6.3 平面向量的基本定理及坐标表示
1. 对基底概念的理解；2. 用基底表示平面向量；3.求两向量的夹角；4.利用正交分解求向量的坐标；5.向量的坐标运算；6.向量共线条件的坐标表示；7.三点共线问题；8. 用向量法解几何问题；9. 数量积的坐标表示；10. 利用向量的坐标解决有关模、夹角问题；11. 利用坐标解决向量的夹角问题；12.利用平行、垂直求参数；13. 利用向量的数量积判断几何图形的形状；14. 用向量法解几何问题.
一、单选题 1．（2020·湖北黄冈·期末）已知向量 2 a x ， ， 2 13 b x ， ，若 ab ，则 x （
）
A．12 B． 2
C．1 D．2 2．（2020·山东省泰安第二中学月考）己知向量 1,2 OA ， 3, OB m .若 OA AB ，则 m的值为(
) A．32 B．4 C．-32 D．-4 3．（2020·威海市教育教学研究中心期末）已知向量 ( 1,2), (2, ) a b m ，且/ / a b ，则 m （
）
A． 1
B． 1
C． 4
D． 4
4．（2020·荣成市教育教学研究培训中心期中）已知向量 2,2 AB ， ,1 AC t ，若2 AB BC ，则 t （
）
A． 5
B． 4
C． 3
D． 2
5．（2020·临猗县临晋中学高一月考）已知在 ABC 中，2 CD BD ，且 , AD xAB yAC x y R ，则 xy 的值为（
）
A．12 B．12
C．13 D．13
6．（2020·山西运城·月考）如图，在 ABC 中，32AC AD ，3 PD BP ，若 AP AB AC ，则 的值为（
）
A．89 B．34 C．1112 D．79 7.（2020·福建其他（文））已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 M 满足12DM MC ，设 AM 与 BD 交于点G ，则 AG AC （
）
A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2020·广东中山·期末）已知菱形 ABCD 的边长为 4， 60 ABC ， E 是 BC 的中点2 DF AF ，则 AE BF （
）
A．24 B． 7
C． 10
D． 12
9．（2020·湖北武汉·其他（理））如图，在△ ABC 中，π3BAC ，2 AD DB ， P 为 CD 上一点，且满足 12AP mAC AB m R ，若 3 AC ， 4 AB ，则 AP CD的值为（
）.
A． 3
B．1312
C．1312 D．112
10．（2020·株洲市九方中学月考）在 ABC 中，点 D 在线段 BC 上，且满足13BD DC ，过点 D 的直线分别交直线 AB 、 AC 于不同的两点 M 、 N ，若 AMmAB ， ANnAC ，则(
) A． 3 n m 是定值，定值为 4 B． 2 n m 是定值，定值为 3 C．3 1m n 是定值，定值为 4 D．2 1m n 是定值，定值为 3 二、多选题 11．（2020·海南高三其他）已知正方形 ABCD 的边长为 2 ，向量 a ， b 满足2 AB a ，2 AD a b uuur rr，则
（
）
A． | | 2 2 b
B． ab C．2 a b ? D． (4) a b b r rr 12.（2020·湖北黄冈·期末）在△ABC 中，点 E，F 分别是边 BC和 AC 上的中点，P 是 AE 与 BF 的交点，则有（
）
A．1 12 2AE AB AC
B．2 AB EF C．1 13 3CP CA CB
D．2 23 3CP CA CB
13．（2020·全国高三其他）已知 (2,4), (4,1), (9,5), (7,8) A B C D ，如下四个结论正确的是（
）
A． AB AC； B．四边形 ABCD 为平行四边形； C． AC 与 BD 夹角的余弦值为7 29145； D．85 AB AC
14．（2020·山东诸城·高一期中）已知 1 a ， 3,4 b ，则以下结论正确的是（
）
A．若// a br r，则 6 a b r r B．若 ab ，则 a b a b
C．若// a br r，则3 4,5 5a D． a b r r的最小值为 4
三、填空题 15．（2019·辽宁辽阳·月考（理））在同一个平面内，向量 , , OA OB OC 的模分别为 1,1, 2,OA 与 OC 的夹角为 ，且 tan 7,OB 与 OC 的夹角为 45 ，若 , OC mOA nOB m n R ，则 m n _________．
16．（2020·山西三模（理））如图，在△ ABC 中， 2 AD DC ，点 P 是线段 BD 上的一个动点.AP mAB nAC ，则 m ， n 满足的等式是___________.
17．（2020·山西其他（理））已知向量 2,3 a ， 1, b m ，且 2 a a b ，则 m ______. 四、双空题 18．（2020·浙江衢州·高二期末）已知向量 (3, 2), ( ,6) a b m ，若/ / a b ，则 m＝________；若 a b ，则 m＝________ 19．（2020·浙江金华·高一期末）在 ABC 中， AB AC ，点 D是 BC 的中点，点 O是 AD 的中点，若BO AB AC ，则 ___________；若 BOAC ，则 cosA _____________. 20．（2020·河南濮阳·高一期末（文））已知点 (2,0) A ， (1,2) B ，(2,2) C， AP AB AC ， O 为坐标原点，则 AP =______， OP 与 OA 夹角的取值范围是______． 21．（2020·北京平谷·高三二模）如图，矩形 ABCD 中， 2 AB ， 1 BC ， O 为 AB 的中点. 当点 P 在 BC边上时， AB OP的值为________；当点 P 沿着 BC ， CD 与 DA 边运动时， AB OP的最小值为_________.
五、解答题 22.（2020·孝义市第二中学校期末）已知向量 1, 1 a ， 2, 3 b
（1）若2 3 c a b ，求 c 的坐标； （2）若2 a b 与 a 垂直，求 的值. 23．（2020·湖南益阳·期中）已知 3,1 , 1, 2 , 1,1 . a b c
（1）求 a 与 b 的夹角的大小;
（2）若 / / c a kb ，求 k 的值. 24．（2020·四川广元·期末）已知向量 , , a b c 是同一平面的三个向量，其中 1, 1 a ． （1）若 3 2 c ，且 a 与 c 的方向相反，求 c 的坐标； （2）若 b 是单位向量，且 2 a a b ，求 a 与 b 的夹角 ． 25.（2020·山西运城·月考）已知 1,cos a x ，1,sin3b x ， 0, x . （1）若// a br r，求sin coscos sinx xx x的值； （2）若 ab ，求 cos sin x x 的值． 26．（2020·辽宁大连·高一期末）如图，平行四边形 ABCD 中，已知2 AE EB ，3 BF FC ，设 ABa ，AD b ，
（1）用向量 a 和 b 表示向量 DE ， AF ； （2）若 DOxDE ， AO yAF ，求实数 x 和 y的值. 27．（2020·湖南娄星·娄底一中高一期末）如图，在平行四边形 ABCD 中， , E F 分别是 , BC DC 上的点，且满 , 2 BE EC DF FC ，记 ABa ， AD b ，试以 , a b 为平面向量的一组基底.利用向量的有关知识解决下列问题；
（1）用 , a b 来表示向量 BF ； （2）若 3, 2 a b ，且 3 BF ，求 DE ；
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