课时跟踪检测( ( 十三) )
开普勒行星运动定律和万有引力定律
1 ．(2019· 全国卷Ⅱ Ⅱ)2019 年 年 1 月 月 ， 我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆。在探测器 “ 奔向 ” 月球的过程中 ，用 用 h 表示探测器与地球表面的距离， ，F 表示它所受的地球引力 ，述 能够描述 F 随 随 h 变化关系的图象是(
)
解析：选 选 D
由万有引力 F ＝GMm（R ＋h ）
2
可知 ，离 探测器与地球表面距离 h 越大 ，F 越小 ，除 排除 B 、C ；而 F 与 与 h 不是一次函数关系 ，除 排除 A 。
2 ．(2020· 四川宜宾一模)2020 年我国成功发射 “ 嫦娥四号 ” ， 实现人类首次月球背面软着陆。为了实现地球与月球背日 面的通信，将先期发射一枚拉格朗日 L 2 点中继卫星。拉格朗日 日 L 2 点是指卫星受太阳、地球两大天体引力作用 ， 能保持相对静止的点 ， 是五个拉格朗日点之一 ，约 位于日地连线上、地球外侧约 1.5 ×10 6
km 处。已知拉格朗日 L 2 点与太阳的距离为 约为 1.5 ×10 8
km， ，为 太阳质量约为 2.0 ×10 30
kg， ，为 地球质量约为 6.0 ×10 24
kg 。在拉格朗日 L 2点运行的中 继卫星 ，力 受到太阳引力 F 1 力 和地球引力 F 2 大小之比为(
)
A ．100 ∶3
B ．10000 ∶3
C ．3 ∶100
D ．3 ∶10000 解 析 ：
选 A
由 万 有 引 力 定 律 有 F ＝GMmr 2 ， ， 可 得F 1F 2
＝M 太 d 2 2M 地 d 1 2
＝2.0 ×10 30 ×（ （1.5 ×10 6 ）
26.0 ×10 24 （ （1.5 ×10 8 ）
2 ＝ 1003 ，选 故选 A 。
3． ． 有一星球的密度跟地球密度相同 ， 但它表面处的重力加速度是地球表面 处重力加速的 度的 4 倍 倍 ， 则该星球的质量是地球质量的( 忽略其自转影响)(
)
A． ． 14
B ．4 倍 倍
C ．16 倍
D ．64 倍 解析：选 选 D
力 天体表面的物体所受重力 mg ＝G MmR 2 ，知 又知 ρ ＝3M4 πR 3
，以 所以 M ＝9g 316π π 2 ρ 2 G 3
，故 故 M 星M 地
＝ g 星g 地 3 ＝64 。D 正确。
4． ．2020 年 年 5 月 月 7 日 日， ， 出现超级月亮景观， ， 从科学定义而言， ， 叫作近地点满月更为准确。当满月从地平线升起时 ， 我们看到的月亮似乎比它升到近地点天顶时更大、更明亮。如图所示 ， 月球的绕地运动轨道实际上是一个偏心率很小的椭圆 ，则 则(
)
A． ． 月球运动到远地点时的速度最大
B． ． 月球运动到近地点时的加速度最小
C． ． 月球由近地点向远地点运动的过程 ， 月球的机械能减小
D． ． 月球的半长轴大于同步卫星的轨道半径 解析：选 选 D
由开普勒第二定律可知 ， 月球运动 到近地点时的速度最大 ，故 故 A 错误；根据牛顿第二定律和万有引力定律 ， 月球运动到近地点时所受引力最大 ， 加速度最大 ，故 故 B错误；月球绕地球运动过程仅受地球的万有引力 ， 机械能守恒 ，故 故 C 错误；根据开普 勒第三定律有 r 13T 1 2
＝ r 23T 2 2
，， 由于月球公转周期( 一个月) 大于地球同步卫星的公转周期(1 天)， ， 所以月球的半长轴大于同步卫星的轨道半径 ，故 故 D 正确。
5 ．( 多选) 天文学家哈雷曾经在 1682 年跟踪过一颗彗星 ， 他算出这颗彗星轨道的半长轴的 约等于地球公转半径的 18 倍 倍 ， 并预言这颗彗星 将每隔一定时间就会出现 ， 后来哈雷的预言得到证实 ， 该彗星被命名为哈雷彗星。哈雷彗星绕太阳运行的椭圆轨道如 图所示，P 为近日点， ，Q Q 为远日点， ，M、 、N 为轨道短轴的两个端点。若只考虑哈雷彗星和太阳之间的相互作用 ，则 则(
)
A. 哈雷彗星的运行周期约为 76 年 年
B． ．从 哈雷彗星从 P 点运动到 M 点需要 19 年 年
C． ．从 哈雷彗星从 P 经 经 M 到 到 Q Q 阶段 ， 速率逐渐减小
D． ．从 哈雷彗星从 P 经 经 M 到 到 Q Q 阶段 ， 机械能逐渐减小 解析：选 选 AC
设彗星的周期为 T 1 ，为 地球的公转周期为 T 2 ，轴 这颗彗星轨道的半长轴 a 1
约径 等于地球公转半径 R 的 的 18 倍 倍， ， 由开普勒第三定律 a3T 2
＝k 得 T 1T 2
＝ a 1R3 ＝ ＝ 18 3
≈76， ，即 即 T 1 ＝ ＝76 年 年， ，A 正确；从 P 到 到 Q Q 过程中 ， 彗星需要克服引力做功 ， 动能减小 ， 即速率越来越小， ，从 所以从 P 到 到 M 过程中所需时间小于周期的四分之一， ，于 即小于 19 年 年， ，B 错误， ，C 正确；从 从 P 到 到 Q Q 过程中只有 引力做功 ，机械能不变，D 错误。
6.( 多选)(2020· 成都二诊)2019 年 年 1 月 月 3 日 日， ， “ 嫦娥四号 ” 成为了全人类第一个在月球背面成功实施软着陆的探测器。为了减小凹凸不平的月面可能造成的不利影响， ， “ 嫦娥四号 ” 采取了近乎垂直的着陆方为 式。已知：月球半径为 R， ，为 表面重力加速度大小为 g， ，为 引力常量为 G， ， 下列说法正确的是(
) A． ． 为了减小与地面的撞击力， ， “ 嫦娥四号 ” 着陆前的一小段时间内处于失重状态
B． ． “ 嫦娥四号 ” 着陆前近月环绕月球做圆周运动的过程中处于超重状态
C． ． “ 嫦娥四号 ”为 着陆前近月环绕月球做圆周运动的周期约为 T ＝2π πRg
D． ． 月球的密度为 ρ ＝3g4 πRG
解析：选 选 CD
为了减小与地面的撞击力， ， “ 嫦娥四号 ” 着陆前的一小段时间内应向下减速 ， 加速度方向向上 ， 处于超重状态 ，故 故 A 错误； “ 嫦娥四号 ” 着陆前近月环绕月球做圆周运动 ， 万有引力提供向心力 ， 所以 “ 嫦娥四号 ” 处于失重状态 ，故 故 B 错误； “ 嫦娥四号 ” 着陆前近月环绕月球做圆周运动 ， 万有引力提供向心力 ，有 有 G MmR 2 ＝m 4ππ 2T 2 R ，G MmR 2 ＝ ＝mg， ，得 解得 T ＝2 π Rg
，，故 故 C 正确；由月球表面物体所受重力近似等于万有引力有 G mMR 2 ＝ ＝mg， ，得 解得 M ＝ gR2G ， ，为 月球的体积为 V ＝ 43
πR 3 ， 则月球的密度为 ρ ＝ MV
＝3g4 πGR
，，故 故 D正确。
7 ．( 多选)2020 年 年 11 月 月 24 日我国发射的 “ 嫦娥五号 ” 卫星进入月球环绕轨道后 ， 轨道为 半径为 r， ，为 绕月周期为 T 。已知月球半径为 R， ，为 引力常量为 G， ， 据以上信息可得出(
)
A． ． 月球的质量为 4ππ 2 r 3GT 2
B． ． 月球的平均密度为 4ππ 2 r 3GT 2
C． ． 月球表面的重力加速度为 4ππ 2 r 3R 2 T 2
D． ． 月球的第一宇宙速度为 2 πrT
解析：选 选 AC
“ “ 嫦娥五号 ” 探测器绕月球做匀速圆周运动 ， 根据万有引力提供向心力
有 GMmr 2 ＝m 2π πT 2 r， ，量 解得月球的质量 M ＝ 4ππ 2 r 3GT 2 ，故 A 正 正 确；月球的平均密度 ρ ＝ MV
，中 其中 V ＝ 43
πR 3 ， ， 解得 ρ ＝3 πr 3GT 2 R 3
，，故 故 B 错误；在月球表面， ， 有 GMmR 2 ＝mg， ，g ＝ qMR 2 ＝ 4ππ 2 r 3R 2 T 2 ，故 故 C 正确；根据公式 GMmR 2 ＝m v2R
，度 可知月球的第一宇宙速度 v ＝ GMR ，又 又 GM ＝4π π 2 r 3T 2 ，得 解得 v ＝ 2 πrT rR
，故 故 D 错误。
8.2020 年 年 7 月 月 23 日 日 ， 我国成功发射了 “ 天问一号 ” 火星探测器 ，将一次实现火星的 “ 环绕、着陆、巡视 ” 三个目标。假设探测器到达火星附近时 ， 先在高度恰好等于火星半径的轨道上环绕火星做匀速圆周运动 ，为 测得运动周期为 T， ， 之后通过变轨、减速落向火星。探测器与火星表 面碰撞后，以度 速度 v 竖直向上反弹， ，间 经过时间 t 再次落回火星表面。不考虑火星的自转及火星表面大气的影响 ，为 已知引力常量为 G， ，量 则火星的质量 M 和火星的半径 R 分别为(
) A ．M＝ ＝v 3 T 4128π π 4 Gt 3
，R＝ ＝vT 216π π 2 t
B ．M＝ ＝v 3 T 2 128π π 4 Gt 3
，R＝ ＝vT 216π π 2 t
C ．M＝ ＝v 3 T 41 024π π 4 Gt 3
，R＝ ＝vT 232π π 2 t
D ．M＝ ＝v 3 T 41 024π π 4 Gt 2
，R＝ ＝vT32π π 2 t
解析：选 选 A
探测器与火星表面碰撞后 ，度 以速度 v 竖直向上反弹 ，间 经过时间 t 再次落回火星表面 ，度 则火星表面的重力加速度 g ＝ 2vt ， 火星表面物体所受重力近似等于万有引力 ，有 有 G MmR 2 ＝mg ， 探测器在高度恰好等于火星半径的轨道上环绕火星做匀速圆周运动周期为T， ，则 则 GMm（ （2R）
）
2
＝m 4ππ 2T 2 ·2R， ，得 联立解得 R ＝vT 216π π 2 t
，M ＝v 3 T 4128π π 4 Gt 3
，，故 故 A 项正确， ，B、 、C 、D 错误。
9 ．( 多选)(2020· 山西太原五中二模) 某同学认为只要测出地球赤道位置处的重力加速度g， ， 就 可以利用量 一些常见的数据计算出地球的半径和质量。已知常见数据为万有引力常量 G， ，期 地球的自转周期 T， ，度 地球两极处的重力加速度 g 0 。若视地球为质量分布均匀的球体 ， 赤道度 处的重力加速度 g 已经测出 ， 则下列说法中正确的是(
)
A． ． 地球的半径为 T （g 0 － －g）
）2π π
B． ． 地球的半径为 T2 （（g 0 － －g）
）4π π 2
C． ． 地球的质量为 g0 （ （g 0 － －g ）T 24π π 2 G
D． ． 地球的质量为 g0 （ （g 0 － －g）
）
2 T 416π π 4 G
解析：选 选 BD
在两极地区 ， 物体受到地球的 万有引力等于其所受的重力 ， 则有 GMmR 2 ＝ ＝mg 0 ， 在赤道处 ， 则有 GMmR 2 －mg ＝m 4ππ 2 RT 2 ， ，为 联立可得地球的半径为 R ＝ （g 0 －g ）T 24π π 2 ，将 将 R ＝ （g 0 －g ）T 24π π 2 代入 GMmR 2 ＝mg 0 为 可得地球的质量为 M ＝ g0 （g 0 － －g ）
2 T 416π π 4 G ，故 故 A 、C 错 错误， ，B 、D 正确。
10． ． 通常情况下中子星的自转速度是非常快的 ， 因此任何的微小凸起都将 造成时空的扭曲并产生连续的引力波信号 ， 这种引力辐射过程会带走一部分能量并使中子星的自转速度逐渐下降。现有一中子星( 可视为均匀球体)， ，为 它的自转周期为 T 0 时恰能维持该星体的稳定 定( 不因自转而瓦解)， ， 则当为 中子星的自转周期增为 T ＝2T 0 时 ， 某物体在该中子星 “ 两极 ”所受重力与在 “ 赤道 ” 所受重力的比值为(
)
A． ． 12
B ．2
C． ． 34
D． ． 43
解析：选 选 D
自转周期为 T 0 时恰能维持星体的稳定 ，有 有 G MmR 2 ＝mR 4ππ 2T 0 2 ， 当中子星为 的自转周期增为 T ＝2T 0 时 ，有 在两极有 G MmR 2 ＝mg， ， 在赤道有 GMmR 2 －mg′ ＝mR4π π 2（ （2T 0 ）
2
，联立解得mgmg ′
＝ 43
。
11． ．( 多选) 下表是一些有关火星和地球的数据， ，量 利用引力常量 G 和表中选择的一些信息可以完成的估算是(
) 信息 序号 ① ① ② ② ③ ③ ④ ④ ⑤ ⑤ 信息 内容 地球一 年约为 365 天 地表重力加为 速度约为 9.8 m/s 2
火星的公转为 周期约为 687天 天 日地距离大是 约是 1.5 亿千米 米 地球半径约为 为 6 400 千米
A. 选择 ②⑤ 可以估算地球的质量
B． ． 选择 ①④ 可以估算太阳的密度
C． ． 选择 ①③④ 可以估算火星公转的线速度
D． ． 选择 ①②④ 可以估算太阳对地球的吸引力 解析：选 选 AC
由 由 G M地 mR 地 2 ＝mg ，量 解得地球质量 M 地 ＝ gR地 2G ， 所以选择 ②⑤ 可以估算地球质量 ，项 选项 A 正确；由 G M太 M 地r 2 ＝M 地 r 2π πT 2 ，得 解得 M 太 ＝ 4ππ 2 r 3GT 2 ， 所以选择 ①④可以估算太阳的质量 ， 由于不知太阳半径( 太阳体积)， ， 不能估算太阳的密度 ，项 选项 B 错误；根据开普勒第三定律 ，选择 ①③④径 可以估算火星公转轨道半径 r 火 ，度 则火星公转的线速度 v火 ＝ωr 火 ＝ ＝r 火 2π πT 火 ， ，项 选项 C 正确；选择 ①②④ 可以估算地球围绕太阳运动的加速度 ， 因为不知地球质量 ， 所以不能估算太阳对地球的吸引力 ，项 选项 D 错误。
12 ．(2020· 江西高安二中模拟) 科学家计划在 2025 年将首批宇航员送往火星进行考察。为 一质量为 m 的物体 ， 假设在火星两极宇航员用弹簧测力为 计测得的读数为 F 1 ， 在火星赤道上为 宇航员用同一个弹簧测力计测得的读数为 F 2 ，为 通过天文观测测得火星的自转角速度为 ω ，为 引力常量为 G， ， 将火星看成是质量分布均匀的球体 ， 则火星的密度和半径分别为(
)
A． ．3F 1 ω 24 πG （F 1 － －F 2 ）
，， F1 － －F 2m ω 2
B． ．3 ω 24 πG
，， F 1 F 2m ω 2
C． ．3F 1 ω 24 πG （F 1 － －F 2 ）
，， F1 ＋ ＋F 2m ω 2
D． ．3 ω 24 πG
，， F1 － －F 2ω 2
解析：选 选 A
在火星的两极 ，数 宇航员用弹簧测力计测得的读数 F 1 等于万有引力 ，
即 即 G MmR 2 ＝F 1 ，
在火星的赤道上 ， 物体的重力不等于万有引力 ， 有
G MmR 2 －F 2 ＝mω 2 R ，
得 联立解得 R ＝ F1 －F 2m ω 2 ，
又 又 M ＝ 43
πR 3 ρ ，
解得 ρ ＝3F 1 ω 24 πG （F 1 －F 2 ）
，
项 选项 A 正确， ，B 、C 、D 错误。
13. 卫星发射进入预定轨道时往往需要进行多次轨道调整。如图所示 ， 某次发射任务中先将卫星送至近地圆轨道 ，上 然后卫星从圆轨道上 A
点加速 ， 控制卫星进入椭圆轨道 ，在 最后在 B 点进入距为 地高为 6R 的预定圆形高轨道运动 ， 其中 中 A 、B 分别是两个圆轨道与椭圆轨道相切之处。已知卫星从 A 点到 B 点所需的时间为 t 0 ，为 地球半径为 R 。假定卫星在两个圆轨道上稳定运行时均做匀速圆周运动 ， 求：
(1) 卫星在高轨道上运行时的周期； (2) 地表的重力加速度。
解析：
：(1) 当卫星在椭圆轨道上运行时 ， 其半长轴为 2R ＋6R2 ＝4R
由开普勒第三定律有 （（7R）
）
3T 1 2 ＝ （（4R）
）
3T 2 2
从 而卫星从 A 到 到 B 的时间为 t 0 ＝ T 22
故 故 T 1 ＝ 7 74 t 0 。
(2) 卫星在高轨道上有 GMm（ （6R ＋R ）
2
＝m 4ππ 2T 1 2 (6R ＋R)
为 质量为 m′ 的物体在地球表面有 G Mm ′R 2 ＝m′g
得 得 g ＝ 64ππ 2 Rt 0 2 。
答案：(1) 7 74 t 0
(2) 64ππ 2 Rt 0 2
...
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