统计与统计案例
第一节 随机抽样
一、基础知识
1． 简单随机抽样
(1)定义：一般地，设一个总体含有 N 个个体，从中逐个不放回地抽取 n 个个体作为样
( n≤ N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等， 就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．这样抽取的样本，叫做简单随机样本．
(2)常用方法：抽签法和随机数法．
2． 分层抽样
在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．
(2)分层抽样的应用范围：
当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．
3． 系统抽样
定义：当总体中的个体数较多时，可以将总体分成均衡的几部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需的样本，这种抽样的方法叫做系统抽样．
(2)系统抽样的步骤
假设要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本．
①先将总体的 N 个个体编号；
N N
②确定分段间隔 k，对编号进行分段．当 n (n 是样本容量 )是整数时，取 k＝ n；
当总体中的个体数不能被样本容量整除时， 可先用简单随机抽样的方法从总体中剔除几个个
体，使剩下的个体数能被样本容量整除，然后再按系统抽样进行 .这时在整个抽样过程中每
个个体被抽取的可能性仍然相等 .
③在第 1 段用简单随机抽样确定第一个个体编号 l( l≤ k)；
④按照一定的规则抽取样本．通常是将 l 加上间隔 k 得到第 2 个个体编号 l ＋ k，再加 k 得到第 3 个个体编号 l ＋ 2k，依次进行下去，直到获取整个样本．
二、常用结论
(1)不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率都是相同的．
(2)
系统抽样一般也称为等距抽样，入样个体的编号相差分段间隔
k 的整数倍．
(3)
分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比．
(4)
三种抽样方法的特点、联系及适用范围
类别
共同点
各自特点
联系
适用范围
简单随
从总体中逐个抽取
总体个数
机抽样
较少
①抽样过程中每
将总体均分成几部分，按
在起始部分取样
系统
个个体被抽到的
总 体 个 数
预先定出的规则在各部
时，采用简单随
抽样
可能性相等；
分中抽取
机抽样
较多
②每次抽出个体
总 体 由 差
后不再将它放回，
各层抽样时，采
分层
即不放回抽样
将总体分成几层，分层进
异 明 显 的
用简单随机抽样
抽样
行抽取
或系统抽样
几 部 分 组
成
考点一 简单随机抽样
[ 典例 ] 下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数有 ( )
①从无限多个个体中抽取 100 个个体作为样本；
②盒子里共有 80 个零件，从中选出 5 个零件进行质量检验．在抽样操作时，从中任意
拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里；
③用抽签方法从 10 件产品中选取 3 件进行质量检验；
④某班有 56 名同学，指定个子最高的 5 名同学参加学校组织的篮球赛．
A ． 0 个 B ． 1 个
C．2 个 D ．3 个
[解析 ] ①不是简单随机抽样， 因为被抽取样本的总体的个数是无限的， 而不是有限的；②不是简单随机抽样， 因为它是有放回抽样； ③明显为简单随机抽样； ④不是简单随机抽样，因为不是等可能抽样．
[答案 ] B
[ 解题技法 ] 应用简单随机抽样应注意的问题
一个抽 能否用抽 法，关 看两点：一是抽 是否方便；二是号 是否易 匀．一般地，当 体容量和 本容量都 小 可用抽 法．
在使用随机数法 ，如遇到三位数或四位数，可从 的随机数表中的某行某列的
数字 起， 每三个或四个作 一个 位， 自左向右 取， 有超 体号 或出 重复号 的数字舍去．
[
]
1． 体由 号 01,02，?， 19,20 的 20 个个体 成，利用下面的随机数表 取 5 个个
体， 取方法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次 取两个数字，
出来的第
5 个个体的 号
(
)
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
A.08
B ． 07
C．02
D ．01
解析：D
由随机数法的随机抽 的 程可知 出的
5 个个体是 08,02,14,07,01，所
以第 5 个个体的 号是 01.
2．利用 随机抽 ，从
n 个个体中抽取一个容量
10 的 本．若第二次抽取 ，
余
下的每个个体被抽到的概率
1， 在整个抽 程中，每个个体被抽到的概率 (
)
3
1
1
A. 4
B.3
5
10
C.14
D.27
解析： C
根据 意，
9 ＝
1，
n－ 1
3
解得 n＝ 28.
故在整个抽 程中每个个体被抽到的概率
10＝ 5
28 14.
考点二
系 抽
[ 典例 ]
(1) 某校 了解
1 000 名高一新生的身体生 状况，用系 抽 法
(按等距的
) 抽取 40 名同学 行 ， 将学生从
1～ 1 000 行 号， 已知第
18 抽取的号
443，
第一 用 随机抽 抽取的号
(
)
A ． 16
B ． 17
C．18
D ．19
(2)中央 台 了解 众 某 目的意 ，准 从
502 名 众中抽取
10%
行座 ， 用系 抽 的方法完成 一抽 ，
在 行分 ，需剔除
________个个体，抽
隔 ________．
[解析 ] (1)因 从 1 000
名学生中抽取一个容量
40 的 本，所以系 抽 的分段
1 000
隔
40 ＝ 25，
第一 随机抽取的号
x，
抽取的第 18 号
x＋ 17× 25＝443，所以 x＝ 18.
(2)把 502 名 众平均分成
50 ，由于 502 除以 50 的商是 10，余数是 2，所以每 有
10 名 众， 剩 2 名 众， 采用系 抽 的方法抽 ，
先用 随机抽 的方法从
502
名 众中抽取 2 名 众， 2 名 众不参加座； 再将剩下的
500 名 众 号 1,2,3，? ，
500，并均匀分成
500＝ 10 个个体．所以需剔除
2 个个体，抽 隔
10.
50 段，每段含 50
[答案 ] (1)C
(2)2 10
[ 透 清 ]
1.若本例 (1)的条件不 ， 号落入区
[501,750] 的人数 ________．
解析：从 1 000 名学生中抽取一个容量
40 的 本， 系 抽 分 40 ，每 1 000＝ 25
40
个号 ，每 抽取一个，从
501 到 750 恰好是第
21 到第 30 ，共抽取
10 人．
答案： 10
2． (2018 ·昌摸底 研南
)某校高三 (2) 班 有
64 名学生，随机 号
0,1,2，?， 63，依
号 序平均分成 8 ， 号依次
1,2,3，?， 8. 用系 抽 方法抽取一个容量
8 的
本，若在第 1 中随机抽取的号
5， 在第
6 中抽取的号 ________．
解析： 由 知分 隔
64＝ 8，又第
1 中抽取的号 5，所以第 6 中抽取的号
8
5× 8＋ 5＝ 45.
答案： 45
[ 解 技法 ] 系 抽 中所抽取 号的特点
系 抽 又称等距抽 ， 所以依次抽取的 本 的号 就是一个等差数列， 首 就是
1 所抽取 本的号 ， 公差 隔数， 根据等差数列的通 公式就可以确定每一 内所要抽取的 本号 ．
[提醒 ] 系 抽 ，如果 体中的个数不能被 本容量整除 ，可以先用 随机抽
从 体中剔除几个个体，然后再按系 抽 行．
考点三 分 抽
[ 典例 ] 某电视台在网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的一共
有 20 000 人，其中各种态度对应的人数如下表所示：
最喜爱 喜爱 一般 不喜欢
4 800 7 200 6 400 1 600
电视台为了了解观众的具体想法和意见， 打算从中抽取 100 人进行详细的调查， 为此要
进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中应抽取的人数分别为 ( )
A ． 25,25,25,25 B ． 48,72,64,16
C．20,40,30,10
D ．24,36,32,8
[ 解析 ]
法一： 因为抽样比为
100
＝
1
，所以每类人中应抽取的人数分别为
20 000
200
1 ＝ 24,7 200×
1 ＝36， 6 400× 1
＝32,1 600
× 1 ＝ 8.
4 800× 200
200
200
200
法二： 最喜爱、喜爱、一般、不喜欢的比例为
4 800∶ 7 200∶ 6 400∶ 1 600＝ 6∶9∶ 8∶
2，
所以每类人中应抽取的人数分别为
6
×
100 ＝ 24，
9
× 100
＝ 36
，
6＋ 9＋ 8＋ 2
6＋ 9＋8＋ 2
8
× 100＝ 32，
2
× 100＝ 8.
6＋ 9＋ 8＋ 2
6＋ 9＋8＋ 2
[答案 ]
D
[ 解题技法 ] 分层抽样问题的类型及解题思路
(1)求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算．
已知某层个体数量，求总体容量或反之求解：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算．
样本容量
(3) 分 层 抽 样 的 计 算 应 根 据 抽 样 比 构 造 方 程 求 解 ， 其 中 “ 抽 样 比 ＝ ＝ 总体容量
各层样本数量
各层个体数量 ”．
[ 题组训练 ]
1．(2019 ·西五校联考山 )某校为了解学生的学习情况， 采用分层抽样的方法从高一 1 000
人、高二 1 200 人、高三 n 人中抽取 81 人进行问卷调查，若高二被抽取的人数为
30，则 n
＝()
A ． 860
B ． 720
C．1 020
D ．1 040
解析： 选 D
由已知条件知抽样比为
30 ＝
1 ，从而
81
＝
1
，解得 n＝
1 200
40
1 000＋1 200＋ n
40
1 040，故选 D.
2.(2018 广·州高中 合 )已知某地区中小学学生人数如 所示．
了解 区学生参加某 社会 践活 的意向， 采用分 抽 的方法来 行 ．若高中需抽取 20 名学生， 小学与初中共需抽取的学生人数
________．
解析： 小学与初中共需抽取的学生人数
x，依 意可得
1 200
＝
20 ，
2 700＋ 2 400＋ 1 200
x＋ 20
解得 x＝ 85.
答案： 85
[ 跟踪 ]
1．从 2 019 名学生中 取 50 名学生参加全国数学 ，若采用以下方法 取：先用
随机抽 法从 2 019 名学生中剔除
19 名学生，剩下的 2 000 名学生再按系 抽 的方法抽
取， 每名学生入 的概率 ()
A ．不全相等
B ．均不相等
50
1
C．都相等，且 2 019
D ．都相等，且 40
解析：C 从 N 个个体中抽取
M 个个体， 每个个体被抽到的概率都等于
M，故每
N
名学生入 的概率都相等，且
50
2 019.
2．福利彩票“双色球”中 球的号 可以从
01,02,03，?， 32,33
33
个两位号 中
取，小明利用如下所示的随机数表 取 色球的
6 个号 ， 取方法是从第
1 行第 9 列的
数字开始，从左到右依次 取数据， 第四个被 中的 色球的号
(
)
81 47 23 68 63 93 17 90 12 69 86 81 62 93 50 60 91 33 75 85 61 39 85
06 32 35 92 46 22 54 10 02 78 49 82 18 86 70 48 05 46 88 15 19 20 49
A.12
B ． 33
C．06
D ．16
解析：
C
被 中的 色球的号 依次
17,12,33,06,32,22，所以第四个被 中的
色球的号
06.
3
52
4
知 5 号、 18 号、 44 号同学在 本中，那么 本中 有一个同学的座号是
(
)
A ． 23
B ． 27
C．31
D ．33
解析：
C
分段 隔
52＝ 13，故 本中 有一个同学的座号
18＋ 13＝ 31.
4
4．某工厂在
12 月份共生 了
3 600
双皮靴，在出厂前要 批 品的 量，决定采
用分 抽 的方法 行抽取，若从一、二、三 抽取的 品数分
a， b， c，且
a， b，
c 构成等差数列， 第二 生 的 品数
(
)
A ． 800
双
B ． 1 000
双
C．1 200
双
D ．1 500
双
解析：
C
因
a，b， c
成等差数列，所以
2b＝ a＋ c，即第二 抽取的 品数占
抽 品 数的三分之一，根据分 抽 的性 可知，第二 生 的 品数占
12 月份生
数的三分之一，即
1 200
双皮靴．
5．(2018
·宁摸底 考南
)已知某地区中小学生人数和近 情况分 如 甲和 乙所示．
了了解 地区中小学生的近 形成原因，用分 抽 的方法抽取
本容量和抽取的高中生近 人数分 ( )
2%的学生 行 ，
A ． 100,20
C．200,10
B ． 200,20
D ．100,10
解析：
B
由 甲可知学生 人数是
10 000 ， 本容量
10 000×2%＝ 200，抽取
的高中生人数是
2 000× 2%＝ 40，由 乙可知高中生的近 率
50% ，所以抽取高中生的
近 人数
40× 50%＝ 20，故
B.
6．一个 体中有 100 个个体，随机 号 0,1,2，?， 99.依 号 序平均分成 10 个小
， 号依次 1,2,3 ，?，10. 用系 抽 方法抽取一个容量 10 的 本， 如果在第一
随机抽取的号 m，那么在第 k 中抽取的号 个位数字与 m＋ k 的个位数字相同．若 m
＝6， 在第
7 中抽取的号 是
(
)
A ． 63
B ． 64
C．65
D ．66
解析：
A
若 m＝ 6， 在第
7 中抽取的号 个位数字与
13 的个位数字相同， 而第
7 中的 号依次
60,61,62,63， ? ，69，故在第
7 中抽取的号 是
63.
7．采用系 抽 方法从
960 人中抽取
32 人做 卷 ， 此将他 随机 号
1,2，?，
960，分 后在第一 采用 随机抽 的方法抽到的号
9.抽到的
32 人中， 号落入区
[1,450] 的人做 卷
A， 号落入区
(450,750] 的人做 卷
B，其余的人做 卷
C. 抽到的
人中，做 卷
B 的人数
(
)
A ． 7
B ． 9
C．10
D ．15
解析： C 960÷32＝30，故由 意可得抽到的号 构成以
9 首 ，以 30 公差的
等差数列，其通 公式
an＝ 9＋ 30(n－ 1) ＝30n－ 21.由
450＜ 30n－ 21≤ 750，解得 15.7＜
n≤ 25.7.又 n 正整数，所以
16≤ n≤ 25，故做 卷 B 的人数
25－ 16＋ 1＝10.故 C.
8．某企 三月中旬生
A，B， C 三种 品共
3 000 件，根据分 抽 的 果，企
制作了如下的 表格：
品
A
B
C
品数量 (件 )
1 300
本容量 (件 )
130
由于不小心，表格中
A，C 品的有关数据已被 染看不清楚，
得 A 品的
本容量比 C 品的 本容量多
10，根据以上信息，可得
C 的 品数量是 ________件．
解析： 本容量
x，
x
× 1 300＝ 130，∴ x＝ 300.
3 000
∴ A 品和 C 品在 本中共有
300－130＝ 170(件 )．
C 品的 本容量
y， y＋y＋ 10＝ 170，∴ y＝ 80.
C 品的数量 3 000× 80＝ 800(件 )．
300
答案 ：800
9．某企 三个分厂生 同一种 子 品，三个分厂 量分布如 所示， 在用分 抽
方法从三个分厂生 的 品中共抽取 100 件做使用寿命的 ， 第一分厂 抽取的件数 ________；由所得 品的 果 算出一、 二、三分厂取出的 品的使用寿命平均
分 1 020 小 、 980 小 、 1 030 小 ， 估 个企 所生 的 品的平均使用寿命
________小 ．
解析： 第一分厂 抽取的件数 100× 50%＝ 50； 品的平均使用寿命 1 020×0.5
980× 0.2＋ 1 030×0.3＝ 1 015.
答案： 50
1 015
10．将参加冬季越野跑的
600 名 手 号 ：
001,002，?， 600，采用系 抽 方法抽
取一个容量
50 的 本，把 号分
50 后，在第一 的
001 到
012 12
个 号中随机
抽得的号
004，
600 名 手穿着三种 色的衣服，从
001 到
301 穿 色衣服，从
302
到 496 穿白色衣服，从 497 到 600 穿黄色衣服，则抽到穿白色衣服的选手人数为
________ ．
解析： 由题意及系统抽样的定义可知，将这
600 名学生按编号依次分成 50
组，每一组
各有 12 名学生，第 k(k∈ N * )组抽中的号码是
4＋ 12(k－ 1)．令
302≤4＋ 12(k－ 1)≤ 496，得
5
≤ k≤ 42，因此抽到穿白色衣服的选手人数为
42－ 25＝ 17(人 )．
25
6
答案 ：17
11．某初级中学共有学生 2 000 名，各年级男、女生人数如下表：
初一年级
初二年级
初三年级
女生
373
x
y
男生
377
370
z
已知在全校学生中随机抽取
1 名，抽到初二年级女生的概率是
0.19.
(1)求 x 的值；
(2)现用分层抽样的方法在全校抽取
48 名学生，问应在初三年级抽取多少名？
x
解： (1)∵ ＝ 0.19，∴ x＝ 380.
2 000
(2)初三年级人数为 y＋ z＝2 000－(373＋ 377＋ 380＋ 370)＝ 500，现用分层抽样的方法在
全校抽取
48 名学生，应在初三年级抽取的人数为
48
×500＝ 12(名 )．
2 000
相关热词搜索： 统计 统计 案例 实用 统计与统计实用案例x
