高三考前复习均值不等式应用
【典型例题】
例 1
已知54x ，求函数14 24 5y xx 的最大值。
例 2. 当 时，求 (8 2 ) y x x 的最大值。
例 3. 求27 10( 1)1x xy xx 的值域。
例 4：求函数2254xyx的值域。
例 5：已知 0, 0 x y ，且1 91x y ，求 x y 的最小值。
例 6：已知 x ， y 为正实数，且 x 2 ＋ y 22 ＝1，求 x 1＋ y
2
的最大值.
例 7 已知 a ， b 为正实数，2 b ＋ ab ＋ a ＝30，求函数 y ＝1ab
的最小值.
【高考专练】
例 1：（2010 年高考山东文科卷第 14 题）已知 , x y R ，且满足 13 4x y ，则 xy 的最大值为
________。
例 2：（2010 年高考四川文科卷第 11 题）设 0 a b ＞ ＞ ，则 21 1aab a a b 的最小值是（
）
（A）1
（B）2
（C）3
（D）4 例 3：
（ 2010 年高考重庆理科卷第 7 题）
已知 x>0，y>0，x+2y+2xy=8，则 x+2y 的最小值是（
）
A. 3
B.
4
C.
92
D. 112 例 4：（2010 年高考江苏卷第 14 题）将边长为 1 的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记 S=梯形的面积梯形的周长）2(,则 S 的最小值是_________。
例 5：（2010 年高考全国Ⅰ卷第 11 题）已知圆 O 的半径为 1， PA、PB 为该圆的两条切线， A、B 为两切点，那么 PA PB的最小值为（
）
(A) 4 2
(B)3 2
(C) 4 2 2
(D)3 2 2
P A B O
例 6：（2010 年高考山东理科卷第 14 题）若对任意 0 x ，23 1xax x 恒成立，则 a 的取值范围是
。
例 7：（2010 年高考重庆文科卷第 12 题）已知 t o ,则函数2t 4 1 tyt 的最小值为
例 8：
（2010 年高考浙江文科卷第 15 题）若正实数 x，y
满足2 6 xy x y ，则 xy
的最小值是
。
【参考答案】
例 1 ：（ 2010 年高考山东文科卷第 14 题）
已知 , x y R ，且满足 13 4x y ，则 xy 的最大值为
________。
解：因为 x>0，y>0，所以 23 4 3 4 3x y x y xy (当且仅当3 4x y ，即 x=6，y=8 时取等号)，于是 13xy ，3. xy ，故 xy 的最大值位 3. 例 2 ：（ 2010 年高考四川文科卷第 11 题）
设0 a b ＞ ＞ ，则 21 1aab a a b 的最小值是（
）
（A）1
（B）2
（C）3
（D）4 解： 21 1aab a a b w＝21 1( )a ab abab a a b ＝1 1( )( )ab a a bab a a b ≥2＋2＝4 当且仅当 ab＝1，a(a－b)＝1 时等号成立，如取 a＝2 ,b＝22满足条件。
故选择答案 D 例 3：
（ 2010 年高考重庆理科卷第 7 题）
已知 x>0，y>0，x+2y+2xy=8，则 x+2y 的最小值是（
）
A. 3
B.
4
C.
92
D. 112 解：
因为 x>0，y>0，所以2228 ) 2 ( 8 2 y xy x y x ， 整理得 0 32 2 4 22 y x y x
即 0 8 2 4 2 y x y x ，又 0 2 y x ， 4 2 y x
等号当且仅当 2 2 x y 时成立，故选择答案 B。
例 4 ：（ 2010 年高考江苏卷第 14 题）
将边长为 1 的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记 S=梯形的面积梯形的周长）2(,则 S 的最小值是_________。
解：设剪成的小正三角形的边长为 x ，则 2 22(3 ) 4 (3 )1 1 3 3( 1) (1 )2 2x xSxx x 令22(3 )( ) (0 1)1xf x xx ，则22 26 9 6 10( ) 11 1x x xf xx x 令 3 5,(2 5) t x t ，则2 226 10 2 18 185 161 10 161 ( ) ( ) 103x t ttx t ttt 因为 2 5 t ，所以16 162 8 t tt t ，等号当且仅当 t=4，即13x 时成立。
所以16tt 最小值为 8 故226 9( )1x xf xx 的最小值为 8，S 的最小值是32 33。
例 5 ：（ 2010 年高考全国 Ⅰ 卷第 11 题）
已知圆 O 的半径为 1，PA 、 PB 为该圆的两条切线，A 、 B 为两切点，那么 PA PB的最小值为（
）
(A) 4 2
(B)3 2
(C) 4 2 2
(D)3 2 2 解：如图所示：设 PA=PB= x ( 0) x , ∠APO= ，则∠APB= 2 ，PO=21 x ， 21sin1 x ， | | | |cos2 PA PB PA PB =2 2(1 2sin ) x =2 22( 1)1x xx=4 221x xx， 令 PA PB y ，则4 221x xyx，令21, 0 t x t ， 则2 2( 1) ( 1) 3 2 23 2 2 3t t t ty tt t t
等号当且仅当2tt ，即2 t 时成立。
P A B O
例 5 图
故min( ) 3 2 2 PA PB .此时2 1 x .，选择答案 D。
练习：
2. （ 2010 年高考山东理科卷第 14 题）
若对任意 0 x ，23 1xax x 恒成立，则 a 的取值范围是
。
答案：15a
解：因为 0 x ，所以12 xx （当且仅当 x=1 时取等号），所以有 21 1 113 1 2 3 53xx xxx ，即23 1xx x 的最大值为15，故15a 。
3. （ 2010 年高考重庆文科卷第 12 题）
已知 t o ,则函数2t 4 1 tyt 的最小值为
答案：—2 解：24 1 14 2( 0)t ty t tt t ，当且仅当 1 t 时，min2 y . 4. （ 2010 年高考浙江文科卷第 15 题）
若正实数 x ， y
满足 2 6 xy x y
，则 xy 的最小值是
。（变式：求 2x+y 的最小值为______）
答案：18 解：因为 x>0，y>0 ，所以 6 2 2 6 2 xy y x xy ， 2 2 6 0 xy xy ，解得 3 2 2 xy xy 或 （舍）
等号当且仅当 2x=y=6 时成立，故 xy 的最小值为 18。
变式答案：12 解：因为 x>0，y>0 ，所以21 22 6 ( )2 2x yxy x y
整理得2(2 ) 8(2 ) 48 0 x y x y ，解得 2 12 2 4( x y x y 或 舍）
等号当且仅当 2x=y=6 时成立，故 2x+y 的最小值为 12。
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