6.3 平面向量的基本定理及坐标表示
1. 对基底概念的理解；2. 用基底表示平面向量；3.求两向量的夹角；4.利用正交分解求向量的坐标；5.向量的坐标运算；6.向量共线条件的坐标表示；7.三点共线问题；8. 用向量法解几何问题；9. 数量积的坐标表示；10. 利用向量的坐标解决有关模、夹角问题；11. 利用坐标解决向量的夹角问题；12.利用平行、垂直求参数；13. 利用向量的数量积判断几何图形的形状；14. 用向量法解几何问题.
一、单选题 1．（2020·湖北黄冈·期末）已知向量 2 a x ， ， 2 13 b x ， ，若 ab ，则 x （
）
A．12 B． 2
C．1 D．2 【答案】B 【解析】
//2 122 3x xa b a b x
故选：B 2．（2020·山东省泰安第二中学月考）己知向量 1,2 OA ， 3, OB m .若 OA AB ，则 m的值为(
) A．32 B．4 C．-32 D．-4 【答案】B 【解析】
依题意 4, 2 AB m ，由于 OAAB ，所以 1,2 4, 2 4 2 4 0 m m ，解得 4 m . 故选 B. 3．（2020·威海市教育教学研究中心期末）已知向量 ( 1,2), (2, ) a b m ，且/ / a b ，则 m （
）
A． 1
B． 1
C． 4
D． 4
【答案】D
【解析】
∵向量 ( 1,2) a ， (2, ) b m ，且/ / a b ， ∴ 1 2 20 m ，解得：
4 m ， 故选：D. 4．（2020·荣成市教育教学研究培训中心期中）已知向量 2,2 AB ， ,1 AC t ，若2 AB BC ，则 t （
）
A． 5
B． 4
C． 3
D． 2
【答案】B 【解析】
根据题意得：
,1 2,2 2, 1 BC AC AB t t ， 所以 2 2 2 1 2 4 2 2 AB BC t t ，解得 4 t . 故选：B. 5．（2020·临猗县临晋中学高一月考）已知在 ABC 中，2 CD BD ，且 , AD xAB yAC x y R ，则 xy 的值为（
）
A．12 B．12
C．13 D．13
【答案】C 【解析】
因为在 ABC 中，2 CD BD ， 所以 2 AD AC AD AB ， 整理得：
32 AD AC AB ，即2 13 3AD AB AC uuur uuur uuur， 又 , AD xAB yAC x y R ，所以23x ，13y ， 因此13x y . 故选：C. 6．（2020·山西运城·月考）如图，在 ABC 中，32AC AD ，3 PD BP ，若 AP AB AC ，则 的值为（
）
A．89 B．34 C．1112 D．79 【答案】C 【解析】
由图可得1 1 3 1( )4 4 4 4AP AB BP AB BD AB AD AB AB AD
3 1 2 3 14 4 3 4 6AB AC AB AC ， 所以34 ，16 ， 则3 1 114 6 12 ， 故选：
C ． 7.（2020·福建其他（文））已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 M 满足12DM MC ，设 AM 与 BD 交于点G ，则 AG AC （
）
A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】
以 A 为原点， AB 和 AD 分别为 x 和 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则(0,0) A，(1,0) B， (1,1) C ， (0,1) D ， 12DM MC ， M 为线段 CD 的靠近点 D 的三等分点，1( ,1)3M ，
直线 BD 的方程为：
1 y x ；直线 AM 的方程为：
3 y x ， 联立13y xy x ，解得1434xy ， 点1 3( , )4 4G ． 1 3 1 3( , ) (1,1) 1 1 14 4 4 4AG AC ． 故选：A． 8．（2020·广东中山·期末）已知菱形 ABCD 的边长为 4， 60 ABC ， E 是 BC 的中点2 DF AF ，则 AE BF （
）
A．24 B． 7
C． 10
D． 12
【答案】D 【解析】
由已知得13AF AD ,12BE BC , ADBC ,所以1 12 2AE AB BC AB AD ,13BF AF AB AD AB . 因为在菱形 ABCD 中, 60 ABC ,所以 120 BAD .又因为菱形 ABCD 的边长为 4,所以1| | | |cos120 4 4 82AB AD AB AD ,所以1 12 3AE BF AB AD AB AD 2 21 1 1 1| | | | 16 ( 8) 16 126 6 6 6AB AB AD AD . 故选：D 9．（2020·湖北武汉·其他（理））如图，在△ ABC 中，π3BAC ，2 AD DB ， P 为 CD 上一点，且满足 12AP mAC AB m R ，若 3 AC ， 4 AB ，则 AP CD的值为（
）.
A． 3
B．1312
C．1312 D．112
【答案】C 【解析】
∵ 12AP mAC AB m R ，2 AD DB ，即23AD AB 且2 13 3CD CB CA
∴ 34AP mAC AD m R ，又 C、P、D共线，有314m ，即14m
即1 14 2AP AC AB ，而 CBCA AB ∴2 1 2 2( )3 3 3 3CD CA AB CA CA AB AB AC
∴ AP CD=2 21 1 2 1 1 1 16 9 13( )( ) 24 2 3 3 3 4 3 4 12AC AB AB AC AB AB AC AC
故选：C 10．（2020·株洲市九方中学月考）在 ABC 中，点 D 在线段 BC 上，且满足13BD DC ，过点 D 的直线分别交直线 AB 、 AC 于不同的两点 M 、 N ，若 AMmAB ， ANnAC ，则(
) A． 3 n m 是定值，定值为 4 B． 2 n m 是定值，定值为 3 C．3 1m n 是定值，定值为 4 D．2 1m n 是定值，定值为 3 【答案】C 【解析】
因为13BD DC ，所以1 13 3AD AB AC AD ，即3 14 4AD AB AC ， 依题意设 MDtDN ，则 ADAM tAN tAD ， 则11 1tAD AM ANt t ，又 AMmAB ， ANnAC ， 所以1 1m tnAD AB ACt t ， 根据平面向量基本定理可得31 411 4mttnt ，消去 t 可得 3 4 m n mn ，即1 34n m . 故选：C 二、多选题
11．（2020·海南高三其他）已知正方形 ABCD 的边长为 2 ，向量 a ， b 满足2 AB a ，2 AD a b uuur rr，则（
）
A． | | 2 2 b
B． ab C． 2 a b ?
D． (4) a b b r rr 【答案】AD 【解析】
由条件可 bAD AB BD uuur uuur uuur r，所以 || | | 2 2 b BD uuur r，A正确； 12a AB ，与 BD 不垂直，B 错误； 122a b AB BD uuur uuur rr，C 错误； 4a b AB AD AC uuur uuur uuur rr，根据正方形的性质有 ACBD ，所以 (4) a b b r rr，D正确. 故选: AD 12.（2020·湖北黄冈·期末）在△ABC 中，点 E，F 分别是边 BC和 AC 上的中点，P 是 AE 与 BF 的交点，则有（
）
A．1 12 2AE AB AC
B．2 AB EF C．1 13 3CP CA CB
D．2 23 3CP CA CB
【答案】AC 【解析】
如图：
根据三角形中线性质和平行四边形法则知， 1 1 1( ) ( )2 2 2AE AB BE AB BC AB AC AB AC AB , A是正确的； 因为 EF 是中位线，所以 B 是正确的；
根据三角形重心性质知，CP=2PG，所以2 2 1 13 3 2 3CP CG CA CB CA CB ，所以 C 是正确的，D错误. 故选：AC 13．（2020·全国高三其他）已知 (2,4), (4,1), (9,5), (7,8) A B C D ，如下四个结论正确的是（
）
A． ABAC ； B．四边形 ABCD 为平行四边形； C． AC 与 BD 夹角的余弦值为7 29145； D．85 AB AC
【答案】BD 【解析】
由 (2,4), (4,1), (9,5), (7,8) A B C D ， 所以 2, 3 AB uuur， 7,1 AC uuur， 2, 3 DC uuur， 3,7 BD uuur, 对于 A，14 3 11 0 AB AC ，故 A错误； 对于 B，由 2, 3 AB uuur， 2, 3 DC uuur，则 ABDC ， 即 AB 与 DC 平行且相等，故 B 正确；
对于 C，21 7 14 29cos ,145 50 9 49AC BDAC BDAC BD ，故 C 错误； 对于 D， | | 9, 2 85 AB AC ，故 D正确； 故选：BD 14．（2020·山东诸城·高一期中）已知 1 a ， 3,4 b ，则以下结论正确的是（
）
A．若// a br r，则 6 a b r r B．若 ab ，则 ab a b
C．若// a br r，则3 4,5 5a D． a b r r的最小值为 4
【答案】BD 【解析】
3,4 b ，则2 23 4 5 b .
对于 A选项，若// a br r，则 a b a b ，所以， 6 a b r r或 4 a b ，A选项错误； 对于 B 选项，若 ab ，则0 a b ， 2 22 2 2 22 a b a b a a b b a b ， 2 22 2 2 22 a b a b a a b b a b ，则2 2a b a b ，a b a b ， B 选项正确； 对于 C 选项，若// a br r，且 1 a ，则bab ，3 4,5 5a 或3 4,5 5a ，C 选项错误； 对于 D选项，由向量模的三角不等式可得 4 a b a b ，D选项正确. 故选：BD. 三、填空题 15．（2019·辽宁辽阳·月考（理））在同一个平面内，向量 , , OA OB OC 的模分别为 1,1, 2,OA 与 OC 的夹角为 ，且 tan 7,OB 与 OC 的夹角为 45 ，若 , OC mOA nOB m n R ，则 m n _________．
【答案】
3
【解析】
以 OA 为 x 轴，建立直角坐标系，则 ( ) 1,0 A ，由 OC 的模为2 与 OA 与 OC 的夹角为 ，且 tan7 知，2 7 2cos ,10 10sin ，可得1 7, ,5 5C cos 45 , 45 B sin ，3 4,5 5B ，由OC mOA nOB 可得1 31 7 3 45 5, , ,7 4 5 5 5 55 5m nm n nn 5 7,4 4m n ， 3 m n ，故答案为 3 . 16．（2020·山西三模（理））如图，在△ ABC 中， 2 AD DC ，点 P 是线段 BD 上的一个动点.AP mAB nAC ，则 m ， n 满足的等式是___________.
【答案】
2 3 2 m n
【解析】
∵2 AD DC uuur uuur，有32AC AD
又 APmAB nAC ，即32AP mAB nAD
∵B、P、D三点共线 ∴312m n ，即 2 3 2 m n
故答案为：
2 3 2 m n
17．（2020·山西其他（理））已知向量 2,3 a ， 1, b m ，且 2 a a b ，则 m ______. 【答案】283 【解析】
∵ 2,3 a ， 1, b m ， ∴ 2 5,6 a b m ， ∵ 2 a a b
∴ 2 2,3 5,6 10 3 6 0 a a b m m ， 解得283m
故答案为：283 四、双空题 18．（2020·浙江衢州·高二期末）已知向量 (3, 2), ( ,6) a b m ，若/ / a b ，则 m＝________；若 a b ，则 m＝________ 【答案】
9
4
【解析】
因为/ / a b ，所以 3 6( 2) 0, 9 m m . 因为 ab ，所以 3 ( 2) 6 0, 4 m m . 故答案为：
9;4.
19．（2020·浙江金华·高一期末）在 ABC 中， AB AC ，点 D是 BC 的中点，点 O是 AD 的中点，若BO AB AC ，则 ___________；若 BOAC ，则 cos A _____________. 【答案】12
13
【解析】
因为， BOBA AO ， 12AD AB AC ，12AO AD
所以1 3 1( )4 4 4BO BA AO AB AB AC AB AC ，即得12 ； 因为 BOAC ， 所以2 3 1 3 14 4 4 4BO AC AB AC AC AB AC AC ， 即2 23 1cos 04 4AC A AC ，解得1cos3A ． 故答案为：12 ；13． 20．（2020·河南濮阳·高一期末（文））已知点 (2,0) A ， (1,2) B ，(2,2) C， AP AB AC ， O 为坐标原点，则 AP =______， OP 与 OA 夹角的取值范围是______． 【答案】1
06,
【解析】
由题意可得 1,0 AB AC CB ， 所以 1 AP AB AC CB ； 则点 P 在以 (2,0) A 为圆心，1 为半径的圆上，如图：
由图可知，当 OP 与 OA 夹角最小值为 0， 当直线 OP 与圆 A 相切时， OP 与 OA 夹角取最大值，连接 AP ， 易得 POA 为锐角且1sin2APPOAOA ， 所以6POA ， 所以此时 OP 与 OA 夹角的取值范围是 06, . 故答案为：
1 ； 06, . 21．（2020·北京平谷·高三二模）如图，矩形 ABCD 中， 2 AB ， 1 BC ， O 为 AB 的中点. 当点 P 在 BC边上时， AB OP的值为________；当点 P 沿着 BC ， CD 与 DA 边运动时， AB OP的最小值为_________.
【答案】
2
2
【解析】
以 A 为原点建立平面直角坐标系，
则 A（0,0），O（1,0），B（2,0），设 P（2，b）， （1）
AB OP ＝ 2,0 2 （ ）(1,b)＝ ； （2）当点 P 在 BC 上时， AB OP ＝2； 当点 P 在 AD 上时，设 P（0，b）， AB OP ＝（2，0）（－1，b）＝－2； 当点 P 在 CD 上时，设点 P（ a ，1）（0＜ a ＜2）
AB OP ＝（2,0）（ a －1，1）＝2 a －2， 因为 0＜ a ＜2，所以，－2＜2 a －2＜2，即 ( 2,2) AB OP
综上可知， AB OP 的最小值为－2. 故答案为-2. 五、解答题 22.（2020·孝义市第二中学校期末）已知向量 1, 1 a ， 2, 3 b
（1）若2 3 c a b ，求 c 的坐标； （2）若2 a b 与 a 垂直，求 的值. 【答案】（1）
8, 7 ；（2）
1
【解析】
（1）2 3 c a b 2 1,1 3 2, 3 2,2 6, 9 8, 7 . （2）
2 1,1 2 2, 3 a b , 4, 6 4, 6
2 a b 与 a 垂直， 2 0 a b a ，即 4, 6 1,1 0 ， ∴ 4 6 0 2 2 0 1 . 23．（2020·湖南益阳·期中）已知 3,1 , 1, 2 , 1,1 . a b c
（1）求 a 与 b 的夹角的大小;
（2）若 / / c akb ，求 k 的值. 【答案】（1）34
（2）43k
【解析】
（1）设 a 与b 的夹角为
，因为3 2 2cos2 10 5a ba b ，
所以，34 . （ 2 ）
3 ,1 2 , a kb k k 因为 / / c a kb ，即1 2 3 0 k k
， 解得43k . 24．（2020·四川广元·期末）已知向量 , , a b c 是同一平面的三个向量，其中 1, 1 a ． （1）若 3 2 c ，且 a 与 c 的方向相反，求 c 的坐标； （2）若 b 是单位向量，且 2 a a b ，求 a 与 b 的夹角 ． 【答案】（1）
( 3,3) c ；（2）4 【解析】
（1）设 , , 0 r rc a ， 2 =3 2 =-3 ， rc
( 3,3) rc （2）
=1 b ， 22 ( 2 ) 0 2 cos 0 r r r r r r r r ra a b a a b a a b
22-2 2cos 0 cos2 4 25.（2020·山西运城·月考）已知 1,cos a x ，1,sin3b x ， 0, x . （1）若// a br r，求sin coscos sinx xx x的值； （2）若 a b ，求 cos sin x x 的值． 【答案】（1）
2 ；（2）153． 【解析】
（1）
1,cos a x ，1,sin3b x ，且/ / a b ，1sin cos3x x ，1tan3x ， 因此，sin cos tan 12cos sin 1 tanx x xx x x ； （2）
a b ，1sin cos 03x x ，1sin cos3x x ， 0, x ，则 sin 0 x ， cos 0 x ，所以， cos sin 0 x x ， 2 5cos sin 1 2sin cos3x x x x ，因此，15cos sin3x x . 26．（2020·辽宁大连·高一期末）如图，平行四边形 ABCD 中，已知2 AE EB ，3 BF FC ，设 ABa ，AD b ，
（1）用向量 a 和 b 表示向量 DE ， AF ； （2）若 DOxDE ， AO yAF ，求实数 x 和 y的值. 【答案】（1）23DE a b ；34AF a b ；（2）2349xy . 【解析】
（1）2 23 3DE AE AD AB AD a b
3 34 4AF AB BF AB BC a b
（2）因为 3 24 3AD AO OD AO DO yAF xDE y a b x a b 2 33 4y x a y x b b .
即2 31 03 4y x a y x b 因为 a 与 b 不共线，从而20331 04y xy x ，解得2349xy 27．（2020·湖南娄星·娄底一中高一期末）如图，在平行四边形 ABCD 中， , E F 分别是 , BC DC 上的点，且满 , 2 BE EC DF FC ，记 ABa ， ADb ，试以 , a b 为平面向量的一组基底.利用向量的有关知识解决下列问题；
（1）用 , a b...
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