动能和动能定理
核心素养目标 物理观念 理解动能的概念及动能定理。
科学思维 经历动能概念的建立过程，提高演绎推理能力，会用动能定理解决力学中的实际问题。
科学态度与责任 感知生活中动能定理的应用，提高理论与实践相结合的能力。
知识点一 动能的表达式 [观图助学] 如图甲所示，是古代战争中攻击城门的战车，战车上装有一根质量很大的圆木，有很多士兵推着以很大的速度撞击城门，轻而易举地将城门撞破。圆木的质量很大，速度很大时，是为了增加圆木的什么能？
甲
乙 如图乙所示，人用铁锤打击石头时为什么要用质量较大的铁锤，还要高高抡起来？这样可以增大铁锤打击石头时的什么能？ 1.定义：在物理学中用“ 12 mv2 ”这个量表示物体的动能。
2.表达式 E k ＝ 12 mv2 。
3.单位 在国际单位制中是焦耳，符号为 J。1 kg(m/s) 2 ＝1 N·m＝1 J。
[思考判断] (1)凡是运动的物体都具有动能。(√) (2)一定质量的物体，动能变化时，速度一定变化，但速度变化时，动能不一定变化。(√) (3)动能不变的物体，一定处于平衡状态。(×) (4)做匀速圆周运动的物体的动能保持不变。(√) 初中学过动能 物体由于运动而具有的能，叫作动能。
质量相同的物体，运动的速度越大，动能越大；运动速度相同的物体，质量越大，动能越大。
动能的“三性” (1)相对性：选取不同的参考系，物体的速度不同，动能也不同，一般以地面为参考系。
(2)标量性：动能是标量，没有方向。
(3)瞬时性：动能是状态量。
知识点二 动能定理
1.推导：如图所示，物体的质量为 m，在与运动方向相同的恒力 F 的作用下发生了一段位移 l，速度由 v 1 增加到 v 2 ，此过程力 F 做的功为 W。
2.内容：力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。
3.表达式：W＝E k2 －E k1 。动能定理中的功“W”指合力做的功。
4.适用范围：既适用于恒力做功，也适用于变力做功；既适用于直线运动，也适用于曲线运动。
[思考判断] (1)合力做正功，物体动能可能减小。(×) (2)运动物体所受的合外力为零，则物体的动能肯定不变。(√) (3)物体做变速运动，合外力一定不为零，动能一定变化。(×) (4)若合外力对物体做功为零，则合外力一定为零。(×) (5)物体的合外力做功，它的速度大小一定发生变化。(√),
E k2 －E k1 是动能的变化，定理中“变化”一词，并不表示动能一定增大，它的确切含义为末态与初态的动能差，或称为“改变量”，数值可正、可负。
核心要点一 对动能和动能定理的理解 1.动能与速度的三种关系 (1)数值关系：E k ＝ 12 mv2 ，质量一定时，速度 v 越大，动能 E k 越大。
(2)瞬时关系：动能和速度均为状态量，二者具有瞬时对应关系。
(3)变化关系：动能是标量，速度是矢量，质量一定的物体当动能发生变化时，物体的速度(大小)一定发生了变化；当速度发生变化时，可能仅是速度方向的变化，物体的动能可能不变。
2.对动能定理的理解 (1)对“力”的两点理解 ①“力”可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，它们可以同时作用，也可以不同时作用。
②“力”既可以是恒力，也可以是变力。
(2)公式中“＝”体现的三个关系 数量关系 合力做的功与物体动能的变化相等 单位关系 国际单位都是焦耳 因果关系 合力做功是物体动能变化的原因 3.合力做功与动能变化的关系
[试题案例] [例 1] 关于运动物体所受的合外力、合外力做的功及动能变化的关系，下列说法正确的是(
) A.合外力为零，则合外力做功一定为零 B.合外力做功为零，则合外力一定为零 C.合外力做功越多，则动能一定越大 D.动能不变，则物体合外力一定为零 解析 由 W＝Flcos α 可知，物体所受合外力为零，合外力做功一定为零，但合外力做功为零，可能是 α ＝90°，故选项 A 正确，B 错误；由动能定理 W＝ΔE k 可知，合外力做功越多，动能变化量越大，但动能不一定越大。动能不变，合外力做功为零，但物体合外力不一定为零，选项 C、D 均错误。
答案 A [针对训练 1] (多选)质量为 m 的物体在水平力 F 的作用下由静止开始在光滑水平地面上运动，前进一段距离之后速度大小为 v，再前进一段距离使物体的速度增大为 2v，则(
) A.第二过程的速度增量等于第一过程的速度增量 B.第二过程的动能增量是第一过程动能增量的 3 倍 C.第二过程合外力做的功等于第一过程合外力做的功 D.第二过程合外力做的功等于第一过程合外力做功的 2 倍 解析 第一过程速度增量为 Δv 1 ＝v，动能增量为 ΔE k1 ＝ 12 mv2 ，合外力做功 W 1 ＝ΔE 1 ＝ 12 mv2 ；第二过程速度增量 Δv 2 ＝2v－v＝v，动能增量 ΔE k2 ＝ 12 m·(2v)2 － 12 mv2
＝ 32 mv2 ＝3ΔE k1 ，合外力做功 W 2 ＝ΔE k2 ＝ 32 mv2 ＝3W 1 ，故选项 A、B 正确，C、D错误。
答案 AB 核心要点二 动能定理的应用 1.应用动能定理解题的注意事项 (1)动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系的，一般以地面或相对地面静止的物体为参考系。
(2)动能定理的表达式是一个标量方程，但在应用动能定理时，需要明确各力做功的正、负。
2.对动能定理的几点说明 名词 释疑 正负关系 W＞0，ΔE k ＞0(动力做功)；W＜0，ΔE k ＜0(阻力做功) 研究对象 一般是一个物体，也可以是一个系统 过程要求 适用于全过程，也适用于某一阶段 对应关系 一个过程量(做功)对应着两个状态量(动能) [试题案例] [例 2] 如图所示装置由 AB、BC、CD 三段轨道组成，轨道交接处均由很小的圆弧平滑连接，其中轨道 AB、CD 段是光滑的，水平轨道 BC 的长度 s＝5 m，轨道 CD足够长，且倾角 θ＝37°，A、D 两点离轨道 BC 的高度分别为 h 1 ＝4.30 m、h 2 ＝ 1.35 m。现让质量为 m 的小滑块自 A 点由静止释放，已知小滑块与轨道 BC 间的动摩擦因数 μ＝0.5，重力加速度 g 取 10 m/s 2 ，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求：
(1)小滑块第一次到达 D 点时的速度大小； (2)小滑块最终停止的位置距 B 点的距离。
【审题指导】
题干关键点 信息提取 圆弧平滑连接 速度方向变化时大小不变 AB、CD 段是光滑的 滑块在斜面上运动时没有摩擦 轨道 CD 足够长 滑块在右端斜面上滑时直到速度为零 解析 (1)如图所示，小滑块从 A→B→C→D 过程中，由动能定理得
mg(h 1 －h 2 )－μmgs＝ 12 mv2D －0 将 h 1 、h 2 、s、μ、g 代入得 v D ＝3 m/s。
(2)对小滑块运动全过程应用动能定理，设小滑块在水平轨道上运动的总路程为s 总 。
有 mgh 1 ＝μmgs 总
将 h 1 、μ 代入得 s 总 ＝8.6 m 故小滑块最终停止的位置距 B 点的距离为 2s－s 总 ＝1.4 m。
答案 (1)3 m/s (2)1.4 m [例 3] 质量为 4 t 的卡车，由静止出发在水平公路上行驶 100 m 后速度增大到 54 km/h，若发动机的牵引力为 5×10 3
N 不变。则：
(1)牵引力做了多少功？ (2)卡车动能增加了多少？ (3)卡车克服阻力做了多少功？ 解析 (1)W＝Fs＝5×10 3 ×100 J＝5×10 5
J。
(2)ΔE k ＝ 12 mv2 －0＝ 12 ×4×103 ×15 2
J＝4.5×10 5
J。
(3)由动能定理知 W 合 ＝ΔE k ，即 W－W 阻 ＝ΔE k
W 阻 ＝W－ΔE k ＝5×10 5
J－4.5×10 5
J＝5×10 4
J。
答案 (1)5×10 5
J (2)4.5×10 5
J (3)5×10 4
J [拓展] 在[例 3]中如果汽车速度从 54 km/h 继续行驶至速度为 75.6 km/h，此过程中假设汽车所受牵引力与阻力数值不变，求汽车速度从 54 km/h 加速至 75.6 km/h过程中，汽车前进的距离。
解析 设汽车前进过程中阻力为 f，前进位移为 s， 由题知 W 阻 ＝fs， 即 f＝ W阻s＝ 5×104100 N＝5×10 2
N。
由动能定理有 Fs 1 －fs 1 ＝ 12 mv22 － 12 mv21
将 v 2 ＝75.6 km/h＝21 m/s，v 1 ＝54 km/h＝15 m/s 代入上式得 s 1 ＝96 m。
答案 96 m 方法总结 应用动能定理解题的步骤
[针对训练 2] 如图所示，物体从斜坡上 A 处由静止开始下滑，滑到 B 处后又沿水平面前进到 C 处停下。如果物体从 A 处以一定的初速度 v 0 滑下，求物体停下处 D距 C 多远？(设物体与水平面间的动摩擦因数为 μ，重力加速度为 g)
解析 物体沿斜面下滑过程中，重力和摩擦力做功，物体沿水平面运动时只有摩擦力做功。
物体从 A 由静止运动到 C 处停止的过程中，设摩擦力在 AB 段、BC 段做的功分别为 W 1 、W 2 ，由动能定理得 mgh AB ＋W 1 ＋W 2 ＝0① 物体从 A 处以初速度 v 0 滑下到 D 停止的过程中，设 CD 段摩擦力做的功为 W 3
由动能定理得 mgh AB ＋W 1 ＋W 2 ＋W 3 ＝0－ 12 mv20 ② 由①②式得 W 3 ＝－ 12 mv20 ，即－μmgs CD ＝－ 12 mv20
s CD ＝ 错误! ! 。
答案 错误! !
[针对训练 3] 在[针对训练 2]中如果 AB 的高度差为 h，物体质量为 m，使物体由C 点沿原路返回 A 点，则外力做的功至少为多少？ 解析 物体从 A 由静止到 C 处停止的过程中，设摩擦力做的功为 W f ，由动能定
理得 mgh＋W f ＝0① 物体从 C 至 A 处速度恰为 0 时，外力做功最少，设为 W F ， 由动能定理得 W F ＋W f －mgh＝0② 由①②式解得 W F ＝2mgh。
答案 2mgh
1.质量一定的物体(
) A.速度发生变化时其动能一定变化 B.速度发生变化时其动能不一定变化 C.速度变化时其动能一定不变 D.动能不变时其速度一定不变 解析 速度是矢量，速度变化时可能只有方向变化，而大小不变，动能是标量，所以速度只有方向变化时，动能可能不变；动能不变时，只能说明速度大小不变，但速度方向不一定不变，故只有 B 正确。
答案 B 2.一质量为 m 的滑块，以速度 v 在光滑水平面上向左滑行，从某一时刻起，在滑块上作用一向右的水平力，经过一段时间后，滑块的速度变为－2v(方向与原来相反)，在整段时间内，水平力所做的功为(
) A. 32 mv2
B.－ 32 mv2
C. 52 mv2
D.－ 52 mv2
解析 由动能定理得 W＝ 12 m(－2v)2 － 12 mv2 ＝ 32 mv2 ，选项 A 正确。
答案 A 3.如图所示，在短道速滑运动中，“接棒”的运动员甲提前站在“交棒”的运动员乙前面，并且开始向前滑行，待乙追上甲时，乙猛推甲，甲获得更大的速度向前冲出。不计冰面阻力，则在乙推甲的过程中(
)
A.甲对乙做正功，甲的动能增大 B.甲对乙做正功，乙的动能增大 C.乙对甲做正功，甲的动能增大 D.乙对甲做正功，乙的动能增大 解析 甲对乙的作用力方向向后，与乙的速度方向相反，对乙做负功，乙的动能减小；乙对甲的作用力向前，与甲的速度方向相同，对甲做正功，甲的动能增大，故选项 C 正确，A、B、D 错误。
答案 C 4.如图所示，某人骑自行车下坡，坡长 l＝500 m，坡高 h＝8 m，人和车总质量为100 kg，下坡时初速度为 4 m/s，人不踏车的情况下，到达坡底时车速为 10 m/s，g 取
10 m/s 2 ，则下坡过程中阻力所做的功为(
) A.－4 000 J
B.－3 800 J
C.－5 000 J
D.－4 200 J 解析 由动能定理有 mgh＋W f ＝ 12 m(v2 －v 20 )，解得 W f ＝－mgh＋ 12 m(v2 －v 20 )＝－3 800 J，故 B 正确。
答案 B 5.(2018·全国卷Ⅱ，14)如图，某同学用绳子拉动木箱，使它从静止开始沿粗糙水平路面运动至具有某一速度。木箱获得的动能一定(
)
A.小于拉力所做的功 B.等于拉力所做的功 C.等于克服摩擦力所做的功 D.大于克服摩擦力所做的功 解析 由动能定理 W F －W Ff ＝E k －0，可知木箱获得的动能一定小于拉力所做的功，A 正确。
答案 A 6.半径 R＝1 m 的 14 圆弧轨道下端与一光滑水平轨道连接，水平轨道离地面高度 h＝1 m，如图所示，有一质量 m＝1.0 kg 的小滑块自圆弧轨道最高点 A 由静止开始下滑，经过水平轨道末端 B 时速度为 4 m/s，滑块最终落在地面上(g 取 10 m/s 2 )，试求：
(1)不计空气阻力，滑块落在地面时速度的大小； (2)滑块在轨道上滑行时克服摩擦力做的功。
解析 (1)从 B 点到地面这一过程，只有重力做功，根据动能定理有 mgh＝ 12 mv2 － 12 mv2B ， 代入数据解得 v＝6 m/s。
(2)设滑块在轨道上滑行时克服摩擦力做的功为 W Ff ，对滑块从 A 到 B 这一过程运用动能定理有 mgR－W Ff ＝ 12 mv2B －0， 解得 W Ff ＝2 J。
答案 (1)6 m/s (2)2 J
基础过关 1.改变汽车的质量和速率，都能使汽车的动能发生变化，在下面几种情况中，汽车的动能是原来的 2 倍的是(
) A.质量不变，速率变为原来的 2 倍 B.质量和速率都变为原来的 2 倍 C.质量变为原来的 2 倍，速率减半 D.质量减半，速率变为原来的 2 倍 解析 由 E k ＝ 12 mv2 知，m 不变，v 变为原来的 2 倍，E k 变为原来的 4 倍。同理，m 和 v 都变为原来的 2 倍时，E k 变为原来的 8 倍；m 变为原来的 2 倍，速率减半时，E k 变为原来的一半；m 减半，v 变为原来的 2 倍时，E k 变为原来的 2 倍，故选项 D 正确。
答案 D
2.关于动能定理，下列说法中正确的是(
) A.在某过程中，外力做的总功等于各个力单独做功的绝对值之和 B.只要有力对物体做功，物体的动能就一定改变 C.动能定理只适用于直线运动，不适用于曲线运动 D.动能定理既适用于恒力做功的情况，又适用于变力做功的情况 解析 外力做的总功等于各个力单独做功的代数和，选项 A 错误；根据动能定理，决定动能是否改变的是总功，而不是某一个力做的功，选项 B 错误；动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动；既适用于恒力做功的情况，又适用于变力做功的情况，选项 C 错误，D 正确。
答案 D 3.两个物体质量之比为 1∶4，速度大小之比为 4∶1，则这两个物体的动能之比为(
) A.1∶1
B.1∶4
C.4∶1
D.2∶1 解析 由动能表达式 E k ＝ 12 mv2 得 E k1E k2 ＝m 1m 2 · v 1v 22＝ 14 × 412＝4∶1，C 正确。
答案 C 4.(多选)一质量为 0.1 kg 的小球，以 5 m/s 的速度在光滑水平面上匀速运动，与竖直墙壁碰撞后以原速率反弹，若以弹回的速度方向为正方向，则小球碰墙过程中速度的变化和动能的变化分别是(
) A.Δv＝10 m/s
B.Δv＝0 C.ΔE k ＝1 J
D.ΔE k ＝0 解析 弄清速度的变化是矢量而动能的变化是标量，是分析问题的关键。由于速
度是矢量，故 Δv＝v 2 －v 1 ＝5 m/s－(－5 m/s)＝10 m/s。而动能是标量，初、末状态的速度大小相等，故动能相等，因此 ΔE k ＝0，故选项 A、D 正确。
答案 AD 5.有一质量为 m 的木块，从半径为 r 的圆弧曲面上的 a 点滑向 b 点，如图所示。如果由于摩擦使木块的运动速率保持不变，则以下叙述正确的是(
)
A.木块所受的合力为零 B.因木块所受的力对其都不做功，所以合力做的功为零 C.重力和摩擦力的合力做的功为零 D.重力和摩擦力的合力为零 解析 物体做曲线运动，速度方向变化，加速度不为零，故合力不为零，A 错误；速率不变，动能不变，由动能定理知，合力做的功为零，而支持力始终不做功，重力做正功，所以重力做的功与摩擦力做的功的代数和为零，但重力和摩擦力的合力不为零，C 正确，B、D 错误。
答案 C 6.如图所示，电梯质量为 M，在它的水平地板上放置一质量为 m 的物体。电梯在钢索的拉力作用下竖直向上加速运动，当电梯的速度由 v 1 增加到 v 2 时，上升高度为 H，重力加速度为 g，则在这个过程中，下列说法或表达式正确的是(
)
A.对物体，动能定理的表达式为 W N ＝ 12 mv22 ，其中 W N 为支持力做的功 B.对物体，动能定理的表达式为 W 合 ＝0，其中 W 合 为合力做的功 C.对物体，动能定理的表达式为 W N －mgH＝ 12 mv22 － 12 mv21
D.对电梯，其所受合力做功为 12 Mv22 － 12 Mv21 －mgH 解析 物体受重力和支持力作用，根据动能定理得 W N －mgH＝ 12 mv22 － 12 mv21 ，故选项 C 正确，A、B 错误；对电梯，合力做功等于电梯动能的变化量，故选项 D错误。
答案 C 7.一辆汽车以 v 1 ＝6 m/s 的速度沿水平路面行驶时，急刹车后能滑行 s 1 ＝3.6 m，如果以 v 2 ＝8 m/s 的速度行驶，在同样的路面上急刹车后滑行的距离 s 2 应为(
) A.6.4 m
B.5.6 m
C.7.2 m
D.10.8 m 解析 急刹车后，水平方向上汽车只受摩擦阻力的作用，且两种情况下摩擦力大小是相同的，汽车的末速度皆为零，由动能定理可得 －F Ff
s 1 ＝0－ 12 mv21 ①，－F Ff
s 2 ＝0－ 12 mv22 ②，②式除以①式得 s2s 1 ＝ 错误! ! 。故汽车滑行距离 s 2 ＝ 错误! ! s 1 ＝ 错误! !2×3.6 m＝6.4 m，选项 A 正确。
答案 A 8.如图所示，AB 为 14 圆弧轨道，BC 为水平直轨道，圆弧的半径为 R，BC 的长度也是 R。一质量为 m 的物体，与两个轨道的动摩擦因数都为 μ，重力加速度为 g，
当它由轨道顶端 A 从静止下滑时，恰好运动到 C 处停止，那么物体在 AB 段克服摩擦力做功为(
)
A. 12 μmgR
B. 12 mgR C.mgR
D.(1－μ)mgR 解析 设物体在 AB 段克服摩擦力所做的功为 W AB ，物体从 A 到 C 的全过程，根据动能定理有 mgR－W AB －μmgR＝0，所以有 W AB ＝mgR－μmgR＝(1－μ)mgR，选项 D 正确。
答案 D 9.如图所示，用与水平方向成 θ 角的恒力 F，将质量为 m 的物体由静止开始从 A点拉到 B 点后撤去力 F，若物体和地面间的动摩擦因数为 μ，A、B 间的距离为 x，重力加速度为 g。求：
(1)从 A 到 B 的过程中力 F 做的功 W； (2)物体在运动过程中的最大动能； (3)物体的最大滑行距离。
解析 (1)由功的公式可求得 W＝Fxcos θ。
(2)由题意知：物体在 AB 段做加速运动，在 B 点有最大动能，在 AB 段 F f ＝μF N＝μ(mg－Fsin θ)， 对物体从 A 点到 B 点的过程应用动能定理
Fxcos θ－μ(mg－Fsin θ)x＝E k －0， 即物体在运动过程中的最大动能 E k ＝Fx(cos θ＋μsin θ)－μmgx。
(3)撤去力 F 后，物体所受摩擦力变为 μmg，设物体从 B 点到停止运动的位移为 l，则－μmgl＝0－E k
物体的最大滑行距离 x 总 ＝l＋x＝ Fx（cos θ＋μsin θ）μmg。
答案 (1)Fxcos θ (2)Fx(cos θ＋μsin θ)－μmgx
(3) Fx（cos θ＋μsin θ）μmg 能力提升 10.一质量为 m 的小球，用长为 l 的轻绳悬挂于 O 点，小球在水平力 F 作用下从平衡位置 P 点很缓慢地移动到 Q 点，如图所示。则力 F 所做的功为(
)
A.mglcos θ
B.Flsin θ C.mgl(1－cos θ)
D.Fl(1－sin θ) 解析 小球的运动过程是缓慢的，因而小球任何时刻均可看作是平衡状态，力 F的大小在不断变化，F 做功是变力做功。小球上升过程只有重力 mg 和 F 这两个力做功，由动能定理得－mg(l－lcos θ)＋W F ＝0，所以 W F ＝mgl(1－cos θ)。选项 C正确。
答案 C 11.如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端连接一小物块，O 点为弹簧在原长时物
块的位置。物块由 A 点静止释放，沿粗糙程度相同的水平面向右运动，最远到达B 点。在从 A 到 B 的过程中，物块(
)
A.加速度先增大后减小 B.经过 O 点时的速度最大 C.所受弹簧弹力始终做正功 D.所受弹簧弹力做的功等于克服摩擦力做的功 解析 当合外力为零时，弹簧处于压缩状态，弹力等于滑动摩擦力，这一位置在O 点的左侧，此时加速度为 0，速度最大，选项 A、B 错误；弹簧弹力先做正功后做负功，选项 C 错误；从 A 位置到 B 位置，动能变化量为零，外力所做的总功也应当为零，而整个过程只有弹簧弹力和摩擦力对物块做功，即弹簧弹力做的功等于克服摩擦力做的功，故选项 D 正确。
答案 D 12.如图所示，在轻弹簧的下端悬挂一个质量为 m 的小球 A，若将小球 A 从弹簧原长位置由静止释放，小球 A 能够下降的最大高度为 h。若将小球 A 换为质量为 3m的小球 B，仍从弹簧原长位置由静止释放，则小球 B 下降 h 时的速度为(重力加速度为 g，不计空气阻力)(
)
A. 2gh
B.4gh3
C. gh
D.gh2 解析 小球 A 下降 h 过程，根据动能定理，有 mgh－W 1 ＝0；小球 B 下降过程，由动能定理有 3mgh－W 1 ＝ 12 ×3mv2 －0，解得 v＝4gh3，故 B 正确。
答案 B 13.如图，一半径为 R 的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等高；质量为 m 的小球(可视为质点)自轨道端点 P 由静止开始滑下，滑到最低点 Q 时，对轨道的压力为 2mg，重力加速度大小为 g。小球自 P 滑到 Q 的过程中，克服摩擦力所做的功为(
)
A. 14 mgR
B. 13 mgR
C. 12 mgR
D. π4 mgR 解析 在 Q 点，F N －mg＝ mv2R，所以 v＝ gR；由 P 到 Q 根据动能定理得 mgR－W Ff ＝ 12 mv2 ，解得 W Ff ＝ 12 mgR，故 C 正确。
答案 C 14.如图所示，AB 为固定在竖直平面内的 14 光滑圆弧轨道，轨道的 B 点与水平地面相切，其半径为 R。质量为 m 的小球由 A 点静止释放，重力加速度为 g。求：
(1)小球滑到最低点 B 时，小球速度 v 的大小； (2)小球通过光滑的水平面 BC 滑上固定曲面，恰到达最高点 D，D 到地面的高度为 h(已知 h＜R)，则小球在曲面上克服摩擦力所做的功 W Ff 。
解析 (1)小球从 A 滑到 B 的过程中， 由动能定理得：mgR＝ 12 mv2B －0 解得 v B ＝ 2gR。
(2)从 A 到 D 的过程，由动能定理可得 mg(R－h)－W Ff ＝0－0， 解得克服摩擦力做的功 W Ff ＝mg(R－h)。
答案 (1) 2gR (2)mg(R－h)
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