基于 Mathematica 的机构运动分析研究
研究小组成员：
龚加庆 付忠贵
金晓东 卢航
赵航
基于 Mathematica 的机构运动分析研究
摘要：机构运动分析的任务是在一直尺寸及原动件运动规律的情 况下，确定机构中其他构件上某些点的轨迹、位移、速度及加速 度和构件角位移、角速度、角加速度。这些分析无论是设计新机 械，还是为了了解现有机构的性能，都是十分重要的，而且是究 机械动力性能的重要前提。现有比较重要的两种结构运动分析方
法：图解法和解析法。基于解析法的精确性同时利用计算机的标
准运算等优点，我们选择利用 Mathematica 对机构进行运动的分 析。我们利用解析法对要研究的四连杆机构建立方程，给定原动 件及构件的尺寸参数，在通过 Mathematica 编程来求解相关构件 上一点的运动规律，并对其进行画图。然后再利用 admas 软件进 行相应的仿真并画出对应点的运动参量的图线来验证我们利用 Mathematica 求解出的点的运动规律。
结果两款软件给出的对应点 的运动参量（位移，速度，加速度）图线完全一致。因此我们得 出结论基于 Mathematica 的机构运动分析研究是十分科学可靠的， 并且有很强的实用性，有很大的利用价值。
Abstract: The organization is the task of motion analysis has been moving pieces of the original size and movement of thecircumstances, determine the organization of certain other components in the locus ofpoints, displacement, velocity and acceleration and angular displacement components, angular velocity, angular acceleration. The analysis of both the design of new machinery, or to understand the performance of existing institutions are very important to study mechanical power and is an important prerequisite for the performance. Two of the more important structure of the existing motion analysis: graphical and analytical method. Analytical method based on the accuracy of the standard operations while leveraging the advantages of the computer, we chose to use Mathematica on the bodies of sport. We use analytical method to study the establishment of four-bar linkage equation, given the original size of moving parts and component parameters, related by Mathematica program to solve a point on the movement of components, and its drawing. Then use admas software simulation and draw the corresponding point of the motion parameters corresponding to the graph to verify that we use Mathematica to solve the movement of the point. The results of two corresponding points given software movement parameters (displacement, velocity, acceleration) of lines exactly the same. Therefore, we conclude based on kinematic analysis of Mathematica's study is very scientific and reliable, and has a strong practical, there is great value in use. 引言：机构运动分析的任务是在一直尺寸及原动件运动规律的情况 下，确定机构中其他构件上某些点的轨迹、位移、速度及加速度和构 件角位移、角速度、角加速度。这些分析无论是设计新机械，还是为 了了解现有机构的性能， 都是十分重要的， 而且是究机械动力性能的 重要前提。
现在我们我们研究的内容是基于 Mathematica 的机构运动 分析研究。
因为 Mathematica 矢量分析方法利用了复数的运算十分简
便的优点，不仅对任何机构包括复杂的连杆机构运动分析和动力分 析，而且用来进行机构的运动的综合。 Mathematica的用户群中最主
要的是科技工作者和其它专业人士。但是， Mathematica还被广泛地
用于教学中。而且近些年很多机械公司再设计机构时也有很多利用 Mathematica进行仿真或者利用其对运动轨迹的设计等。我们课题内 容是利用Mathematica对四连杆机构的中的一根杆件上一点进行分 析，并得出其运动位移，速度，加速度，然后利用 admas或working
model软件进行仿真来验证我们的研究结果。
Mathematica 简介
Mathematica是一款科学计算软件，很好地结合了数值和符号计算引 擎、图形系统、编程语言、文本系统、和与其他应用程序的高级连接。
很多功能在相应领域内处于世界领先地位，截至 2009年，它也是为
止使用最广泛的数学软件之一。Mathematica的发布标志着现代科技 计算的开始。自从20世纪60年代以来，在数值、代数、图形、和其 它方面应用广泛，Mathematica是世界上通用计算系统中最强大的系 统。自从1988发布以来，它已经对如何在科技和其它领域运用计算 机产生了深刻的影响。
1、 Mathematica软件的主要功能
符号运算
Mathematica是美国 Wolfram Research公司开发的著名数学软 件，以符号运算为主，能像人一样进行带字母的运算，得到的是精确 的结果。符号运算功能可以分成 4 大类：
（A） 初等数学 可以进行各种数和初等函数式的计算与化简。
（B）微积分
可以求极限、导数（包括高阶导数和偏导数等） 、不定积分和定 积分（包括多重积分） ，将函数展成幂级数，进行无穷级数求和及积 分变换。
（ C） 线性代数 可进行行列式的计算、矩阵的各种运算（加法、乘法、求逆矩阵 等）、解线性方程组、求特征值和特征向量、进行矩阵分解。
（ D） 解方程组
能解各类方程组（包括微分方程组） 。
（ 2） 数值计算
Mathematica 的数值计算更具科学性。它与通常的数值计算程序 有所不同，允许用户指定任意精度，例如能轻而易举地求出 n的300
位近似值；也可以求出 1000！和 210000 等整数的准确值，令人惊叹。
Mathematica 具有众多的数值计算函数，能满足线性代数、插值与拟 合、数值积分、微分方程数值解、求极值、线性规划及概率统计等方 面的常用计算需求
（3）绘图 它的绘图功能也很出色，能绘制各种二维和三维彩色图形，自动 化程度很高。
（4） 编程
在 Mathematica 中，用户可以自己编写各种程序（文本文件） ， 开发新的功能。
用户开发的功能可以在软件启动时被调入， 与软件本 身的功能一样使用。
Mathematica 4.0 版自带一百多个专门的程序包， 都是另外编写的程序文件，补充并完善了 Mathematica 的功能。
Mathematica 良好的底层环境极具吸引力，为数学编程提供了广阔天 地。
2、应用 mathematica 的优点 （1）具有简单易学的交互式方法
（2）具有非常强大的数值计算能力
（3）具有非常强大的符号计算能力， 能够进行各种复杂的数学计算， 而且速度很快，准确，节约我们很多计算时间
（4）具有人工智能列表处理能力
（5）结构化设计语言
（6）绘图功能也很出色，能绘制各种二维和三维彩色图形，自动化 程度很高。
3、 mathematica 在工程和科学研究中的应用情况 主要使用者是从事理论研究的数学工作者和其它科学工作者、 以
及从事实际工作的工程技术人员
但是， Mathematica 还被广泛地用于教学中。从高中到研究生院 的数以百计的课程都使用它。
此外，随着学生版的出现， Mathematica 已经在全世界的学生中流行起来，成为了一个著名的工具。
广泛的应用 --一些典型例子
1 处理含有上百万语汇的复杂符号计算
2 上载、分析、和视觉化数据 3解数值和符号方程、微分方程、和最小化问题
4 建立各类数值模型和仿真，包括从简单的控制系统到星系碰撞、金 5融衍生物、复杂生物系统、化学反应、环境影响研究、和粒子加速 器中的磁场
6促进工程公司和金融企业迅速发展的应用程序 7制作高质量的互动技术报告或论文，用于电子发行和印刷发行 8向各层次的学生阐述数学或科学概念，可应用于从小学生至研究生
Mathematica 可以用于解决各种领域的涉及复杂的符号计算和数 值计算的问题。
它代替了许多以前仅仅只能靠纸和笔解决的工作， 这 种思维和解题工具的革新可能对各种研究领域和工程领域产生深远 的影响。
机构的结构分析
下图是我们研究的机构图
机构结构分析
根据结构图，我们画的其结构简图如下图
1、 机构结构分析
从简图中可以知道，此机构共有5个构件，由原动件a,构件b、c、 e,以及机架d组成，其中机架d分别与原动件a，构件c分别构成 一个转动副，原动件a和构件b构成一个转动副，构件b和构件c 和构件e构成二个转动副。
2、 自由度计算
（1）计算公式
F= 3n-(2 Pl + ph )
式中：n为机构的活动构件数目;
Pl为机构的低副数目;
Ph为机构的高副数目。
F= 3X3— (2X 4+ 0)=1
故其自由度为1。
4机构运动分析及程序设计
1、位置分析
由结构简图，用分析法有
由位置分析
列机构矢量封闭方程
abed
P 0
求解 ，消去■
b = c d a
b2 = c2 d2 a2 2cdcos(2accos( -- 2adcos
2acsin sin 2cacos - d cos b2 - c2 - d^ a2 2adcos 二 0
令 A=2acs in
b=2c a cos - d
c二b2 - c2 - d2 - a2 2adcos
则公式简化为 Asin ' Bcos' C = 0
A- \，A2 B2 - C2
B- C
同理可以求的
程序见程序
2机构的速度分析
c d求导
+
+
t
ce3
t
ae1
对e 2点积得ae1 e2 ce3 e2
对e 3点积得ae1 e?」be； e^ 0
化解得 cCsi n( aasi n( 」)
aasin( - )= - bbsin(= - )
aa si n( -寸)
推出 c
推出 c
csi n(——71 )
b3
b
3机构的加速度分析
aasi n( - )
bsi n(—)
tce
t
ce3
ae； ，be；求导得
；ce3 - ce3 = ；aej1 * ；ben 71 be；
程序见程序
对e2点积得
2 n 2 naae
2 n 2 n
aae； e2 bbe2 e2
；ccos(
-二)一 ccsin(
-；acos(
2b
2 n t
o czx a 十 a czx a
c e3 e2 4 e3 e2
化简
jacos( -) jb- jccos( - )
csin(P _0 )
同理对e 3点积得
2 2 2 -⑷ aacos( _ p )…bbcosf 八厂 cc
hsinf )
rxAg:"
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上面为程序中E点的位置在x-z的坐标，即位置矢量。根据上面的坐
标分别对①角求导便可以得到对应方向的速度，在对速度求导就可以 得到加速度。(我们球的的速度和加速度是对 ①求导的而不是对t求
导的因为原动件是匀角速度运动的，所以我们只需进行对①的求导即
可，只不多时相应的速度差了角速度 3这个系数，而加速度差了 3八2)
V x=m（①）=：D]f【0]j 0] v z=n（①）=：D
ax =D[m（①），①] az=D[n（①）,①]
球出了相应变量的公式后，我们可以利用画图函数对其进行画图分
析。
机构分析的结果：
为了配合admas软件的方针验证，我们挑选了一组参
数 h=1.5 mod=0 a=1 b=2.6 c=2.5
d=2.7来进行计算E点的x，z向的分速度和分加速度 图像为:
x
z
Ax
Az
为了对分析结果进行验证我们还利用 admas对同一组参数进行仿真
得到的E点的x, z向的分速度和分加速度图像为
V
X
V
Z
X
Ax
Az
对这两种软件分析的结果进行比较，他们的曲线走势 完全一样，由此得出我们基于mathmatica软件的机构 运动分析结果是正确可靠的。
参考文献：
【11：［美］蒂芬沃尔夫雷姆.特别版MATHEMATICS全书［M］.西安: 西安交通大学出版社，2002: 96-130
【21:孙恒，陈作模，葛文杰.机械原理［M］.高等教育出版社，2005
(7): 30-60
【31:薛定宇，陈阳泉基于mathmatica的系统仿真技术与应用［M］.
北京：清华大学出版社， 2002.
【4】李军，邢俊文，谭恩浩.ADAMS实力教程[M].北京：北京理工
出版社， 2002.
研究感想
本次课题研究确实让我们的能力得到了锻炼， mathmatica 这款软件 我们前都没有接触过。
正因为这样大家对他的兴趣就更大了， 通过老 师在课堂上我们做了精炼的介绍，我们对其实用方法有了初步的了 解，在课下我们也到图书馆还有网站上查找相关资料， 对 mathmatica 的基本功能及使用方法有了初步认识之后， 我们又通过对老师给的程 序的分析， 逐句逐函数的解释， 对每个函数的功能及用途有了很好的 掌握。准备工作做好了，我们就开始了我们机构的运动研究，通过某 一个函数就可以得到我们想要的结果，在收获中体验了研究的乐趣。
于此同时我也对研究工作有了初步的认识， 它应该是真正有我们小组 成员亲自动手， 自己设计得出的实验结果， 与以往做课题报告时对已 有的文献复制粘贴是有着本质的区别的。
做研究一定要认真， 要有一 定的理论基础，研究过程可以学到很多的方法，比如比较法，验证法 等。
总结来说本次研究对我们的能力的提高有了一定的促进作用， 我们通过研究掌握了 mathmatica 和 admas 软件的使用方法。这是一 个宝贵的财富，我们以后也会更好的利用它，在小学期我们会利用 mathmatica 进行更加复杂的设计和仿真， 也希望在这个过程中有更多 的收获。
结论：
? 总结用 mathematica 进行机构运动分析的优越性 结果比较情况
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