题 专题 05 三角函数
【专题综述与核心素养要求】
三角函数是一类最典型的周期函数.在高中数学课程中，《课程标准（2017 年版）把三角函数内容安排在必修课程“主题二函数”中，把“函数概念与性质”“幂函数、指数函数、对数函数”“三角函数”“函数应用”视为一个整体，同时提出通过三角函数内容的学习使学生“重点在数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算和数学建模等素养上得到提升”.因此，在教科书的编写中应遵循“注重教科书的整体结构”“体现内容之间的有机衔接”“凸显内容和数学学科核心素养的融合”等原则，帮助学生从整体上把握三角函数的概念、性质和应用，理解“三角函数”与“函数概念与性质”以及“幂函数、指数函数、对数函数”等内容的联系，掌握利用三角函数构建数学模型的方法和技能，通过三角函数的定义、性质和应用等内容的学习，提升数学学科核心素养. 【重要知识点与题型快速预览】
【知识点精解精析】
基础知识点 一 ：
同角三角函数的基本关系
（1）同角三角函数的基本关系
基本关系式 语言描述 平方关系
同一个角 的正弦、余弦的平方和等于1 商数关系
同一个角 的正弦、余弦的商等于角 的正切 温馨提示 ①注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角“在使函数有意义的前提下”关系式都成立，如 成立，但是 就不一定成立． ② 是 的简写，读作“ 的平方”，不能将 写成 ，前者是 的正弦的平方，后者是 的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写． ③注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的， 对一切 恒成立，而 对 成立． 基础知识点二：
特殊角的三角函数值表
角
弧度 0
正弦 0
1
0
余弦 1
0
0 正切 0
1
不存在
0 不存在
基础知识点三：
三角函数的诱导公式
公式一 ， ， （其中 ）
公式二 ， ，
公式三 ， ，
公式四 ， ，
公式五 ，
公式六 ，
基础知识点四：
正弦函数和余弦函数的图象与性质
函数
图象
定义域
值域
最值 时， ； 时，
时， ； 时，
单调性 在
上为增函数； 在
上为增函数； 在
上为减函数
在
上为减函数 奇偶性 奇函数 偶函数 最小正周期
对称性 对称轴：
， ； 对称中心：
，
对称轴：
， ； 对称中心：
，
基础知识点五：
由 的图象得到 （其中 ， ）的图象的过程
先画出函数 的图象，再把正弦曲线向左（右）平移 个单位长度，得到 的图象，然后使曲线上各点的横坐标变为原来的 ，得到函数 的图象，最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的 倍，得到函数 的图象． 这一过程的步骤如下：
． 应注意还有一种途径：
． 这两个途径的关键差别在“相位变换”这一步骤上，其实质是要看自变量 的变化情况．对于第一种途径，在相位变换这一步中是由 变到 ，故应为“将函数 图象上所有点向左（当 时）或向右（当 时）平移 个单位长度得到函数 的图象”；对于第二种途径，在相位变换这一步中是由 到 ，即 ，实质是 变化到 ，故应为“将函数 的图象上所有点向左（当 时）或向右（当 ）平移 个单位长度得到函数 图象”．两者平移的方向相同，但平移的单位长度不同，这是很容易出错的地方． 温馨提示 ① ， 决定“形变”， 决定“位变”． ②第一种途径是先平移后伸缩，第二种途径是先伸缩后平移，且两种途径平移的方向相同，但平移的单位长度不同．特别注意，不论是相位变换（ ）还是周期变换（ ）都是针对自变量“ ”而言的，变换时要注意顺序． 基础知识点六：
两角和与差的余弦公式
，简记作 ． ，简记作 ． 上述两个公式的记忆口诀：“余余正正，符号相反”． 基础知识点七：
两角和与差的正弦公式
，简记作 ． ，简记作 ． 上述两个公式的记忆口诀：“正余余正，符号相同”． 基础知识点八：
两角和与差的正切公式
，简记作 ．
，简记作 ． 基础知识点九：
二倍角的正弦、余弦、正切公式
，
，
．
基础知识点十：
化简三角函数式时常用的变换技巧
（1）角的代换 将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式，像这样的代换方法就是角的代换． 常见的配角技巧：
； ； ； ； ； ． （2）公式的逆用和变形 公式的顺用是常见的，但逆用和变形往往容易被忽视．公式的逆用和变形不仅能开拓思路，而且能培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形，才能熟练掌握公式的应用． ①逆用：
． ②角变换后使用：
． ③移项使用：
； ． ④公式的变形：
i. ． ii. ． iii. ． iv. ． v.升幂公式：
； ． vi.降幂公式：
； ． ⑤“1”的变形 ， ， ， ． （3）辅助角公式 对于形如 的式子，可变形如下：
． 由于上式中的 与 的平方和为 1， 故可记 ， ， 则原式 ． 由此有如下结论：
，其中 由 ， 来确定． 通常称式子 为辅助角公式，它可以将含多个三角式的函数问题转化为形如 的函数问题． 特别地， ． 【必知必会题型深度讲解】
必知必会 题型一 ：
利用诱导公式化简三角函数式
利用诱导公式可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，即
口诀是“负化正，大化小，化到锐角再查表”． 【典型例题 1 1 】
（1）求17 16 4cos sin tan6 3 3 的值； （2）化简3sin(π- )cos( π )tan( π)2cos( π)sin( 2π) 【答案】（1）3 ；（2）1. 【解析】
（1）17 5cos cos 26 6 5 3cos6 2 ， 16 16sin sin sin 53 3 3 3sin3 2 ， 4 4tan tan tan 33 3 3 ，
所以原式 3 33 32 2 . （2）原式3sin2sin sin3cos2cos sin ＝sin sin sin 22( cos ) sin cos 22 sin sin sin2( cos ) sin cos2 sin sin cos( cos ) sin ( sin ) 1 . 【典型例题 2 2 】
化简下列各式：
（1） tan 2 sin 2 cos 6cos sin 5 ； （2）1 2sin290 cos430sin250 cos790 . 【答案】（1）－tanα；（2）－1. 【解析】
（1）原式＝ sin 2sin coscos 2cos π α sin π α sin sin coscos cos sin tan
（2）原式＝) ) 1 2sin(360 70 cos(360 70sin(180 70 cos(720 70 ) ) ＝1 2sin70 cos70sin70 cos70 ＝| | cos70 sin70cos70 sin70 ＝sin70 cos70cos70 sin70 ＝－1.
【典 型例题 3 3 】
已知sin( ) 3sin( )2( )2cos( ) cos( )2f . （1）化简 ( ) f ；
（2）已知 tan 3 ，求 ( ) f 的值. 【答案】（1）cos 3sin( )2sin cosf ；（2）-2. 【解析】
（1)sin( ) 3sin( )cos 3sin2( )2sin cos2cos( ) cos( )2f ; （2)由 tan3 ，可得cos 3sin 1 3tan 10( ) 22sin cos 1 2tan 5f . 必知必会 题型 二：
由部分图象确定函数解析式
确定 的解析式的步骤：
（1）求 ， ．先确定函数的最大值 和最小值 ，则 ， ． （2）求 ．相邻的最高点与最低点横坐标之差的绝对值为 ；相邻的两个最高点（或最低点）之间的距离为，再根据 确定 ． （3）求 ．利用峰点、谷点或零点列出关于 的方程，结合 的范围解得 的值，所列方程如下：
峰点：
；谷点：
． 利用零点时，要区分该零点是升零点，还是降零点． 升零点（图象上升时与 轴的交点）：
； 降零点（图象下降时与 轴的交点）：
． （以上 ）
【典型例题 1 1 】
已知函数( ) sin( ) 0, 0,| |2f x A x A 的部分图象如下图所示，则函数( ) f x 的解析式________.
【答案】
( ) 2sin(2 )6f x x
【解析】
由函数图象知 f x 的最大值为 2 ，所以 2 A ； 又54 12 6 4T ，所以 T ，则22T ， 将 ,26 代入得 2 26 2k ，解得：
26k ， 又 | |2 ，所以6π ，故 ( ) 2sin(2 )6f x x . 故答案为：( ) 2sin(2 )6f x x 【典型例题 2 2 】
如图所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度 y （单位：
m ）在某天 24 小时内的变化情况，则水面高度 y 关于从夜间 0时开始的时间 x 的函数关系式为________．
【答案】
6sin (0 24)6y x x
【解析】
由图设sin( ) y A x (0 24) x ． 由图象可知 6 A ， 12 T ，所以26 T ， 所以 6sin( )(0 24)6y x x
将 (9,6) 代入函数的解析式得36 6sin( )2 ， 所以3sin( ) 1 cos 12 ，
所以 ． 所以函数关系式为 6sin 6sin (0 24)6 6y x x x ． 故答案为：6sin (0 24)6y x x 【典型例题 3 3 】
已知函数sin( ) y A x B 的一部分图像如图所示，如果 0, 0,| |2A ，那么以下结论：① 4 A ；② 1 ；③6π ；④ 4 B = 中，正确的是____________________.
【答案】③ 【解析】
由图象可得函数sin( ) y A x B 的最大值、最小值分别为 4,0 ，
0, 4, 2, 2 A B A B A B ，所以①④不正确； 设函数的周期为 T ，由图象上两点5( ,4),( ,2)6 12 ，
得5 2, , 24 12 6 4TT ，所以②不正确； 6x 时函数取得最大值， 2 2 ( )6 2k k Z ， 2 ( ),6 6| | ,2k k Z ，所以③正确. 故答案为：③ 必知必会 题型 三：
求三角函数的单调区间
求函数 （或 ）的单调区间时，一般先将 的系数化为正值（通过诱导公式转化），再把“ ”视为一个整体，结合函数 （或 ）的单调性找到“ ”对应的条件，通过解不等式可得单调区间． 【典型例题 1 1 】
已知函数 2sin ( 0,0 ) f x x 最小正周期为 ，图象过点, 24 . （1）求函数 f x 解析式 （2）求函数 f x 的单调递增区间. 【答案】（1）
( ) 2sin(2 )4f x x ；（2）
3,8 8k k k Z . 【解析】
（1）由已知得2 ，解得 2 .
将点 , 24 代入解析式， 2 2sin 24 ，可知2cos2 ， 由 0 可知4 ，于是 2sin 24f x x .
（2）令 2 2 22 4 2k x k k Z
解得 38 8k x k k Z ，
于是函数 f x的单调递增区间为 3,8 8k k k Z . 【典型例题 2 2 】
已知函数 sin f x x π02, ，它的一个对称中心到最近的对称轴之间的距离为π4，且函数 f x 图象的一个对称中心为π,06 . （1）求 f x 的解析式； （2）确定 f x 在π0,2 上的单调递增区间. 【答案】（1）
πsin 23f x x ；（2）π0,12 . 【解析】
（1）设函数 f x 的周期为 T ，由题设得ππ 24 4TT ， 又∵π,06 为 f x 图像的一个对称中心， ∴π π0 sin 06 3f ， 又∵π2 ，∴π3 ，故 πsin 23f x x ； （2）由π π π2 π 2 2 π2 3 2k x k 5π ππ π12 12k x k ， k Z ， ∴ f x 在5π ππ , π12 12k k k Z 上递增， 当 0 k 时， f x 在5π π,12 12 递增，由5π π π π, 0, 0,12 12 2 12 ，
∴ f x在π0,2 上的单调递增区间为π0,12 ． 【典型例题 3 3 】
已知函数 5πsin 26f x x ． （1）求 f x 的最大值及取得最大值时 x 的值； （2）求 f x 的单调递减区间． 【答案】（1）1； ππ6x k k Z ；（2）π ππ , π6 3k k轾犏 - +犏臌， kZ
【解析】
（1）令5π π2 2 π6 2x k ，即 ππ6x k k Z 时， f x 取最大值 1． （2）由 π 5π 3π2 π+ 2 2 π2 6 2k x k k Z
得 f x的减区间为π ππ , π6 3k k轾犏 - +犏臌， kZ
必知必会 题型 四：
函数 的图象的对称问题
（1）函数 的图象关于直线 （其中 满足 ， ）对称，也就是说，过波峰或波谷处且与 轴垂直的直线为其对称轴． （2）函数 的图象关于点 （其中 满足 ， ）中心对称，也就是说，函数图象与 轴的交点（平衡位置点）是其对称中心． 【典型例题 1 1 】
求函数3sin 23y x 的对称轴和对称中心. 【答案】对称轴为 ,2 12kx k Z ；对称中心为 ,0 ,2 6 kk Z 【解析】
由 23 2x k ，得 ,2 12kx k Z ， 所以对称轴为 ,2 12kx k Z . 由 23x k ，得 ,2 6kx k Z ， 所以对称中心为,0 ,2 6kk Z . 【典型例题 2 2 】
已知函数( ) sin cos f x a x b x （其中 0, 0, 0 a b ）， xR ．它的最小正周期为 ， 34 f，且( ) f x 的最大值为 2． （1）求( ) f x 的解析式； （2）写出函数( ) f x 的单调递减区间、对称轴和对称中心． 【答案】（1）
( ) 2sin 26f x x ；（2）递减区间2, ,6 3k k k Z ；对称轴为直线,2 6kx k Z ；对称中心 ,0 ,2 12kk Z 【解析】
解：（1）2 2( ) sin cos sin( ) f x a x b x a b x ，其中 为辅助角，且 tanba ， 2Tw ， 2
( ) 34f ， sin cos 32 2a b ，即3 a ( ) f x 的最大值为 2， 2 22 a b ，解得， 1 b
( ) 3sin2 cos2 f x x x 所以 ( ) 3sin2 cos2 2sin(2 )6f x x x x
（2）由（1）得， ( ) 2sin(2 )6f x x
令32 2 22 6 2k x k 剟 ， k Z ，解得，2,6 3k x k k Z 剟
函数的单调递减区间2, ,6 3k k k Z ； 令 26x k ， k Z ，解得 ,2 12kx k Z
函数的对称中心为 ,0 ,2 12kk Z ； 令 26 2x k ， k Z ，解得， ,2 6kx k Z
对称轴方程为,2 6kx k Z 【典型例题 3 3 】
已知函数 2sin 26f x x . （1）求函数 f x 的对称轴； （2）当 0,2x 时，求函数 f x 的最大值与最小值. 【答案】（1）对称轴方程为：2 3kx ( k Z )；（2）最大值为 2，最小值为 1 . 【解析】
（1）函数 2sin 26f x x . 令 26 2x k ( k Z )，解得2 3kx ( k Z )， 所以函数 f x 的对称轴方程为：2 3kx ( k Z ). （2）由于 0,2x ， 所以52 ,6 6 6x ，
故1sin 2 ,16 2x . 则：
1 2 f x
故当 0 x 时，函数的最小值为 1 . 当3x时，函数的最大值为 2. 必知必会 题型 五：
三角函数在实际问题中的应用
将实际问题转化为三角函数有关问题应注意以下几点：
①审题：把问题提供的“条件”逐条“翻译”成“数学语言”； ②可通过描点画图寻找适合的数学模型； ③准确求出函数解析式． 【典型例题 1 1 】
如图，有一块扇形草地 OMN，已知半径为 R，2MON ，现要在其中圈出一块矩形场地 ABCD 作为儿童乐园使用，其中点 A、B 在弧 MN上，且线段 AB 平行于线段 MN
（1）若点 A为弧 MN的一个三等分点，求矩形 ABCD的面积 S； （2）当 A在何处时，矩形 ABCD的面积 S最大？最大值为多少？ 【答案】（1）
;（2）
当 A在弧 MN的四等分点处时， ． 【解析】
（1）如图，作 OH AB 于点 H，交线段 CD于点 E，连接 OA、OB，
6AOB ，
2 sin , cos12 12AB R OH R ， 1sin2 12OE DE AB R
cos sin12 12EH OH OE R 2 22 sin cos sin 2sin cos 2sin12 12 12 12 12 12S AB EH R R R 2 23 1sin cos 16 6 2R R
（2）设 02AOB
则 2 sin , cos2 2AB R OH R ，1sin2 2OE AB R
cos sin2 2EH OH OE R
2 22 sin cos sin 2sin cos 2sin2 2 2 2 2 2S AB EH R R R 2 2sin cos 1 2sin 14R R
0,2 ，3,4 4 4
4 2 即4 时，
2max2 1 S R ，此时 A在弧 MN的四等分点处 答：当 A在弧 MN的四等分点处时， 2max2 1 S R 【典型例题 2 2 】
如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池 ABCD 的池底水平铺设污水净化管道（ Rt FHE 三条边， H 是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.要求管道的接口 H 是 AB的中点， , E F 分别落在线段 , BC AD 上，已知 20 AB 米，10 3 AD米，记 BHE .
(1)试将污水净化管道的总长度 L （即 Rt FHE 的周长）表示为 的函数，并求出定义域； (2)问 取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的总长度. 【答案】（1）sinθ cosθ 1L 10sinθ cosθ ，π πθ , .6 3 ； （2）πθ6 或πθ3 时，L 取得最大值为 20 3 1 米．. 【解析】
1 由题意可得10EHcosθ ，10FHsinθ ，10EFsinθcosθ ，由于 BE 10tanθ 10 3 ，10AF 10 3tanθ ， 所以3tanθ 33 ，π πθ ,6 3 ， 10 10 10Lcosθ sinθ sinθcosθ ，π πθ , .6 3 即sinθ cosθ 1L 10sinθ cosθ ，π πθ , .6 3
2 设 sinθ cosθ t ，则2t 1sinθcosθ2 ，由于π πθ ,6 3 ，π 3 1sinθ cosθ t 2sin θ , 2 .4 2 由于20Lt 1在3 1 , 22 上是单调减函数， 当3 1t2时，即πθ6或πθ3时，L 取得最大值为 20 3 1 米． 【典型例题 3 3 】
运动员小王在一个如图所示的半圆形水域 (O 为圆心，AB 是半圆的直径 ) 进行体育训练，小王先从点 A 出发，沿着线段 AP 游泳至半圆上某点 P 处，再从点 P 沿着弧 PB 跑步至点 B 处，最后沿着线段 BA 骑自行车回到点 A 处，本次训练结束.已知 1500m OA ，小王游泳、跑步、骑自行车的平均速度分别为 2m/s ， 4m/s ， 10m /s ，设 PAO 弧度.
（1）试将小王本次训练的时间 t 表示为 的函数 t ，并写出 的范围； （2）请判断小王本次训练时间能否超过 40 分钟，并说明理由. （参考公式：弧长 l r ，其中 r为扇形半径， 为扇形圆心角.）
【答案】（1）
1500 300, 0,2 2t cos ；（2）不能超过 40 分钟，理由见解析. 【解析】
（1）在 OAP △ 中， 2 3000 AP OAcos cos ，
在扇形 OPB中， 2 3000 PB OA ，
又 2 3000 BA OA ， 所以小王本次训练的总时间：
2 4 10P A AtB P B 3000 3000 30002 4 10cos .
1500 3002cos ， 0,2 ．
（2）由（1）得 1" 15002t sin ，
令 " 0 t ，得12sin ，6 ，
列表如下，
0,6 6 ,6 2 " t
0 - -
t
极大值
从上表可知，当6 时， t 取得极大值，且是最大值，
t 的最大值是 1500 cos 3006 6 12t 750 3 125 300 ，
3 2 ， 3.2 ， 750 2 125 3.2 300 22006t ． 2200 40 60 ， 小王本次训练时间不能超过 40 分钟． 必知必会 题型 六：
三角函数式 的化简
（1）化简的方法 弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂等． 在化简三角函数式的过程中，要注意以下问题：
①化简要遵循“三看”原则：
a.一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理拆分，从而正确使用公式． b.二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”． c.三看“结构特征”，分析结构特征可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”． ②根式的化简常常需要升幂去根号，在化简中注意角的范围以确定三角函数值的正负．
③对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有：
a.化为特殊角的三角函数值． b.化为正、负相消的项，消去求值． c.化成分子、分母出现公约数，进行约分求值． （2）化简的要求 ①能求出值的应求出值． ②尽量使三角函数种数最少． ③尽量使项数最少． ④尽量使分母不含三角函数． 【典型例题 1 1 】
化简：9sin(4 )costan(5 ) 211sin cos(2 ) sin(3 )sin2 2 ． 【答案】1 【解析】
sin(4 ) sin( ) sin ， 9cos cos 42 2 cos sin2 ， 11 3 3sin sin 4 sin2 2 2 sin sin cos2 2 ， tan(5 ) tan( ) tan ， sin(3 ) sin( ) sin ， 原式22 2sin sin tan sin 1cos cos sin cos cos cos 2 22 21 sin cos1cos cos ．
【典型例题 2 2 】
设3 222cos sin (2 ) sin( ) 32( )2 2cos ( ) cos( )f ，求 ( )3f的值. 【答案】1=3 2 f . 【解析】
3 23 22 22cos sin (2 ) sin 32cos sin cos 3 2( )2 2cos ( ) cos( ) 2 2cos cos f 3 222cos cos cos 22 2cos cos 222(cos 1) cos cos 1 cos (cos 1)2 2cos cos 22(cos 1) 2cos cos 22cos cos 2 cos 1
∴1cos 13 3 2 f . 【典型 例题 3 3 】
化简 （1）7sin(2 )cos( )cos cos2 25cos( )sin(3 )sin( )sin2 （2）2 2sin810 tan765 2 cos360 a b ab . （3）若ππ2 ,化简222cos sin 1 sin1 cos1 cos 【答案】(1) tan (2) 2a b (3)0 【解析】
（1）7sin(2 )cos( )cos cos2 25cos( )sin(3 )sin( )sin2 sin ( cos )sin ( sin )tancos sin ( sin )cos ，
（2）2 2sin810 tan765 2 cos360 a b ab
2 2sin90 tan45 2 cos0 a b ab
2 22 a b ab 2( ) a b
（3）因为ππ2 ， 所以 sin 0,cos 0 ， 2 22 22 2cos sin 1 sin cos sin cos1 cos sin1 cos sin 2cos sin cossin sin
cos cossin sin
0 必知必会 题型 七：
三角函数的给值求值与给值求角问题
解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示． （1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式． （2）当“已知角”有一个时，应关注“所求角”与“已知角”的和或差，进而应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． （3）解给值求角问题的一般步骤：
①求角的某一个三角函数值； ②确定角的范围； ③根据角的范围写出所求的角． （4）通过求角的某个三角函数值求角时，选取函数应遵照以下原则：
①已知正切函数值，选正切函数． ②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是 ，选正、余弦函数皆可；若角的范围是 ，选余弦函数较好；若角的范围为 ，选正弦函数较好．
【典型例题 1 1 】
已知 ， 为锐角，且1sin7 ，3cos( )5 ． （1）求 sin( )6 的值； （2）求 cos 的值． 【答案】（1）5 314；（2）4 12 335 【解析】
（1）∵ ， 为锐角，1sin7 ，∴24 3cos 1 sin7 ∴ sin sin cos cos sin6 6 6 =1 3 4 3 1 5 37 2 7 2 14 （2）∵ , 为锐角，∴ 0, ， 由 3cos5 得， 24sin 1 cos5
∴ cos cos cos cos sin sin =3 4 3 4 1 4 12 35 7 5 7 35 【典型例题 2 2 】
已知1 1sin( ) ,sin( )2 3 ，求tantan的值． 【答案】tan5tan. 【解析】
解：由题意可得1sin cos cos sin2 ，
1sin cos cos sin3 ，
解得5sin cos12 ，1cos sin12 ，
此两式子相除可得tan5tan， 故答案为：
5 ． 【典型例题 3 3 】
已知3 5 10, , ,sin ,cos2 5 10 ，求角 的值. 【答案】4
【解析】
由于3, ,2 ，所以3,2 2 2 . 所以225 2 5cos 1 sin 15 5 ， 2210 3 10sin 1 cos 110 10 ， 5 10 2 5 3 10sin sin cos cos sin5 10 5 10 5 2 30 2 250 50 2 . 由于2 2 ，所以4 . 必知必会 题型 八：
三角恒等式的证明
恒等式包括有条件恒等式和无条件恒等式两种． （1）无条件恒等式的证明 从角度和函数名称出发，认真分析等式两边三角函数式的特点和关系，找出差异，寻找证明的突破口． （2）有条件恒等式的证明 一般可用消去法及基本量法．消去法即用代入、加减、平方等方法消去某些量；基本量法就是适当地选择题中可以独立取值的量作为基本量，将其他的量都用基本量表示，从而转化为研究基本量的问题． 【典型例题 1 1 】
求证： 2sin cossin cos 1 sin cos 1x xx x x x ＝1 cossinxx. 【答案】证明见解析.
【解析】
证明：左边＝2 22sin cos2sin cos 2sin 2sin cos 2sin2 2 2 2 2 2x xx x x x x x ＝2 2 22sin cos4sin cos sin2 2 2x xx x x ＝2sin2sin2xx
＝cos2sin2xx＝22cos22sin cos2 2xx x＝1 cossinxx＝右边. 所以原等式成立. 【 典型例题 2 2 】
求证：sin 1 costan2 1 cos sin . 【答案】证明见解析 【解析】
2sin 2sin cossin2 2 2tan2 1 coscos 2cos2 2 . 2sin 2sin1 cos2 2tan2 sincos 2sin cos2 2 2 . 所以sin 1 costan2 1 cos sin 【典型例题 3 3 】
求证：21 sin4 cos4 1 sin4 cos42tan 1 tan . 【答案】证明见解析 【解析】
证明：要证原式，可以证明21 sin4 cos4 2tan1 sin4 cos4 1 tan . 左边 sin4 1 cos4sin4 1 cos4
222sin2 cos2 2sin 22sin2 cos2 2cos 2 2sin2 cos2 sin22cos2 sin2 cos2 tan2 ， 右边22tantan21 tan ， 左边 右边， 原式得证. 必知必会 题型 九：
可转化为 的函数问题
当求与三角函数有关的函数的周期、单调区间、对称轴、值域等问题时，一般要将函数转化为的形式． 若函数 的解析式通过三角恒等变换可转化为 的形式，则函数 的解析式可化为 （其中 满足 ， ）的形式． 【典型例题 1 1 】
已知函数 2 2sin cos 2 3sin cos x x x x x f . （1）求 f x 的最小正周期； （2）若 2 55f ，求πcos 43 的值. 【答案】（1）
；（2）35 【解析】
（1）
2 2sin cos 2 3sin cos x x x x x f
cos2 3sin2 x x 3 12 sin2 cos22 2x x π2sin 26x ， ∴ π T . （2）∵ 2 55f ，π 2 52sin 26 5 ，π 5sin 26 5 ，
∴2π π π 2 3cos 4 cos 2 2 1 2sin 2 13 6 6 5 5 . 【典型例题 2 2 】
已知函数 2sin 2 2sin6f x x x . （1）求 f x 的最小正周期； （2）当5,3 6x 时，求 f x 的值域. 【答案】（1）
；（2）1, 3 12轾- + 犏犏臌 【解析】
（1）
( ) sin2 cos cos2 sin 1 cos26 6f x x x xp p= - + -
3 3sin2 cos2 12 2x x
3sin 2 13x ， 22T , 即 f x 的最小正周期为 ； （2）5,3 6x ，42 ,3 3 3xp p p轾\ - ? 犏犏臌， 3sin 2 12 3x ， 13sin 2 1 3 12 3xp骣琪 \ - ? + ?琪桫， f x的值域为1, 3 12轾- + 犏犏臌. 【典型例题 3 3 】
已知函数 f（x）＝sinxcosx﹣sin 2 x． （Ⅰ）求 f x 的单调递增区间；
（Ⅱ）求 f x 在区间 0,2 上的最大值和最小值． 【答案】（I）3, , Z8 8k k k ；（II）最大值为2 12，最小值为 1
【解析】
（I）
1 1 cos2 1 1 1sin2 sin2 cos22 2 2 2 2xf x x x x 2 1sin 22 4 2x . 由 2 2 22 4 2k x k ，得 32 2 24 4k x k ，即38 8k x k ， 所以 f x 的单调递增区间为3, , Z8 8k k k . （II）由于 02x ，所以524 4 4x ， 所以2sin 2 12 4x ，1 2 2sin 22 2 4 2x ， 2 1 2 11 sin 22 4 2 2x . 所以 f x 在区间 0,2 上的最大值为2 12，最小值 1 .
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