1 专题 1.1
集合与函数
一、选择题：（本大题共 16 题，每小题 4 分，共计 64 分）
1、已知集合 22 0 A x x x ， 0 3 B x x ，则 A B （
）
A． 1,3
B． 0,2
C． 2,3
D． 2,3
【答案】C 【解析】
{ | 0 A x x 或 2} x ， { |0 3} B x x ， [2,3) A B ． 故选：C. 2、函数 12 12f x xx 的定义域为（
）
A． 0,2
B． 2,
C． 1,2 2,2 D． ,2 2,
【答案】C 【解析】由2 1 02 0xx ，解得 x≥12且 x≠2． ∴函数 12 12f x xx 的定义域为 1,2 2,2 ．故选：C． 3、函数 y f x 是 R 上的奇函数，当 0 x 时， 2 x f x ，则当 0 x 时， f x （
）
A．2 x B． 2x C．2x D． 2 x
【答案】C 【解析】
0 x Q 时， 2 x f x . 当 0 x 时， 0 x ， 2xf x ， 由于函数 y f x 是奇函数， 2xf x f x ， 因此，当 0 x 时， 2xf x ，故选 C.
2 4、已知集合 |2 1xA x ， | lg 1 B x y x ，则 ( )RA C B （
）
A．
B． (0,1)
C． ( ,1]
D． ( ,0]
【答案】D 【解析】由题：
{ |2 1} { 0}xA x x x ， { | lg 1} { | 1} B x y x x x ， { 1}RC B x x ， ( ) ( ,0]RA C B
故选：D 5、设0.5log 3 a ，30.5 b ，0.513c ，则 , , a b c 的大小关系为（
）
A． a b c
B． a c b
C． b a c
D． b c a
【答案】A 【解析】由题,因为0.5log y x 单调递减,则0.5 0.5log 3 log 1 0 a ； 因为 0.5 x y 单调递减,则3 00 0.5 0.5 1 b ； 因为 3 x y 单调递增,则0.50.5 013 3 13c , 所以 0 1 a b c , 故选：A 6、若 ( 1) f x x x ，则( ) f x 的解析式为（
）
A．2( ) f x x x
B．2( ) ( 0) f x x x x
C． 2( ) 1 f x x x x
D．2( ) f x x x
【答案】C 【解析】f（ x 1）＝x+ x ，设 1 x t，t≥1，则 x＝（t﹣1）
2 ， ∴f（t）＝（t﹣1）
2 +t﹣1＝t 2 ﹣t，t≥1， ∴函数 f（x）的解析式为 f（x）＝x 2 ﹣x（x≥1）．故选：C． 7、下列函数中是偶函数的是(
) A． 12y x B．2y x ﹣
C． 2 x y
D．2log y x
3 【答案】B 【解析】对于选项 A，函数12y x 的定义域为 0 ， ，此函数既不是奇函数也不是偶函数，故 A 不满足题意；对于选项 B，函数 2y f x x 的定义域为 ,0 0, ，且 22f x x x f x ，所以 B 满足题意；对于选项 C，由指数函数的性质，可知 2 x y 不具有奇偶性，故 C 不满足题意；对于选项 D，函数2log y x 的定义域为 0, ，此函数既不是奇函数也不是偶函数，故 D 不满足题意；故选：B. 8、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知定义在 5,1 2 m m 上的奇函数 f x ，满足 0 x 时， 2 1xf x ，则 f m 的值为（
）
A．-15 B．-7 C．3 D．15 【答案】A 【解析】因为奇函数的定义域关于原点中心对称 则 5 1 2 0 m m ,解得 4 m
因为奇函数 f x 当 0 x 时, 2 1xf x
则 44 4 2 1 15 f f
故选:A 9、函数( ) f x 在 ( , ) 单调递减，且为奇函数.若 (1) 1 f ，则满足 1 ( 2) 1 f x 的 x 取值范围是（
）
A． [ 2,2]
B． [ 1,1]
C． [0,4]
D． [1,3]
【答案】D 【解析】
( ) f x 为奇函数， ( ) ( ) f x f x . (1) 1 f ， ( 1) (1) 1 f f . 故由 1 ( 2) 1 f x ，得 (1) ( 2) ( 1) f f x f . 又( ) f x 在 ( , ) 单调递减，1 2 1 x ， 1 3 x .故选：D 10、、函数 2e ex xf xx 的图像大致为 (
)
4 A． B．
C． D．
【答案】B 【解析】20, ( ) ( ) ( )x xe ex f x f x f xx 为奇函数，舍去 A, 1(1) 0 f e e 舍去 D; 24 3( ) ( )2 ( 2) ( 2)( ) 2, ( ) 0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f xx x ， 所以舍去 C；因此选 B. 11、已知函数2 (log ) y x a b 的图象不经过第四象限，则实数 ab 、 满足(
) A． 1,0 a b
B． 0, 1 a b
C． 2log 0 b a
D．2 0ba 【答案】C 【解析】因为函数2 (log ) y x a b 的图象不经过第四象限， 所以当0 x 时，0 y≥ ，log2 0 a b .故选：C． 12、函数 312xf x x 的零点所在区间为（
）
A． 1,0
B．10,2 C．1,12 D． 1,2
【答案】C
5 【解析】3 11( 1) ( 1) ( ) 3 02f ，3 01(0) 0 ( ) 1 02f ， 1321 1 1 1 2( ) ( ) ( ) 02 2 2 8 2f ，3 11 1 1(1) 1 ( ) 1 02 2 2f ， 3 21 1 15(2) 2 ( ) 8 02 2 2f ，由 11 02f f . 故选：C 13、已知函数 f x 的定义域为 0,1,2 ，值域为 0,1 ，则满足条件的函数 f x 的个数为（
）
A．1 个 B．6 个 C．8 个 D．无数个 【答案】B 【解析】满足条件的函数 f x 有：
(0) 0, (1) 1, (2) 1 f f f ； (0) 1, (1) 0, (2) 0 f f f ； (1) 0, (0) 1, (2) 1 f f f ； (1) 1, (0) 0, (2) 0 f f f ； (2) 0, (0) 1, (1) 1 f f f ； (2) 1, (0) 0, (1) 0 f f f ，满足条件的函数有 6 个.故选:B. 14、若函数xy a ( 0 a ,且 1 a )在 1,2 上的最大值与最小值的差为2a，则 a 的值为（
）
A．12 B．32 C．23或 2 D．12或32 【答案】D 【解析】当 1 a 时, xy a 在 1,2 上递增, y 的最大值为2a ，最小值为 a, 故有22aa a ，解得32a 或 0 a
(舍去). 当 0 1 a 时，xy a 在 1,2 上递减, y 的最大值为 a,最小值为2a ， 故有22aa a ，解得12a 或 0 a (舍去).综上，32a 或12a .故选 D.
15、若函数, 1( )4 2, 12xa xf xax x ，且满足对任意的实数1 2x x 都有 1 21 20f x f xx x成立，则实数 a 的取值范围是（
）
6 A． (1,)
B． (1,8)
C． (4,8)
D． [4,8)
【答案】D 【解析】由于 f x 足对任意的实数1 2x x 都有 1 21 20f x f xx x成立，所以 f x 在 R 上递增，所以114 024 22aaaa ，即184aaa ，解得 4 8 a .故选：D. 16、若函数6(3 ) 3, 7( ), 7xa x xf xa x 单调递增,则实数 a 的取值范围是(
) A．9,34 B．9,34 C． 1,3
D． 2,3
【答案】B 【解析】
函数6(3 ) 3, 7( ), 7xa x xf xa x „单调递增， 3 013 7 3aaa a 解得934a ,所以实数 a 的取值范围是9,34 ．故选：
B ．
二、解答题（本大题共 4 小题，共计 36 分）
17、（本小题 8 分）已知全集 U R ，集合 2| 4 5 0 A x x x ， |2 4 B x x . （1）求 UA C B ； （2）若集合 | 4 , 0 C x a x a a ，满足 C A A U ， C B B ，求实数 a 的取值范围. 【解析】（1）由题 | 1 5 A x x ， | 2UC B x x 或 4 x ，， | 1 2UA CB x x 或 4 5 x ； （2）由 C A A U 得 C A ，则14 5aa ，解得514a ，
7 由 C B B 得 B C ，则24 4aa ，解得 1 2 a ， ∴实数 a 的取值范围为5|14a a ． 18、（本小题 8 分）已知函数 log ax bf xx b 0, 0, 0 a a b . （1）求函数 f x 的定义域； （2）判断函数 f x 的奇偶性，并说明理由； 【解析】(1)由x bx b0，化为：
0 x b x b . 当 0 b 时，解得 x b 或 x b ； 0 b 时，解得 x b 或 x b . ∴函数 f x 的定义域为：
0 b 时， ( ) ) , ( , x b b ， 0 b 时， ( ) ) , ( , x b b . (2)∵定义域关于原点对称， ( ) ( ) loga ax b x bf x log f xx b x b ， ∴函数 f x 为奇函数. 19、（本小题 10 分）已知函数2( )x af xb x是定义在 ( 1,1) 上的奇函数，且1 2( )2 5f ． （1）用定义证明：( ) f x 在 ( 1,1) 上是增函数； （2）若实数 m 满足 ( 1) (1 2 ) 0 f m f m ，求 m 的取值范围． 【解析】函数 2x af xb x是定义在 1,1 上的奇函数， ∴ 0 0 f ， 0ab ， 0 a ， 又∵1 22 5f ，∴ 1 b ， ∴ 21xf xx． （1）证明：设1x ，2x 是 1,1 上任意两个实数，且1 21 1 x x ， ∴ 2 1 1 22 12 12 22 22 12 111 1 1 1x x x x x xf x f xx x x x ， ∵1x ， 21,1 x ，且2 10 x x ，1 21 0 x x ，
8 ∴ 2 1 1 22 22 1101 1x x x xx x ， ∴ 2 1f x f x ，∴ f x 在 1,1 上单调递增． （2）解：∵ 21xf xx是 1,1 上的奇函数且单调递增， 又∵ 1 1 2 0 f m f m ，∴ 1 2 1 f m f m ， ∴1 1 1,1 2 1 1,1 2 1,mmm m 综上得 0 1 m ． 20、（本小题 10 分）已知函数 2( ) 3 3xf x a a a 是指数函数． (1)求( ) f x 的表达式； (2)判断 ( ) ( )( ) F x f x f x 的奇偶性，并加以证明
(3)解不等式：
log (1 )log ( 2)a ax x ． 【解析】（1）∵函数 2( ) 3 3xf x a a a 是指数函数， 0 a 且 1 a ， ∴23 3 1 a a ，可得 2 a 或 1 a （舍去），∴ ( ) 2 x f x ； （2）由（1）得 ( ) 2 2x xF x ， ∴ ( ) 2 2x xF x ，∴ ( ) ( ) F x F x ，∴ ( ) F x 是奇函数； （3）不等式：2 2log (1 ) log ( 2) x x ，以 2 为底单调递增， 即 1 2 0 x x ， ∴122x ，解集为1{ | 2 }2x x ．
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