1 专题 1.2
立体几何初步
一、选择题：（本大题共 16 题，每小题 4 分，共计 64 分）
1、如图，长方体1 1 1 1ABCD ABC D 中，13, 2, 1 AB BC BB ，则线段1BD 的长是（
）
A．14
B． 2 7
C．28 D． 3 2
【答案】A 【解析】2 2 21 19 4 1 14 BD AB AD AA ，故选 A. 2 2、棱长分别为 2、 、 的长方体的外接球的表面积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】设长方体的外接球半径为 ，由题意可知：
，则：
， 该长方体的外接球的表面积为 . 本题选择 B 选项. 3、设 正方体 ABCD—A 1 B 1 C 1 D 1 中，异面直线 BD 1 与 AC 所成的角等于(
) A．60° B．45° C．30° D．90° 【答案】D 【解析】画出图像如下图所示，连接1 1, BD B D ，由于几何体为正方体，故1, AC BD AC DD ，所以 AC 平面1 1BB D D ，所以1AC BD ,即所成的角为 90 .
2 4、在正方体1 1 1 1ABCD AB C D 中，异面直线1A B 与 AC 所成角是（
）
A． 30°
B． 45
C． 60
D． 90
【答案】C 【解析】在正方体1 1 1 1ABCD ABC D 中，1 1/ / AC AC ， 所以1 1BAC 即为所求（或其补角）. 连接1BC ，因为1 1 1 1BC AC AB ，所以1 1B 60 AC .故选 C. 5、已知 m，n 为异面直线，m⊥平面 α，n⊥平面 β．直线 l 满足 l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（
）
A．α∥β 且 l∥α
B．α⊥β 且 l⊥β
C．α 与 β 相交，且交线垂直于 l
D．α 与 β 相交，且交线平行于 l 【答案】D． 【解析】：由 m⊥平面 α，直线 l 满足 l⊥m，且 l⊄α，所以 l∥α， 又 n⊥平面 β，l⊥n，l⊄β，所以 l∥β． 由直线 m，n 为异面直线，且 m⊥平面 α，n⊥平面 β，则 α 与 β 相交，否则，若 α∥β 则推出 m∥n， 与 m，n 异面矛盾． 故 α 与 β 相交，且交线平行于 l． 故选：D． 6、对于直线 和平面 ，能得出 的一组条件是（）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】C 【解析】A选项中，根据 ， ， ，得到 或 ，所以 A 错误； B 选项中， ， ， ，不一定得到 ，所以 B 错误； C 选项中，因为 ， ，所以 . 又 ，从而得到 ，所以 C 正确；
3 D选项中，根据 ， ，所以 ，而 ，所以得到 ，所以 D 错误. 故选：C. 7、如图，在长方体 中，若 分别是棱 的中点，则必有（）
A．
B． C．平面 平面
D．平面平面
【答案】D 【解析】选项 A:由中位线定理可知：
，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以 不可能互相平行，故 A选项是错误的； 选项 B:由中位线定理可知：
，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以不可能互相平行，故 B 选项是错误的； 选项 C:由中位线定理可知：
，而直线 与平面 相交，故直线 与平面 也相交，故平面 与平面 相交，故 C 选项是错误的； 选项 D:由三角形中位线定理可知：
，所以有 平面 ， 平面 而，因此平面 平面 ，故本题选 D. 8、三棱柱 中， ，
、 、 ，则该三棱柱的外接球的表面积为(
) A． 4π
B． 6π
C． 8π
D． 10π 【答案】C 【解析】由题意得三棱柱为直三棱柱，且正好是长方体切出来的一半，所以外接球半径为， ，选 C.
4 9、如图所示， 垂直于以 为直径的圆 所在的平面， 为圆上异于 的任一点，则下列关系中不正确的是（）
A．
B． 平面 C．
D．
【答案】C 【解析】因为 垂直于以 为直径的圆 所在的平面， 即 平面 ，得 ，A 正确； 又 为圆上异于 的任一点，所以 ， 平面 ， ，B，D 均正确. 故选 C. 10、已知 l ， m 是两条不同的直线， 是平面，且 // m ，则（
）
A．若 // l m ，则 / / l
B．若 / / l ，则 // l m
C．若 l m ，则 l
D．若 l ，则 l m
【答案】D 【解析】
A 选项 有可能线在面内的情形，错误； B 选项中 l 与 m 还可以相交或异面，错误； C 选项中不满足线面垂直的判定定理，错误， D 选项中由线面垂直的性质定理可知正确. 故选：D 11、如果用, m n 表示不同直线，, , 表示不同平面，下列叙述正确的是（
）
A．若 // m ， // m n ，则 / / n
B．若 // m n ， m ， n ，则 / /
C．若 ， ，则 / /
D．若 m ， n ，则 // m n
【答案】D
5 【解析】选项 A 中还有直线 n 在平面 内的情况，故 A 不正确， 选项 B 中再加上两条直线相交的条件可以得到两个平面平行，故 B 不正确， 选项 C 中还有 , 相交，故 C 不正确， 故选：D． 12、张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知三棱锥 A BCD 的每个顶点都在球 O 的球面上， AB 底面 BCD ， BC CD ，且 3 AB CD ，2 BC ，利用张衡的结论可得球 O 的表面积为（
）
A．30 B． 10 10
C．33 D． 12 10
【答案】B 【解析】因为 BC CD ，所以7 BD ，又 AB 底面 BCD ， 所以球 O 的球心为侧棱 AD 的中点，从而球 O 的直径为 10 . 利用张衡的结论可得2516 8 ，则 10 ， 所以球 O 的表面积为2104 10 10 102 . 故选：B 13、若 P 是 ABC 所在平面外点, PA , PB , PC 两两垂直,且 PO 平面 ABC 于点 O ,则 O 是ABC 的(
) A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【解析】
连结 OA 并延长交 BC 与 D ,连结 BO 并延长交 AC 于 E ,
6
PA PB , PA PC , PB PC P
PA 面 PBC
又 BC 面 PBC
PA BC ,
PO 面 ABC
PO BC
BC 面 , PAO 故 AOBC ,即 AD BC
同理: BEAC ;根据三角形垂心定义可知: O 是 ABC 的垂心.故选:D. 14、已知一个表面积为 44 的长方体,且它的长、宽、高的比为 3: 2:1,则此长方体的外接球的体积为
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
15、已知平面 / / / / ，两条直线 l，m 分别与平面, , 相交于点 、 、A B C 和 D E F 、 、 ，若 6 AB ，: 2:5 DE DF ，则 AC =（
）
A．10 B．15 C．18 D．21 【答案】B 【解析】如图，若 AC 与 DF 不平行，则过 A 作 // AN DF 交 于 M ，交平面 于 N ，连接, , , , AD EM FN MB NC ， ∵ // AN DF ，所以 , AN DF 共面， 平面 ANFD AD ，平面 ANFD EM ，平面 ANFD FN ， / / / / ，
7 ∴ // // AD EM FN ，∴DE AMDF AN ，同理相交直线 , AN AC 确定平面 ANC 与平面 ， 分别交于, BM CN ，因此// BM CN ， ∴AM ABAN AC ， 所以AB DEAC DF ，即6 25 AC ， 15 AC ， 若 // AC DF ，上面的 M 就是 B ， N 就是 C ，同理可得．故选：B.
16、设 A，B，C，D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且面积为 9 ，则三棱锥D﹣ABC 体积的最大值为（
）
A．12
B．18
C．24
D．54
【答案】B 【解析】△ABC 为等边三角形且面积为 9 ，可得 ，解得 AB＝6， 球心为 O，三角形 ABC 的外心为 O′，显然 D 在 O′O 的延长线与球的交点如图：
O′C ，OO′ 2，则三棱锥 D﹣ABC 高的最大值为：6， 则三棱锥 D﹣ABC 体积的最大值为：
18 ． 故选：B．
8
二、解答题（本大题共 4 小题，共计 36 分）
17、（本小题 8 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，点 O 为对角线 BD 的中点，点E，F 分别为棱 PC，PD 的中点．已知 PA⊥AB，PA⊥AD. 求证：
(1)
直线 PB∥平面 OEF； (2) 平面 OEF⊥平面 ABCD.
【解析】证明：(1) 在△PBD 中，O 为 BD 的中点，F 为 PD 的中点．所以 OF∥PB，(3 分) 因为 PB⊄平面 OEF，OF⊂平面 OEF，(7 分) 所以直线 PB∥平面 OEF (2)解法 1 连结 AC，因为底面 ABCD 为平行四边形，O 为 BD 的中点，所以 O 为 AC 的中点． 在△PAC 中，O 为 AC 的中点，E 为 PC 的中点， 所以 OE∥PA，(9 分) 因为 PA⊥AB，PA⊥AD， 所以 OE⊥AB，OE⊥AD，(11 分) 又因为 AB∩AD＝A，AB，AD 在平面 ABCD 内， 所以 OE⊥平面 ABCD. 因为 OE⊂平面 OEF，所以平面 OEF⊥平面 ABCD.(14 分) 解法 2 连结 AC，因为 ABCD 为平行四边形，所以 AC 与 BD 交于点 O，O 为 AC 中点，又 E 为 PC中点，所以 PA∥OE，因为 PA⊥AB，PA⊥AD，AB∩AD＝A，所以 PA⊥平面 ABCD，所以 OE⊥平面 ABCD.又 OE⊂平面 OEF，所以 OEF⊥平面 ABCD.
18、（本小题 8 分）如图，在直三棱柱 ABC－A 1 B 1 C 1 中，已知 AB⊥BC，E，F 分别是 A 1 C 1 ，BC 的中点． (1) 求证：平面 ABE⊥平面 B 1 BCC 1 ； (2) 求证：C 1 F∥平面 ABE.
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【解析】(1) 证明：在直三棱柱 ABC－A 1 B 1 C 1 中，BB 1 ⊥底面 ABC， 因为 AB⊂平面 ABC，所以 BB 1 ⊥AB. 又因为 AB⊥BC，BB 1 ∩BC＝B，BB 1 ，BC⊂平面 B 1 BCC 1 ， 所以 AB⊥平面 B 1 BCC 1 . 又 AB⊂平面 ABE，所以平面 ABE⊥平面 B 1 BCC 1 . (2)证明：取 AB 中点 G，连结 EG，FG. 因为 E，F 分别是 A 1 C 1 ，BC 的中点， 所以 FG∥AC，且 FG＝ 12 AC.
因为 AC∥A 1 C 1 ，且 AC＝A 1 C 1 ， 所以 FG∥EC 1 ，且 FG＝EC 1 . 所以四边形 FGEC 1 为平面四边形， 所以 C 1 F⊥EG. 又因为 EG⊂平面 ABE，C 1 F⊄平面 ABE， 所以 C 1 F∥平面 ABE. 19、（本小题 10 分）在四棱锥 PABCD 中，锐角三角形 PAD 所在平面垂直于平面 PAB，AB⊥AD，AB⊥BC. (1) 求证：BC∥平面 PAD； (2) 平面 PAD⊥ 平面 ABCD.
【解析】
(1) 因为 AB⊥AD，AB⊥BC，且 A，B，C，D 共面，所以 AD∥BC. 因为 BC⊄平面 PAD，AD⊂平面 PAD，所以 BC∥平面 PAD.
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(2)过点 D 作 DH⊥PA 于点 H，因为是锐角△PAD，所以 H 与 A 不重合． 因为平面 PAD⊥平面 PAB，平面 PAD∩平面 PAB＝PA，DH⊂平面 PAD. 所以 DH⊥平面 PAB， 因为 AB⊂平面 PAB，所以 DH⊥AB. 因为 AB⊥AD，AD∩DH＝DAD，DH⊂平面 PAD， 所以 AB⊥平面 PAD. 因为 AB⊂平面 ABCD.所以平面 PAD⊥平面 ABCD. 20、（本小题 10 分）如图，正三棱柱 ABCA 1 B 1 C 1 中，点 M，N 分别是棱 AB，CC 1 的中点．求证：
(1) CM//平面 AB 1 N； (2) 平面 A 1 BN⊥平面 AA 1 B 1 B.
【解析】(1) 设 AB 1 交 A 1 B 于点 O，连结 OM，ON.在正三棱柱 ABCA 1 B 1 C 1 中 BB 1 ∥CC 1 ，BB 1 ＝CC 1 ，且四边形 AA 1 B 1 B 是平行四边形，所以 O 为 AB 1 的中点． 又因为 M 为 AB 的中点，所以 OM∥BB 1 ，且 OM＝ 12 BB 1 .N 为 CC 1 的中点， CN＝ 12 CC 1 ，所以 OM＝CN，且 OM∥CN， 所以四边形 CMON 是平行四边形，所以 CM∥ON.(5 分) 又 ON⊂平面 AB 1 N，CM⊄平面 AB 1 N，所以 CM∥平面 AB 1 N. (2) 在正三棱柱 ABCA 1 B 1 C 1 中，BB 1 ⊥平面 ABC，CM⊂平面 ABC，所以 BB 1 ⊥CM. 又 CA＝CB，M 为 AB 的中点，所以 CM⊥AB.又由(1)知 CM∥ON，所以 ON⊥AB，ON⊥BB 1 . 又因为 AB∩BB 1 ＝B，AB，BB 1
⊂平面 AA 1 B 1 B，所以 ON⊥平面 AA 1 B 1 B. 又 ON⊂平面 A 1 BN，所以平面 A 1 BN⊥平面 AA 1 B 1 B.
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