都市摩天楼”的最佳规划
摘要
本文给出了关于 都市摩天楼最佳规划问题的一个数学模型， 我
们采用 LINGO 软件作为辅助，运用典型事例分析法，将此
模型所遇到的问题由繁化简， 将模型苛刻的条件转为我们的
有利分析思路，通过我们的努力钻研，给出了一个合理的方
案，此方案的建立解决了现代楼房的构造和住房紧缺的问
题。
1．问题重述 都市摩天楼是诺基亚收集上的经典游戏。其简化规则可以这样描述： 有一个城市，其土地可以表示为一个 5*5 的方阵，每一个方格可以建一座楼 房，共有四种楼房。蓝色楼房可以容纳 100 人，红色楼房可以容纳 400 人，绿色 楼房可以容纳 700 人，黄色楼房可以容纳 1000人。但是，若在某个位置盖红色 楼房，必须在这个位置周围 9上，下，左，右；斜相临不算）有蓝色楼房。同样，若在某个位置盖绿色楼房， 必须在其周围有蓝色和红色楼房； 若要在某个位置盖黄色楼房， 必须这个位置周 围有蓝色，红色和绿色楼房。
建楼的过程中，只要满足相临的条件即可。
2．模型假设
（ 1） 不考虑城市的整体性， 规划的美观性等其他种种因素的影响， 而限制条件 是唯一的因素
（ 2） 每所房子按照规定的人数居住，不存在超人数居住现象
3．符号说明
A 表示蓝色房子的数量；
B 表示红色房子的数量；
C 表示绿色房子的数量；
D 表示黄色房子的数量；
N 表示总的人数（单位百人）；
4．问题的分析与模型的建立
4．1 都市摩天楼规划的目标分析 本题中，该城市如何建立房子， 使该城市容纳的人数最多， 是亟待解决的问 题。蓝、红、绿、黄色房子容纳的人数依次增多，应使后面的房子数多一些，以 便容纳最多的人数，但是限制条件也越来越苛刻， 本文即是解决这两者的矛盾性， 分析各个因素，综合考虑。
4．2 影响优化规划的两个要素
1． 容纳量 每种颜色的房子的容纳人数不同， 在考虑建造时， 应优先考虑容纳人数多的 楼房建造，以使目标函数取得最大值。
900800700600500400300200100人数■蓝色房子 ■红色房子
900
800
700
600
500
400
300
200
100
人数
■蓝色房子 ■红色房子 一绿色房子 一黄色房子
2 ?不同颜色楼房的相临的要求
在建造楼房的过程中，必须满足B与A相临，C与B、A相临，D与C、B、 A相临这一约束条件。如下图所示：
A
B
C
A
A
B
D
C
总结：在进行优化规划之时，需要对这两者进行量化考虑，运用两者的约束 性，进行规划。
建立目标函数：
N=A+4B+7C+10D
且 25=A+B+C+D
5.目标函数的求解与验证
为了使目标函数取的最大值，须使 A、B的数量尽量少，而C、D的数量尽 量多，所以规划时，要使 A、B被C、D共用以减少其数量，因此，D、D或C、 D尽量对角放置。由约束条件知方阵的四个顶角均不可以放置 D即黄色房子。
为了尽量满足D、D的对角放置，首先将D放置在中心位置，如下图：
A
C
B
B
A
B
D
A
B
C
C
B
D
C
A
A
D
C
D
B
C
B
D
A
C
此时，A=6, B=7, C=7, D=5
所以：
N=6+4*7+7*7+10*5
=133;
若如下布局：
D
A
D
B
D
C
D
D
若D全部对角排列，显然，C即绿色楼房无法满足约束条件，故舍弃
若使A位于中心，周围被四个 D环绕，大致位置如下：
B
A
B
A
C
C
B
D
C
B
A
D
A
D
A
B
C
D
B
C
C
A
B
A
B
则 a=7，B=8，C=6，D=4
所以:
N=7+4*8+7*6+10*4
=121;
若是C在中心，其位置大致如下:
C
A
C
A
B
B
A
B
C
D
A
D
C
D
A
C
B
A
B
C
A
C
C
B
A
则 A=8, B=6, C=8, D=3
所以：
N=8+6*4+8*7+3*10
=118;
若B在中心，其大致位置如下:
A
B
C
A
C
D
C
A
A
B
B
D
B
D
C
C
A
D
B
C
A
B
C
A
A
则 A=8, B=6, C=7, D=4
所以：
N=8+6*4+7*7+4*10 =121;
若D为最大值时，其大致位置如下:
A
D
B
D
A
B
C
A
C
B
A
D
B
D
A
B
C
A
C
B
A
D
B
D
A
则 A=8, B=7, C=4, D=6
所以；
N=8+7*4+4*7+10*6
=124
经过以上对模型的大致假设，可以看出要使目标函数取得最大值，则要把D 放在城市的中心位置。
A
B
C
D
A
D
C
A
B
C
A
B
D
C
A
D
C
A
D
B
A
D
B
A
C
则 A=8，B=5，C=6，D=6
所以：
N=8+4*5+7*6+10*6
=130；
经过首末两次假设的结果比较，可以看出应使 A、B,尤其是A中间化，而
非边缘化，以增大A的共用率，减少其数量。
B
C
A
D
A
A
D
B
C
D
A
A
D
A
B
B
D
C
D
C
C
A
D
B
A
则 A=8, B=5, C=5, D=7
所以：
N=8+5*4+5*7+7*10
=133;
通过分析，lingo程序的求解过程如下：
Model:
Max=100*a+400*b+700*c+1000*d;
a<=25;a nda>=6;
b<=13;a ndb>=0;
c<=9;a ndc>=0;
d<=6;a ndd>=0;
@bin (a);
@bin (b);
@bin(c);
@bin (d);
End
结果如下：
Global optimal soluti on found.
2200.0002200.000
2200.000
2200.000
0.000000
0
0
Objective bound:
In feasibilities:
Exte nded solver steps: Total solver iterati ons:
A
1.000000
-100.0000
B
1.000000
-400.0000
C
1.000000
-700.0000
D
1.000000
-1000.000
ANDA
6.000000
0.000000
ANDB
0.000000
0.000000
ANDC
0.000000
0.000000
ANDD
0.000000
0.000000
Row
Slack or Surplus
Dual
Price
1
2200.000
1.000000
2
24.00000
0.000000
3
0.000000
0.000000
4
12.00000
0.000000
5
0.000000
0.000000
6
8.000000
0.000000
7
0.000000
0.000000
8
5.000000
0.000000
9
0.000000
0.000000
Cost
Variable
Value
Reduced
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