6.2 平面向量的数量积
1. 平面向量的数量积；2. 利用向量的数量积解决有关模、夹角问题；3. 利用向量的数量积判断几何图形的形状；4. 利用平行、垂直求参数.
一、单选题 1．（2020·日喀则市第三高级中学期末（文））对于单位向量 a 、 b ，下列一定成立的是（
）
A． 0a b B．1 a b C． 2 a b
D．22a b
2． （2020·黑龙江龙凤·大庆四中月考（理））已知菱形 ABCD 的边长为a ，60 ABC ，则· BDCD （
）
A．232a
B．234a
C．234a
D．232a
3．（2020·湖北其他（理））已知向量 a ， b 满足 2 a ， | | 1 b ，且 2 b a ，则向量 a 与 b 的夹角的余弦值为（
）
A．22 B．23 C．28 D．24 4．（2020·黑龙江龙凤·大庆四中月考（理））已知向量 a ， b 满足 1 a ， 2 b ， 2 8 a b a b ，则 a 与 b 的夹角为（
）
A．2 B．3 C．4 D．6 5．（2020·江西其他（文））已知 2 a ， b 3 ，3 a b ，则向量 a 与 b 的夹角为（
）
A．2 B．3 C．4 D．6 6．（2020·甘肃省会宁县第四中学期末（理））设 , a b 是两个非零向量.若命题 p：0 a b ，命题 q：
, a b 夹角是锐角，则命题 p 是命题 q 成立的（
）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．即不充分也不必要条 7．（2020·黑龙江龙凤·大庆四中月考（文））已知向量 a ， b 的夹角为2π3， a b=-3，| b |=2，则| a |=（
）
A．32
B． 3
C．32 D．3 8．（2020·云南五华·昆明一中其他（理））已知单位向量 a ， b 满足 | | a a b ，则12a b 与 b 的夹角是（
）
A． 30°
B． 45
C． 60
D． 90
9．（2020·黑龙江南岗·哈师大附中期末）已知向量 a,b 满足 a 1 ， a b 1 ，则 a (2a b) （
）
A．4 B．3 C．2 D．0 10．（2020·邵阳市第二中学其他（理））已知四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，P 为对角线 AC 上一点，则 PA PB PD 的最小值是（
）
A．0 B．14
C．12
D． 2
二、多选题 11．（2020·威海市教育教学研究中心期末）已知非零平面向量 a ， b , c ,则（
）
A．存在唯一的实数对, m n ，使 cma nb B．若 0 a b a c，则// b c
C．若// // a b c ，则 ab c a b c + +
D．若0 a b ，则 a b a b
12．（2020·瓦房店市高级中学高一期末）
ABC 是边长为 3 的等边三角形，已知向量 a 、 b 满足3 AB a uuur r，3 AC a b ，则下列结论中正确的有（
）
A． a 为单位向量 B．// b BC
C． a b
D． 6ab BC
13．（2020·山东菏泽·高一期末）设向量 a ， b 满足 1 a b r r，且 2 5 b a ，则以下结论正确的是（
）
A． a b
B．2 a b
C． 2 a b
D． , 60 a b
14．（2020·山东潍坊·高一期末）若 a， b， c是任意的非零向量，则下列叙述正确的是（
）
A．若 ab ，则 a b
B．若 a cb c ，则 ab C．若/ / a b ，/ / b c ，则/ / a c D．若 a ba b ，则a b 三、填空题 15．（2018·荣成市教育教学研究培训中心期中（理））已知两个单位向量 ， 的夹角为 ，若向量， ，则
___. 16．（2020·日喀则市第三高级中学期末（理））已知 2 a ， 3 b r， , 60 a b ，则 2 3 a b ____________. 17．（2020·威海市教育教学研究中心期末）已知单位向量 , a b ，若 ab ，则 3 a b 与 a 的夹角为__________. 四、双空题 18．（2020·越城·浙江邵外）已知 , OA a OB b ，且 | | | | 2,3a b AOB ，则 || a b ________，| | a b r r________. 19． （2019·大连市普兰店区第一中学高一期末）已知6 a ， 8 b ，则 a b 的最大值为______；若 6 a ，8 b ，且 10 a b ，则 a b ______. 20．（2018·浙江柯桥·高三二模）已知向量 a ， b ， c 满足 | | | | 2| | 1 b c a rr r，则 ( ) ( ) c a c b rr r r的最大值是________，最小值是________. 21．（2018·浙江温州·高二期中）在等腰梯形 ABCD 中，设 ABa ， ADb ，2 DC AB ， M 为 BC 的中点，则 AM =_____________（用 a 和 b 表示），当 x ______时， | | b xa 最小. 五、解答题
22．（2020·安徽庐江·期末）设 1 a b r r， 3 2 3 a b ，求 3a b 的值. 23．（2020·广西河池·期末）已知向量 | | | | , , 1, 2 a b a b ，向量 , a b 的夹角的正切值为 3 ，2 , m a b n ka b ． （1）求向量 m 的模； （2）若 mn ，求实数 k 的值． 24．（2020·沙坪坝·重庆南开中学期末）已知向量 a 与向量 b 的夹角为3，且 1 a ， 3 2 a a b . （1）求 b ； （2）若 2 7 a mb ，求 m . 25．（2020·株洲市九方中学月考）已知向量 a ， b 的夹角为 120 ，且 1 a ， 2 b ，3 c ma b . （1）当 bc 时，求实数 m 的值； （2）当 6 m 时，求向量 a 和 c 的夹角. 26．（2020·威海市教育教学研究中心期末）在 ABC 中， 2 AB ， 1 AC ， 120 o BAC ，点 E ， F在 BC 边上且 BEBC ， BF BC .
（1）若13 ，求 AE 的长； （2）若4 AE AF ，求1 1 的值. 27．（2020·上海高二课时练习）设 a 与 b 是两个不共线的非零向量 () t R . （Ⅰ）记 OAa , OBtb , 13OC a b ,那么当实数 t 为何值时， A 、 B 、 C 三点共线？ （Ⅱ）若 1 a b ,且 a 与 b 的夹角为0120 ，那么实数 x 为何值时 axb 的值最小？
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