立体几何复习讲义

　 立体几何复习 讲义

　一、考试大纲解读

　一

　知识梳理 立体几何是高中数学的重要内容，立体几何试题是考查空间想象能力，逻辑思维能力和演绎推理能力的基本载体。

　在《课程标准》中，立体几何的内容和考查要求有了较大的变化：增加了三视图，更强调几何直观，几何证明有所削弱，淡化了距离问题。因此，在复习中，以基本知识，基本方法为基础，以通性通法为重点，培养空间几何体的直观认知能力和逻辑推理能力。

　1、加强几何直观 立体几何问题以 “直观图”“三视图”等形式呈现几何直观，注意空间想象能力的培养，尤其是认识图，理解图，应用图的能力，实现“空间图形”与其“直观图”“三视图”的相互转化。在试题设计上，通常有 1—2 道选择题或填空题，常见题型为（1）与三视图结合，考查几何体的表面积或体积等问题，（2）平行垂直关系的判定以及符号语言的理解和使用。

　2、几何证明有所削弱，但平行与垂直关系仍是问题的主线 线线，线面，面面平行和垂直关系是最重要的空间位置关系，仍然是高考考查的重点，在试题设计上，解答题常以多面体和旋转体为载体，考查平行垂直关系，以及角的计算，同时应适度关注有关位置关系的探索等探索性问题。

　3、重视向量方法在立体几何计算问题中的应用 由于平面几何和高中立体几何对平行垂直关系的证明要求有所削弱，

　 有关线面角，二面角侧重于用向量方法，要求考生（1）会根据题目特点，建立适当的空间直角坐标系，求出所研究各点的坐标，进而求出相关几何量的坐标，（2）会用数量积研究两条直线的夹角和线段长度的计算问题，（3）会用向量的线性运算研究向量的共线问题，进而解决平行垂直关系以及空间中角的计算和两点间的距离问题。

　二、知识点回顾

　1、空间平行与垂直的判定定理 线 面 平 行 ：____________________________________________________________ 线 面 垂 直 ：_____________________________________________________________ 面 面 平 行 ：_____________________________________________________________ 面 面 垂 直 ：_____________________________________________________________ 2、空间角（观察下面图形）

　类型 ①线线角 ②线面角 ③面面角 求角公式 e e 1， e e 2 分别为直线 l 1， l 2 的方向向量，直线 l 1，设 e e 为直线 l 的方向向量， n n 为平面  的法向设 n n 1， n n 2 分别为平面  1，  2 的法向量，平面  1，

　 l 2 所成的角为 ，

　 ____________ 量， l 与平面 所成的角为  ，

　 _____________  2 所成的二面角为  ，

　______________

　取值范围

　______________

　 ______________

　 ______________

　图形

　 3、空间距离

　 点面距离的向量公式：平面 的法向量为 ，点 P 是平面 外一点，点 M 为平面 内任意一点，则点 P 到平面 的距离 d = . [ [ 高考速递] ] ：

　在长方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 中， AB = BC =2, AA 1 =1,则 BC 1 与平面 BB 1 D 1 D 所成角的正弦值为（

　 ）

　A.

　B.

　  cos   sin | cos |       n  | || |MP  nn632 65e 2e 1l 2l 1  lne   2  1n 2n 1A B C D B 1 C 1

　D 1 E A 1

　 C.

　 D.

　三、空间向量在立体几何解答题中的应用

　[ [ 典型例题] ] ：

　1、一个几何体的三视图如图所示，其中主视图 是边长为 2 的正三角形，俯视图为正六边形， 那么该几何体的体积为

　．

　 2. 如 图 ， 在 直 三 棱 柱 中 ，， ， 是 的中点， 是的中点. （1）求证 AB C CQ （2）求异面直线 与 所成角的大小； （3）求直线 与面 Q 所成角的正弦； （4）求二面角 A -CQ-B 的平面角的余弦。

　 1551051 1 1ABC ABC 1CC AC BC   90 ACB    P1AA Q AB1PQ1BCPQ1BC1 1BDEAFOCP俯视图 主视图 左视图 ABC1A1B1CPQ

　 四、巩固练习 1、一个几何体的三视图如右图所示，则该几 何 体的表面积是_______________。

　 XYZPQB1A1CBAC1俯 正 侧 3 1 2 2

　 2、如图，五面体 中， ．底面 是正三角形， .四边形 是矩形，二面角 为直二面角. （1）

　在 上运动，当 在何处时，有 平面 ,并且说明理由；

　（2）当 平面 时，求二面角 的余弦值.

　 ：

　解：（1）证明略

　（2）建立空间直角坐标系 如图所示,则 , , ,,

　 ……7 分 1 1A BCC B  41 AB ABC 2  AB1 1BCC B1A BC C  D AC D //1AB1BDC//1AB1BDC D BC C  1B xyz  (0,0,0) B ( 3,1,0) A (0,2,0) C3 3( , ,0)2 2D1 (0,2,2 3)CC1B1BCAA1C 1 B 1DC BA

　 A 1C 1CAB 1 B所以 , .

　 ……………………………8 分 设 为平面 的法向量,则有 ,即 令 ,可得平面 的一个法向量为 , 而 平 面 的 一 个 法 向 量 为

　 …所以所 以 二 面 角 的 余 弦 值 为……………13 分

　练习、如右放置在水平面上的组合体由直三棱柱 与正三棱锥 组成，其中， 。它的正视图、俯视图、从左向右的侧视图的面积分别为 ， ， 。

　（Ⅰ）求直线 与平面 所成角的正弦； （Ⅱ）在线段 上是否存在点 ，使 平面 。若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由。

　D

　 五、课堂小结

　1 1 、三视图

　2 2 、体积表面积的计算

　3 3 、平行与垂直的证明

　4 4 、立体几何中求角求距离的向量公式

　3 3( , ,0)2 2BD 1(0,2,2 3) BC ) , , (1z y x n 1BDC3 302 22 2 3 0x yy z  33x zy z   1  z1BDC1(3, 3,1) n  1BCC2(1,0,0) n 1 21 21 23 3 13cos ,13 | || | 13n nn nn n    D BC C  11313 31 1 1C B A ABC ACD B BC AB 2 2 1  2 2 1  11CA ACD1AC P  P B 1 ACDP