (填“＞”、“＝”或“＜”)； (2)请你参考右边方框中的方法指导， 就 a (当 1 a 时)的所有取值情况进 行分析，要使铺设的管道长度较短， 应选择方案一还是方案二？
第三讲
代数式 A B P l l A B P A C 图 1 图 2 l A B P A C 图 3 K 方法指导 当不易直接比较两个正数 m
与 n
的大小时，可以对它们的平方进行比较：
2( )( ) m n m n m n ，0 m n ， 2 2( ) m n 与 () m n 的符号相同． 当2 20 m n 时，0 m n ，即 mn ； 当2 20 m n 时，0 m n ，即 mn ； 当2 20 m n 时，0 m n ，即 mn ；
参考答案 实战演练: 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A A B C B B B
8.4 9．( 1 2 n ，n) 10. 3n+1 11. 207ba ；3 1( 1)nnnba
12．6 2 -4 2 =4×5；(n+2) 2 -n 2 =4×(n+1)
13.－5 14.－32 15．12、22n 16.
17.解:(1)56
(2)1 nn
(3)1 1 1 1......1 3 3 5 5 7 (2 1)(2 1) n n = )7151(21)5131(21)311 (21 + ┄ + )1 211 21(21 n n = )1 211 (21n=1 2 nn
由1 2 nn=3517
解得 17 n
经检验 17 n 是方程的根，∴ 17 n
应用探究: 1.某人以 5 千米/时的速度走了 x 小时，他走的路程是 5x 千米(答案不唯一) 2.2 3.1 4． ( 1) a b (或 ab a )
( 1) a b (或 ab a ) 5. 解:(1)重叠三角形 ABC 的面积为 3 ．
(2)用含 m 的代数式表示重叠三角形 ABC 的面积为23(4 ) m ；
m 的取值范围为843m ≤ ． 6．观察计算 (1) 2 a ； (2)224 a ． 探索归纳 (1)① ；② ； (2)2 2 2 2 21 2( 2) ( 24) 4 20 d d a a a ． ①当 4 20 0 a ，即 5 a 时，2 21 20 d d ，1 20 d d ．1 2d d ； ②当 4 20 0 a ，即 5 a 时，2 21 20 d d ，1 20 d d ．1 2d d ； ③当 4 20 0 a ，即 5 a 时，2 21 20 d d ，1 20 d d ．1 2d d ． 综上可知:当 5 a 时，选方案二； 当 5 a 时，选方案一或方案二； 当 1 5 a (缺 1 a 不扣分)时，选方案一．
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