课时跟踪检测( ( 十二) )
圆周运动
1 ．( 多选)(2018· 江苏高考) 火车以 60 m/s 的速率转过一段弯道 ， 某乘客发现放在桌面上在 的指南针在 10 s 内匀速转过了约 10° 。在此 10 s 时间内 ， 火车(
)
A． ．为 运动路程为 600 m
B． ． 加速度为零
C． ．为 角速度约为 1 rad/s
D． ．为 转弯半径约为 3.4 km 解析：选 选 AD
由 由 s ＝vt 知 ，s ＝600 m， ，故 故 A 正确。火车在做匀速圆周运动 ， 加速度不为零 ，故 故 B 错误。由 10 s 内转过 10°知 知 ， 角速度 ω ＝10°360° ××2π π10
rad/s＝ ＝π180
rad/s ≈0.017 rad/s， ，故 故 C 错误。由 v ＝rω 知， ，r ＝vω
＝60π180
m ≈3.4 km， ，故 故 D 正确。
2 ．(2020· 全国卷Ⅰ Ⅰ) 如图 ， 一同学表演荡秋千。已知秋千的两根绳长均为 为 10 m， ，为 该同学和秋千踏板的总质量约为 50 kg 。绳的质量忽略不计。当该同学荡到秋千支架的正下方时 ，为 速度大小为 8 m/s， ， 此时每根绳子平均承受的拉力约为(
) A ．200 N
B ．400 N
C ．600 N
D ．800 N 解析：选 选 B
该同学身高相对于秋千的绳长可忽略不计 ， 可以把该同学看成质点。当该同学荡到秋千支架的正下方时， ，有 由牛顿第二定律有 2F －mg ＝ mv2L ， ，得 代入数据解得 F ＝410 N， ，项 选项 B 正确。
3. 游乐园的小型 “ 摩天轮 ”的 上对称站着质量相等的 8 位同学 ， 如图所示， ， “ 摩天轮 ” 在竖直平面内逆时针匀速转动 ， 某时刻甲正好在最高点 ， 乙处于最低点。则此时甲与乙(
) A． ． 线 速度相同
B． ． 加速度相同
C． ． 所受合外力大小相等
D． ． “ 摩天轮 ” 对他们作用力大小相等 解析：选 选 C
由于 “ 摩天轮 ” 在竖直平面内逆时针匀速转动 ， 所以甲与乙线速度大小
相同 ， 但甲线速度方向向左 ， 乙线速度方向向右 ，故 故 A 错误；根据 a n ＝ v2r 可知 ， 甲与乙加速度大小相同 ， 但甲的加速度方向竖直向下 ， 乙的加速度方向竖直向上 ，故 故 B 错误；根据F n ＝ ＝ma n 可知 ， 甲与乙所受合外力大小相等 ，故 故 C 正确；对甲有 mg －F N1 ＝ ＝m v2r ， 对乙有F N2 － －mg ＝m v2r ， 可知 “ 摩天轮 ” 对他们作用力大小不相等 ，故 故 D 错误。
4.(2021· 山东烟台期末) 质量为m 的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动 ， 如图所示 ，是 经过最高点而不脱离轨道的速度临界值是 v ， 当小球以 以 2v 的速度经过最高点时 ， 对轨道的压力值是(
) A ．0
B ．mg
C ．3mg
D ．5mg 解析：选 选 C
小球恰好通过最高点时 ， 只受到重力作用 ， 重力完全充当向心力 ， 则有mg ＝m v2R
，，为 当小球到达最高点速率为 2v 时 时 ，有 应有 F ＋mg ＝m （（2v）
）
2R ， ， 联立解得小球受到为 轨道的支持力大小为 F ＝3mg， ， 根据牛顿第三定律可知 ， 小球对轨为 道的压力为 3mg， ，故 故 C项正确， ，A 、B 、D 错误。
5. 如图所示 ，甲、乙为两辆完全一样的电动玩具汽车，以相同且不变的角速度在水平地面上做匀速圆周运动。甲运动的半径小于乙运动的半径，下列说法正确的是(
) A． ． 甲的线速度大于乙的线速度
B． ． 甲、乙两辆车的摩擦力相同
C． ． 若角速度增大 ， 乙先发生侧滑
D． ． 甲的加速度大于乙的加速度 解析：选 选 C
甲、乙两车以相同且不变的角速度在水平地面上做匀速圆周运动 ， 甲运动的半径小于乙运动的半径 ，据 根据 v ＝ωr 可得甲的线速度小于乙的线速度 ，故 故 A 错误；甲、乙两车以相同且 不变的角速度在水 平地面上做匀速圆周运动 ，静摩擦力提供向心力，则有F f ＝mω 2 r ， 由于甲运动的半径小于乙运动的半径 ， 所以甲车受到的摩擦力小于乙车受到的摩擦力 ，故 故 B 错误；车辆刚好发生侧滑时 ， 则有 μmg ＝mω 2 r ， 解得 ω＝ ＝ μ gr ， 运动的半径越大 ， 临界的角速度越小 ， 越容易发生侧滑 ， 所以若角速度增大时 ， 乙先发生侧滑 ，故 故 C 正确；甲运动的半径小于乙运动的半径 ，据 根据 a n ＝ω 2 r 可知 ， 甲的加速度小于乙的加速度 ，故 故 D 错误。
6 ．( 多选) 如图所示 ， 一可视为光滑的玻璃球 ， 设其可在碗内不同的水平面上做匀速圆周运动 ， 下列说法正确的是(
) A． ． 玻璃球越靠近碗口其对碗的压力越大
B． ． 玻璃球越靠近碗口其向心加速度越小
C． ． 玻璃球越靠近碗口其线速度一定越大
D． ． 玻璃球的重力与碗内壁对它的弹力的合力提供玻璃球做圆周运动所需的向心力 解析：选 选 ACD
以玻璃球为研究对 象 ，受力情况如图所示，可知碗内壁对力 玻璃球的支持力 F N ＝mgcos θ
， 玻璃球越靠近碗口 ，则 则 θ 越大 ， 故玻璃球对碗的压力越大 ，项 选项 A 正确；玻璃球受重力 mg 和碗内壁的支持力 F N ， 由两力合力提供向心力 ，得 根据牛顿第二定律得 mg tan θ ＝ma n ， 玻璃球越靠近碗口 ，则 则 θ 越大 ， 则向心加速度越大， ，项 选项 B 错误， ，D 正确；由 mg tan θ ＝m v2r 可知， ，口 玻璃球越靠近碗口 r 越大 ，度 则线速度 v 也大 ，项 选项 C 正确。
7.( 多选)(2020· 山东聊城模拟) 如图所示， ，A 、B 、C 三个物体放在旋转圆台上 ， 它们与圆台之间的动摩擦因数均为 μ ，A 的质量为 2m ，B、 、C 的质量均为 m ，A 、B 离轴心距离为 R ，C 离轴心距离为 2R， ， 则当圆台旋转时(设 设 A 、B 、C 都没有滑动)(
) A． ．体 物体 C 的向心加速度最大
B． ．体 物体 B 受到的静摩擦力最大
C． ． ω ＝ ＝ μ g2R
是是 C 开始滑动的临界角速度
D． ． 当圆台转速增加 时，B 比 比 A 先滑动 解析：选 选 AC
物体绕轴做匀速圆周运动 ， 角速度相等 ，有 有 a n ＝ ω 2 r， ，体 物体 C 的转动半径最大 ， 故向心加速度最大， ，A 正确；物体绕轴做匀速圆周运动 ， 角速度相等 ， 静摩擦力提供向心力 ，有 有 F f ＝mω 2 r ， 故受到的静摩擦力最小， ，B 错误；当 C 物体恰好滑动时 ， 静摩擦力达到最大 ，有 有 μmg＝ ＝m·2Rω 2 ， 解得 ω＝ ＝ μ g2R
，， 故临界角速度为 μ g2R
，C 正确；由 由 C 项分析可知 ， 转动半径越大的临 界角速度越小 ， 越容易滑动 ， 与物体的质量无关 ， 故体 物体 C 先滑动 ，体 物体 A 、B 将一起后滑动， ，D 错误。
8. 水平转台上有质量相等的 A 、B 两小物块 ， 两小物块间用沿半径
方向的细线相连 ， 两物块始终相对转台静止 ， 其位置如图所示( 俯视图)， ， 两小物块与转台间为 的最大静摩擦力均为 F f0 ，力 则两小物块所受摩擦力 F fA 、 、F fB 随转台角速度的平方(ω 2 ) 的变化关 系正确的是(
)
解析：选 选 B
当转 台的角速度比较小时 ，A 、B 物块做圆周运动的向心力由静摩擦力提供 ， 随着角速度增大 ，由 由 F n ＝mω 2 r 知向心力增大 ，时 此时 A 、B 物块所受的摩擦力与 ω 2 成于 正比。由于 B 物块所受的转动半径大于 A 物块的转动半径， ，B 物块的静摩擦力先达到最大静摩擦力 ， 此后绳子出现张力 ，B 的物块所受的摩擦力不变；而 A 的摩擦力继续增大 ， 但不与 ω 2 故 成正比了。故 B 正确， ，C 、D 错误。
9.( 多选)(2020· 山东烟台期中) 如图所示 ， 水平圆盘可以绕竖直转轴OO′ 转动， ， 在距转轴不同位置处通过相同长度的细绳悬挂两个质量相同体 的物体 A 、B， ， 不考虑空气阻力的影响 ，绕 当圆盘绕 OO′ 轴匀速转动达到稳定状态时 ， 下列说法正确的是(
) A ．A 比 比 B 的线速度小
B ．A 与 与 B 的向心加速度大小相等
C． ．对 细绳对 B 的拉力大于细绳对 A 的拉力
D． ．挂 悬挂 A 与 与 B 的 的 细绳与竖直方向的夹角相等 解析：选 选 AC
A 、B 共轴转动 ， 角速度相等 ，A 转动的半径小于 B， ，据 根据 v＝rω 知 ，A 比 比 B 的线速度小 ，故 故 A 正确；A 、B 转动的半径不等 ，据 根据 a n ＝rω 2知 ， 则向心加速度大小不等 ，故 故 B 错误；对任一物体进行受力分析如图 ， 由绳子的拉力与重力的合力提供向心力 ，有 有 mg tan θ ＝mω 2 r ，得 得 tan θ ＝ r ω 2g ，于 由于 B 转动的半径较大 ，挂 则悬挂 B 的细绳与竖直方向的夹角较大对 ，根据平行四边形定则知，细绳对 B的拉力较大 ，故 故 C 正确， ，D 错误。
10． ． 如图甲所示， ， 轻杆的一端固定一小球( 可视为质点)， ，轴 另一端套在光滑的水平轴 O 上 上 ，
O 轴的正上方有一速度传感器 ，小 可以测量小球通过最高点时的速度大小 v ；O 轴处有一力传感器 ，时 可以测量小球通过最高点时 O 轴受到的杆的作用力 F， ，为 若取竖直向下为 F 的正方向 ，在最低点时给小球不同的初速度 ，的 得到的 F v 2 (v 为小球在最高点处的速度) 图象如图乙所示 ，取 取 g ＝10 m/s 2 ，则(
)
A ．O 轴到小球的距离为 0.5 m
B． ．为 小球的质量为 3 kg
C． ．为 小球恰好通过最高点时的速度大小为 5 m/s
D． ．为 小球在最低点的初速度大小为 15
m/s 时 时 ， 通过最高点时杆不受球的作用力 解析：选 选 A
小球在最高点时 ， 重力和杆的作用力的合力提供向心力 ，若 若 v ＝0， ，则 则 F＝ ＝mg ＝3 N， ，量 解得小球质量 m ＝0.3 kg， ，若 若 F ＝0， ，则 则 mg ＝m v2R
，得 代入数据解得 R ＝0.5 m， ，项 选项 A 正确， ，B 错误；杆模型中 ， 在最高点 只要小球速度大于等于零 ， 小球即可在竖直面内做圆周运动 ，项 选项 C 错误；设小球在最低点的初速度为 v 0 ，为 小球能上升的最大高度为 h ，根据机械能守恒定律得 12
mv 02 ＝＝mgh， ，当 当 v 0 ＝ ＝ 15
m/s 时 时 ，h ＝0.75 m<2R， ， 小球不能到达最高点 ，项 选项 D 错误。
11. 如图所示 ， 两个 34
竖直圆弧轨道固定在同一水平地面上 ，径 半径 R 相同 ， 左侧轨道由金属凹槽制成 ， 右侧轨道由金属圆管制成 ，球 均可视为光滑。在两轨道右侧的正上方分别将金属小球 A 和 和 B 由静止释放 ，小球距离地为 面的高度分别为 h A 和 和 h B ， 下列说法正确的是(
) A. 若使小球沿轨道运动并且到达最高点 ，度 两球释放的最小高度 h A <h B
B． ． 若使小球沿轨道运动并且从最高点飞出 ， 则在轨道最低点， ，A 球受到的支持力最小为 值为 6mg
C． ． 若使小球沿轨道运动并且从最高点飞出 ， 则在轨道最低点， ，B 球受到的支持力最小为 值为 6mg
D． ．整 适当调整 h A 和 和 h B ， 可使两球从轨道最高点飞出后 ， 均恰好落在轨道右端口处 解析：选 选 B
小球 A 恰好能到 A 轨道的最高点时 ，由 由 mg ＝m vA 2R ，得 解得 v A ＝ ＝ gR ，
根据机械能守恒得 定律得 mg(h A － －2R)＝ ＝ 12
mv A2 ，得 解得 h A ＝ 52
R，，球 小球 B 恰好能到 B 轨道的最高点时 ，度 在最高点的速度 v B ＝ ＝0， ，得 根据机械能守恒定律得 h B ＝ ＝2R， ，故 故 A 错误；小球在最低点受到的支持力与重力的合力提供向心力， ，则 则 F N － －mg ＝m v2R
，， 可知小球在最低点的速度越小受到的支持力越小， ， 根据机械能守恒定律可得， ，球 当小球 A 开始时的高度是 52
R 时 ，球 小球 A在最低点的速度最小 ， 为 12
mv Amin2 ＝mgh A ， 联立解得 得 F NAmin ＝ ＝6mg， ，故 故 B 正确；根据机械能守恒定律可得球 ，当小球 B 开始时的高度是 h B ＝ ＝2R 时 时， ，球 小球 B 在最低点的速度最小， ， 为 12
mv Bmin 2 ＝ ＝mgh B ，得 解得 F NBmin ＝ ＝5mg， ，故 故 C 错误；小球 A 从最高点飞出后下落 R 高度时 ， 水为 平位移的最小值为 x A ＝v A
2Rg ＝ ＝ gR · 2Rg ＝ ＝ 2R >R， ， 小球落在轨道右端口外侧 ，整 而适当调整 h B ， ，B 可以落在轨道右端口处 ，故 故 D 错误。
12 ．(2020· 山东济南一中期中) 如图所示 ，为 一个质量为 0.6 kg 的 的从 小球以某一初速度从 P 点水平抛出 ，道 恰好从光滑圆弧轨道 ABC 的 的 A点的切线方向进入圆弧轨道( 不计空气阻力 ， 进入圆弧时无机械能损失 失) 。已知圆弧的半径 R ＝0.3 m， ， θ ＝ ＝60°， ，达 小球到达 A 点时的速度v A ＝ ＝4
m/s 。g 取 取 10 m/s 2 ， 求：
(1) 小球做平抛运动的初速度 v 0 ； ； (2) 小球到达圆弧最高点 C 时对 轨道的压力。
解析：(1) 小球到 A 点的速度如图所示， ，知 由图可知 v 0 ＝v x ＝v A
cos θ ＝ ＝4 ×cos 60° ＝2 m/s ， (2)取 取 A 点为重力势能的零点 ， 由机械能守恒定律得
12
mv A2 ＝ 12
mv C2 ＋＋mg(R ＋R cos θ )， ，得 代入数据得 v C ＝ ＝ 7
m/s
达 小球到达 C 点时 ， 轨道对小球的弹 力与小球所受重力的合力提供向心力有 ，有 F NC ＋ ＋mg＝ ＝m vC 2R
得 代入数据得 F NC ＝ ＝8 N
力 由牛顿第三定律得小球对轨道的压力 F NC ′ ＝F NC ＝ ＝8 N， ， 方向竖直向上。
答案：(1)2 m/s
(2)8 N 13. 如图所示 ，为 餐桌中心是一个半径为 r ＝1.5 m 的圆盘 ， 圆盘可绕中心轴转动 ， 近似 认为圆盘与餐桌在同一 水平面内且两者之间的间隙可忽略
不计。已知放置在圆盘边缘的小物体与圆盘间的动摩擦因数为 μ 1 ＝ ＝0.6， ， 与餐桌间的动摩擦因数为 μ 2 ＝ ＝0.225， ，为 餐桌离地面的高度为 h ＝0.8 m 。设小物体与圆盘以及餐桌之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力 ，度 重力加速度 g 取 取 10 m/s 2 。
。
(1) 为使物体不滑到餐桌上 ， 圆盘的角速度 ω 的最大值为多少？ (2) 缓慢增大圆盘的角速度 ， 物体从圆盘上甩出 ， 为使物体不滑落到地面上 ， 餐桌半径R 的最小值为多大？ (3) 若餐桌的半径 R′＝ ＝ 2 r， ， 则在圆盘 角速度缓慢增大 时，物体从圆盘上被甩出后滑落离 到地面上的位置到从圆盘甩出点的水平距离 L 为多少？ 解析：(1) 由题意可得 ， 当小物体在圆盘上随圆盘一起转动时 ， 圆盘对小物体的静摩擦力提供向心力 ， 所以随着圆盘转速的增大 ， 小物体受到的静摩擦力增大。当静摩擦力最大时 ， 小物体即将滑落 ， 此时圆盘的角速度达到最大 ，有 有 F fm ＝μ 1 mg ，F fm ＝mω 2 r
联立两式可得 ω＝ ＝ μ 1 gr ＝2 rad/s。
。
(2) 由题意可得 ， 当物体滑到餐桌边缘时速度恰好减为零 ， 对应的餐桌半径取最小值。为 设物体在餐桌上滑动的位移为 s， ， 物体在餐为 桌上做匀减速运动的加速度大小为 a， ，则 则 a ＝ F fm
，F f ＝μ 2 mg ，得 得 a ＝μ 2 g...
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