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专题 40
概率中的单调性与最值问题 一、题型选讲 题型一 、概率中的单调性问题 例 1、【2019 年高考浙江卷】设 0＜a＜1，则随机变量 X 的分布列是 X
0
a
1
P
13 13 13 则当 a 在（0 ， 1）内增大时， A． ( ) D X 增大
B． ( ) D X 减小 C． ( ) D X 先增大后减小
D． ( ) D X 先减小后增大
例 2、【2018 年高考浙江卷】设 0 1 p ，随机变量 ξ 的分布列是 ξ 0 1 2 P 12p 12 2p 则当 p 在（0，1）内增大时， A．D（ξ）减小
B．D（ξ）增大 C．D（ξ）先减小后增大
D．D（ξ）先增大后减小 例 3、【2020 年高考山东】（多选题）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量 X 所有可能的取值为1,2, ,n ，且1( ) 0( 1,2, , ), 1ni iiP X i p i n p ，定义 X 的信息熵21( ) logni iiH X p p . A．若 n=1，则 H(X)=0 B．若 n=2，则 H(X)随着1p 的增大而增大 C．若1( 1,2, , )ip i nn ，则 H(X)随着 n 的增大而增大 D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为 1,2, ,m ，且2 1( ) ( 1,2, , )j m jP Y j p p j m ，则H(X)≤H(Y) 题型二、 概率中的最值问题 例 4、（2020·浙江温州中学高三 3 月月考）随机变量 的可能值有 1，2，3，且 1 3 1 P p ， 3 1 P p ，则 D 的最大值为（
）
A．89 B．1716 C．2625 D．1
2 例 5、（2020 届浙江省杭州市第二中学高三 3 月月考）随机变量 的分布列如下：
-1 0 1
其中 ， ， 成等差数列，则 的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
例 6、（2020 届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初）已知 ， 两个不透明盒中各有形状、大小都相同的红球、白球若干个，A 盒中有 个红球与 个白球， 盒中有 个红球与 个白球（ ），若从 ， 盒中各取一个球， 表示所取的 2 个球中红球的个数，则当 取到最大值时， 的值为（
）
A．3 B．5 C．7 D．9 例 7、（2020·浙江省温州市新力量联盟高三上期末）随机变量 的分布列如下：
1 2 3
其中 ， ， 成等差数列，则 的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
例 8、（2020 届山东省日照市高三上期末联考）某公司准备投产一种新产品，经测算，已知每年生产万件的该种产品所需要的总成本 （万元），依据产品尺寸，产品的品质可能出现优、中、差三种情况，随机抽取了 1000 件产品测量尺寸，尺寸分别在 ，， ， ， ， ， （单位：
）中，经统计得到的频率分布直方图如图所示. ξξP a bca b c Dξ23592934A Bm 10 m B 10 m m 0 10 m A B ( ) D mXXPa b ca b c D X29593423 5 15 x x 322316 309 10xC x x x 25.26,25.30 25.30,25.34 25.34,25.38 25.38,25.42 25.42,25.46 25.46,25.50 25.50,25.54mm
3
产品的品质情况和相应的价格 （元/件）与年产量 之间的函数关系如下表所示. 产品品质 立品尺寸的范围 价格与产量 的函数关系式 优
中
差
以频率作为概率解决如下问题：
（1）求实数 的值； （2）当产量 确定时，设不同品质的产品价格为随机变量 ，求随机变量 的分布列； （3）估计当年产量 为何值时，该公司年利润最大，并求出最大值.
m xm x 25.34,25.46 34 m x 25.26,25.343255m x 25.46,25.543205m x ax x
4 二、达标训练
1、【2018 年高考全国Ⅲ卷理数】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p ，各成员的支付方式相互独立，设 X 为该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数， 2.4 DX ， ( 4) ( 6) P X P X ，则 p
A．0.7
B．0.6 C．0.4
D．0.3 2、（2020 届浙江省“山水联盟”高三下学期开学）设 ，随机变量 的分布列如下表所示
1 2 3
已知 ，则当 在 内增大时， 的变化情况（
）
A．先增大再减小 B．先减小再增大 C．增大 D．减小 3、（2020 届浙江省台州市温岭中学 3 月模拟）已知 ，随机变量 ， 的分布列如表所示，则（
）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
4、 （2020 届浙江省杭州市高三 3 月模拟）已知随机变量 ξ 满足 P (ξ=0) =x，P(ξ=1) =1-x，若1(0, ),2x 则（
）
A．E(ξ)随着 x 的增大而增大，D (ξ)随着 x 的增大而增大 B．E(ξ)随着 x 的增大而减小，D(ξ)随着 x 的增大而增大 C．E(ξ)随着 x 的增大而减小，D(ξ)随着 x 的增大而减小 D．E(ξ)随着 x 的增大而增大，D(ξ)随着 x 的增大而减小 5、（2020·浙江学军中学高三 3 月月考）已知 a，b 为实数，随机变量 X，Y 的分布列如下：
102b XXPa b c( ) 2 E X b10,2 ( ) D Xc a n4 3 2p ab c2 3 4p ab cE E D D E E D D E E D D E E D D
5 X -1 0 1
Y -1 0 1 P
P a b c 若 ，随机变量 满足 ，其中随机变量 相互独立，则 取值范围的是（
）
A．
B．
C．
D．
6、（2020 届浙江省十校联盟高三下学期开学）设 ，相互独立的两个随机变量 ， 的分布列如下表：
-1 1
-1 1
则当 在 内增大时（
）
A． 减小，增大 B． 减小，减小 C． 增大，增大 D． 增大，减小 7、（2020·浙江温州中学 3 月高考模拟）已知随机变量 X 的分布列如下表：
X
0 1 P a b c 其中 a，b， .若 X 的方差 对所有 都成立，则（
）
A．
B．
C．
D．
8、（2020 届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考）设 ，随机变量 的分布列是：
0 1
则当 在 内增大时（
）
A． 增大 B． 减小 C． 先增大后减小 D． 先减小后增大 131216 1 E Y P Y XY XY E 3,14 1,018 1,118 3,14 112p P2313P1 p pp1,12 E D E D E D E D 1 0 c 13D X 0,1 a b 13b 23b 13b 23b 023a XX 1 Pa23a13a203 ， D X D X D X D X
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