拓展课 竖直面内圆周运动的轻绳、轻杆模型
拓展点一 竖直面内圆周运动的轻绳模型 1.模型概述 无支撑物(如球与绳连接，沿内轨道运动的“过山车”等)的竖直面内的圆周运动，称为“轻绳模型”。
2.模型特点
轻绳模型 情景图示
弹力特征 弹力可能向下，也可能等于零 受力示意图
力学方程 mg＋F T ＝m v2r 临界特征 F T ＝0，即 mg＝m v2r，得 v＝ gr v＝ gr的意义 物体能否过最高点的临界点 [试题案例] [例 1] 一细绳与水桶相连，水桶中装有水，水桶与细绳一起在竖直平面内做圆周运动，如图所示，水的质量 m＝0.5 kg，水的重心到转轴的距离 l＝50 cm。(g 取10 m/s 2 )
(1)若在最高点水不流出来，求桶的最小速率；恰好不流出满足：mg＝ mv2R
(2)若在最高点水桶的速率 v＝3 m/s，求水对桶底的压力大小。
解析 分别以水桶和桶中的水为研究对象，对它们进行受力分析，找出它们做圆周运动所需向心力的来源，根据牛顿运动定律建立方程求解。
(1)以水桶中的水为研究对象，在最高点恰好不流出来，说明水的重力恰好提供其做圆周运动所需的向心力，此时桶的速率最小。
此时有 mg＝m v20l，则所求的最小速率为 v 0 ＝ gl≈2.24 m/s。
(2)此时桶底对水有一向下的压力，设为 F N ，则由牛顿第二定律有 F N ＋mg＝m v2l， 代入数据可得 F N ＝4 N。
由牛顿第三定律，水对桶底的压力大小为 F N ′＝4 N。
答案 (1)2.24 m/s (2)4 N [针对训练 1] 如图所示，某公园里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客在座椅里面头朝下，身体颠倒，若轨道半径为 R，要使体重为 mg 的乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于自身的重力，则过山车在最高点时的速度大小为(
)
A.0
B. gR
C. 2gR
D. 3gR 解析 由题意知 F＋mg＝2mg＝m v2R ，故速度大小 v＝ 2gR，选项 C 正确。
答案 C 拓展点二 竖直面内圆周运动的轻杆模型 1.模型概述 有支撑物(如球与杆连接，小球在弯管内运动等)的竖直面内的圆周运动，称为“轻杆模型”。
2.模型特点
轻杆模型
情景图示
弹力特征 弹力可能向下，可能向上，也可能等于零 受力示意图
力学方程 mg±F N ＝m v2r 临界特征 v＝0，即 F 向 ＝0，此时 F N ＝mg v＝ gr的意义 F N 表现为拉力还是支持力的临界点 [试题案例] [例 2] 如图所示，长为 L＝0.5 m 的轻杆 OA 绕 O 点在竖直面内做匀速圆周 轻杆模型 运动，A 端连着一个质量为 m＝2 kg 的小球，g 取 10 m/s 2 。
(1)如果在最低点时小球的速度为 3 m/s，杆对小球的拉力为多大？ (2)如果在最高点杆对小球的支持力为 4 N，杆旋转的角速度为多大？ 解析 (1)小球在最低点受力如图甲所示，合力提供向心力，则 F N1 －mg＝m v2L ，解得 F N1 ＝56 N。
(2)小球在最高点受力如图乙所示，则
mg－F N2 ＝mω 2 L， 解得 ω＝4 rad/s。
答案 (1)56 N (2)4 rad/s 方法总结 解答竖直面内圆周运动问题的基本思路 首先要分清是绳模型还是杆模型，其次明确两种模型到达最高点的临界条件。另外，对于杆约束物体运动到最高点时的弹力方向可先假设，然后根据计算结果的正负确定实际方向。
[针对训练 2] 如图所示，质量为 2m，且内壁光滑的导管弯成圆周轨道竖直放置，质量为 m 的小球，在管内滚动，当小球运动到最高点时，导管刚好要离开地面，此时小球的速度多大？(轨道半径为 R，重力加速度为 g)
解析 小球运动到最高点时，导管刚好要离开地面，说明此时小球对导管的作用力竖直向上，大小为 F N ＝2mg
分析小球受力如图所示 则有 F N ′＋mg＝m v2R ， 由牛顿第三定律知，F N ′＝F N
可得 v＝ 3gR 答案 3gR
1.(多选)如图所示，小球 m 在竖直放置的光滑的圆形管道内做圆周运动，下列说法正确的是(
)
A.小球通过最高点时的最小速度是 Rg B.小球通过最高点时的最小速度为零 C.小球在水平线 ab 以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定无作用力 D.小球在水平线 ab 以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定有作用力 解析 圆环外侧、内侧都可以对小球提供弹力，小球在水平线 ab 以下时，必须有指向圆心的力提供向心力，就是外侧管壁对小球的作用力，故选项 B、D 正确。
答案 BD 2.如图所示为模拟过山车的实验装置，小球从左侧的最高点释放后能够通过竖直圆轨道而到达右侧。若竖直圆轨道的半径为 R，重力加速度为 g，要使小球能顺利通过竖直圆轨道，则小球通过竖直圆轨道的最高点时的角速度最小为(
)
A. gR
B.2 gR
C.gR
D.Rg
解析 小球能通过竖直圆轨道的最高点的临界状态为重力提供向心力，即 mg＝mω 2 R，解得 ω＝gR ，选项 C 正确。
答案 C 3.如图所示，质量为 m 的小球固定在杆的一端，在竖直面内绕杆的另一端 O 做圆周运动。当小球运动到最高点时，瞬时速度为 v＝12 Lg，L 是球心到 O 点的距离，则球对杆的作用力是(
)
A. 12 mg 的拉力
B. 12 mg 的压力
C.零
D. 32 mg 的压力 解析 当重力充当向心力时，球对杆的作用力为零，所以 mg＝ mv2L，解得 v＝ gL，所以12 gL＜ gL时，杆对球是支持力，即 mg－F N ＝mv 2L ，解得 F N ＝12 mg，由牛顿第三定律知球对杆是压力，故选项 B 正确。
答案 B 4.长 L＝0.5 m 的轻杆，其一端连接着一个零件 A，A 的质量 m＝2 kg。现让 A 在竖直平面内绕 O 点做匀速圆周运动，如图所示。在 A 通过最高点时，(g＝10 m/s 2 )求下列两种情况下 A 对杆的作用力大小：
(1)A 的速率为 1 m/s； (2)A 的速率为 4 m/s。
解析 以 A 为研究对象，设其受到杆的拉力为 F，则有 mg＋F＝m v2L 。
(1)代入数据 v 1 ＝1 m/s，可得 F 1 ＝m v 2 1L －g ＝2× 1 20.5 －10 N＝－16 N，即 A 受到杆的支持力为 16 N。根据牛顿第三定律可得 A 对杆的作用力为压力，大小为 16 N。
(2)代入数据 v 2 ＝4 m/s，可得 F 2 ＝m v 2 2L －g ＝2× 4 20.5 －10 N＝44 N，即 A 受到杆的拉力为 44 N。根据牛顿第三定律可得 A 对杆的作用力为拉力，大小为 44 N。
答案 (1)16 N (2)44 N 5.如图是小型电动打夯机的结构示意图，电动机带动质量为 m＝50 kg 的重锤(重锤可视为质点)绕转轴 O 匀速运动，重锤转动半径为 R＝0.5 m，电动机连同打夯机底座的质量为 M＝25 kg，重锤和转轴 O 之间连接杆的质量可以忽略不计，重力加速度 g 取 10 m/s 2 。求：
(1)重锤转动的角速度为多大时，才能使打夯机底座刚好离开地面？ (2)若重锤以上述的角速度转动，当打夯机的重锤通过最低位置时，打夯机对地面的压力为多大？ 解析 (1)当拉力大小等于电动机连同打夯机底座的重力时，才能使打夯机底座刚好离开地面 有 F T ＝Mg 对重锤有 mg＋F T ＝mω 2 R 解得 ω＝（M＋m）gmR＝ 30 rad/s (2)在最低点，对重锤有 F T ′－mg＝mω 2 R 则 F T ′＝Mg＋2mg 对打夯机有 F N ＝F T ′＋Mg＝2(M＋m)g＝1 500 N。
由牛顿第三定律得 F N ′＝F N ＝1 500 N 答案 (1) 30 rad/s (2)1 500 N
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