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专题 08
复 数 一、单选题 1．复数1 aii在复平面上对应的点位于第一象限，则实数 a 的取值范围是 A． ( , 1)
B． ( ,0)
C． (0,)
D． (1, )
2．已知复数 z 满足 2 1 z ，则 z 的最大值为 A．1
B．2 C．3
D．4 3．设复数1 2, z z 在复平面内的对应点关于实轴对称，13 4 , z i ＝ 则1 2z z＝
A． 25
B． 25
C． 7 24i
D． 7 24i
4．若 21xyii ( , x y R ， i 为虚数单位)，则 x yi
A． 5
B． 5
C． 2 5
D． 20
5．欧拉公式 cos sinixe x i x ( i 是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式，则复数83ie在复平面内对应的点所在的象限为 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．在复平面内，复数 (1 2 ) i i + 对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2 7．已知复数1 31izi，i 为虚数单位，则 z 为 A．2
B．5
C． 10
D． 2 5
8．设复数 z 满足 1 z i i ，则 z
A．1
B．2
C． 5
D．10
9．已知复数41izi，则 | | z i
A． 13
B． 2 3
C． 15
D．26
10．已知复数 1 z i （ i 为虚数单位），若 a bi z ，则2020 a b A． 1
B． 0
C． 1
D． 2
11．已知 z=x+yi，x，y∈R，i 是虚数单位．若复数1zi +i 是实数，则|z|的最小值为 A．0
B．52 C．5
D．2
12．已知复数 z=1+ai(a∈R)，且 z(2+3i)为纯虚数，则 a= A．23
B．13 C．23
D．13
13．复数21izi在复平面内对应的点在 A．第一象限
B．第二象限 C．第三象限
D．第四象限 14．已知复数 1 2 z i i ( i 为虚数单位)，则 z
A． 5
B．2
3 C．3
D．1 15．已知 i 是虚数单位，若3 12 2 z i ，则2z
A．1 32 2i
B．1 32 2i C．1 32 2i
D．1 32 2i 16．在复平面内，复数1 2, z z 对应的点的关于实轴对称，若12 z i ，则1 2z z
A． 2 i
B．5 C． 5
D．3 17．设（1+i）a＝1+bi（i 是虚数单位），其中 a，b 是实数，则|a+bi|＝ A．1
B．2
C． 3
D．2 18．若在复平面内，复数2 3zi 所对应的点为 3, 4 ，则 z 的共轭复数为 A． 18 i
B． 18 i
C． 18 i
D． 18 i
19．已知复数31 2a ii在复平面内对应的点位于第二象限，则实数 a 的取值范围为 A．3,2
B． ,6
C．3,2
D． 6,
20．复数 z 满足 3 , z i i i i 为虚数单位，则 z 等于 A． 1 2i
B． 1 2i
C． 1 2i
D． 1 2i
21．复数1 2, z z 在复平面内所对应的点关于实轴对称，且1 (1) 1 z i i ，则1 2z z
A．2
B．1 C．2
D．1+2 i
4 22．如图，在复平面内，复数 z 对应的点为 P ，则复数zi的虚部为
A．1
B． 1
C．2
D． 2
23．已知 i 为虚数单位，2(1 ) 1 i z i ，则复数 z 的虚部为 A．0
B．1 C．-i
D．-1 24．若复数 z 满足 z（2﹣i）＝1+4i（i 是虚数单位），则复数 z 的共轭复数为 A．2 95 5i
B．2 95 5i
C．2 95 5i
D．2 95 5i
25．设复数 z 满足|z﹣1|=1，则 z 在复平面内对应的点为(x，y)，则 A．(x+1) 2 +y 2 =1 B．(x﹣1) 2 +y 2 =1 C．x 2 +(y﹣1) 2 =1 D．x 2 +(y+1) 2 =1 26．已知 2b ia ii++ = ，其中 i 为虚数单位，a，b 为实数，则复数 z=ab+(a﹣b)i 的共轭复数为 A．﹣2+3i
B．2+3i C．2﹣3i
D．﹣2﹣3i 27．已知 i 为虚数单位，复数611zi ，则 z
A． 4
B． 5
C． 16
D． 25
28． i 为虚数单位，已知复数2 3 4 2020 20211 i i i i i izi ，则复数 z 在复平面中
5 对应的点的坐标为 A． 1,0
B． 0,1
C． 1,1
D． 1, 1
29．若复数 (1 ) (1) z ai i 的模等于 2 ，其中 i 为虚数单位，则实数 a 的值为 A． 1
B． 0
C． 1
D．
30．已知复数 z 满足2 z z i ，则 z 的虚部是 A． 1
B．1 C． i
D． i 二、多选题 1．设 1 1,1 1n ni if n n Ni i ，则集合{x|x＝f(n)}的元素有 A．2 B．0 C．－2 D．1 2．下列命题为真命题的是 A．若1 2, z z 互为共轭复数，则1 2z z 为实数 B．若 i 为虚数单位，n 为正整数，则4 3 ni i C．复数52 i 的共轭复数为 2 i
D．复数为 2 i 的虚部为－1 3．已知 i 为虚数单位，以下四个说法中正确的是 A．2 3 40 i i i i B．复数 3 z i 的虚部为 i
C．若2(1 2 ) z i ，则复平面内 z 对应的点位于第二象限 D．已知复数 z 满足 1 1 z z ，则 z 在复平面内对应的点的轨迹为直线 4．已知复数 2 z i ，则下列结论正确的是 A． 5 z
B．复数 z 的共轭复数为 2 i
C．20211 2 zi i D．23 4 z i
6 5．已知 a R ， i 是虚数单位，若 3 z a i ，4 z z ，则 a 的值可以是 A． 1
B． 1
C．－3
D．3
6．在复平面内，一个平行四边形的 3 个顶点对应的复数分别是 1 2i ， 2 i ，0，则第四个顶点对应的复数可以是 A． 3 i
B． 1 3i
C． 3 i
D． 3 i
7．已知复数4 73 2izi，则下列结论中正确的是 A．z 的虚部为 i
B． 2 z i
C． |z| 5
D．z 在复平面内对应的点位于第四象限 8．设1z ，2z 为复数，且1 2z z ，下列命题中正确的是 A．若1 2 z z，则1 2z z
B．若12ziz，则1z 的实部与2z 的虚部互为相反数 C．若1 2z z 为纯虚数，则1 2z z 为实数 D．若1 2z z R ，则1z ，2z 在复平面内对应的点不可能在同一象限 9．下列命题中正确的是 A．若 x ， yR ， 2 2 x yi i ，则 2 x y
B．若复数1z ，2z 满足2 21 20 z z ，则1 20 z z
C．若复数 z 为纯虚数，则22z z
D．若复数 z 满足 1 2 z ，则 z i 的最大值为 2 2 10．下列命题，其中不正确的是 A．若 z＝a＋bi，a，b∈R，则仅当 b≠0 时 z 为纯虚数 B．若2 21 20 z z ，则 z 1 ＝z 2 ＝0 C．若 a∈R，则 ai 为纯虚数
7 D．复数 z＝a 2 －b 2 ＋(a＋|ai(a，b∈R)为实数的充要条件是 a≤0 三、填空题 1．设131iz ii ，则 | | z ___________． 2．若复数2 21 ( 2) z m m m i 为纯虚数，则实数 m 的值为___________． 3． i 是虚数单位，复数1 i2 i___________． 4．已知 i 是虚数单位，复数1 izi，则 z 的虚部为___________． 5． i 是虚数单位，复数21 2ii的共轭复数为___________． 6． i 为虚数单位，复数11 71 2ii___________． 7．i 是虚数单位，则复数31 2ii___________． 8．若 a∈R，i 为虚数单位， 2 4ai ，则 a ___________． 9．已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 20212 z i i ，则 z ___________． 10．已知复数 1 1 2 z i i ，其中 i 是虚数单位，则 z 的虚部为___________． 11．已知 1＋2i 是方程 x 2 －mx＋2n＝0(m，n∈R)的一个根，则 m＋n＝___________． 12．设 i 是虚数单位，复数12aii为纯虚数，则实数 a 为___________． 13．欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为 cos sinixe x i x ，i虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”根据此公式， 2ixe 的最大值为___________． 14．若复数 2 22 4 8 3 z m m m m i ， ( ) m R 的共轭复数 z 对应的点在第一象限，则实数 m 的取值范围为___________． 15．设复数 z 满足 1 3 i z i （ i 为虚数单位），则 z ___________． 16．下列命题，是真命题的有___________． ①两个复数不能比较大小；
8 ②若 x，y∈C，x+yi=1+i 的充要条件是 x=y=1； ③若实数 a 与 ai 对应，则实数集与纯虚数集一一对应； ④实数集相对复数集的补集是虚数集． 17．若复数 1 2 z i a i （ i 为虚数单位）是纯虚数，则 a =___________． 18．复数11 cos z i ，2sin i z ，则1 2z z 的最大值为___________． 四、双空题 1．如果 x－1＋yi 与 i－3x 为相等复数，x，y 为实数，则 x＝___________，y＝___________． 2．已知 i 是虚数单位，若复数 z 满足 (1) 2 i z ，则 z 的虚部为___________； z z ___________． 3．Euler 公式：
cos sinxie x i x ( e 为自然对数的底数， i 虚数单位)被评为最完美的公式．根据此公式，可得到 sini ___________；2 ie ___________． 4．已知复数 z 满足1 zz i=2+3i(i 为虚数单位)，则|z|=___________，复数 z 的共轭复数 z 在复平面内所对应的点位于第___________象限． 5．已知复数 z 满足 1 2 z i i i ，其中 i 为虚数单位，则 z ___________， z ___________． 五、解答题 1．实数 m 分别为何值时，复数 z22 33m mm （m 2 ﹣3m﹣18）i 是 （1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数． 2．如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为 1 ， AB 对应的复数为2+2i，BC 对应的复数为 4-4i． （1）求 D 点对应的复数； （2）求平行四边形 ABCD 的面积．
9
3．已知复数 z 1 满足：|z 1 |=1+3i﹣z 1 ． （1）求 z 1 ； （2）若复数 z 2 的虚部为 2，且21zz是实数，求2z ． 4．已知复数 z＝a＋i(a>0，a∈R)，i 为虚数单位，且复数2zz 为实数． （1）求复数 z； （2）在复平面内，若复数(m＋z) 2 对应的点在第一象限，求实数 m 的取值范围． 5．已知复数1 22 , 2 3 z i z i ． （1）计算1 2z z ； （2）求21zz； （3）若 5 z ，且复数 z 的实部为复数1 2z z 的虚部，求复数 z ． 6．设复数 z 1 ＝2＋ai(其中 a∈R)，z 2 ＝3－4i． （1）若 z 1 ＋z 2 是实数，求 z 1 ·z 2 的值； （2）若12zz是纯虚数，求|z 1 |． 7．已知关于 x 的方程 225 0 x px p R 在复数范围内的两根为1x 、2x ． （1）若 p=8，求1x 、2x ； （2）若13 4i x ，求 p 的值．
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