第六章 《平面向量》 综合测试 一、单选题 1．（2020·甘肃会宁·期末）设 2,3 AB ， 1,4 BC ，则 AC 等于（
）
A． 1, 7
B． 1,7
C． 1, 7
D． 1,7
【答案】B 【解析】
2,3 1,4 1,7 AC AB BC ． 故选：B. 2． （2020·河南新乡县一中期末（文））若四边形 ABCD中，满足0, 0 AB CD AB BC 则该四边形是（
）
A．菱形 B．直角三角形 C．矩形 D．正方形 【答案】C 【解析】
0 AB CD , // AB CD ，且 AB CD ， 四边形 ABCD 是平行四边形， 又0 AB BC AB BC ， 四边形 ABCD 是矩形， 故选：C. 3．（2020·甘肃会宁·期末）已知 1,0 a ， 2,1 b r，向量 kab 与3 a b 平行，则实数 k 的值为（
）
A．117 B．117
C．13
D．13 【答案】C 【解析】
1,0 2,1 2, 1 ka b k k ，即 2, 1 7,3 k ，
∴12 73,1 3 13kk . 故选：C. 4．（2020·临猗县临晋中学高一月考）在△ABC 中，若 a＝2，b＝23 ，A＝30°，则 B＝（
）
A．60° B．60°或 120° C．30° D．30°或 150° 【答案】B 【解析】
由正弦定理可得 sinB＝ bsin Aa＝2 3 sin302＝32. 因为 0＜B＜180°，所以 B＝60°或 120°， 故选：B 5．（2020·河南商丘·期末）已知 2,3 OA ， 3, OB y ，若 OAOB ，则 AB 等于（
）
A．2 B．26
C． 5 2
D．5 152 【答案】B 【解析】
∵ OAOB ，∴ 6 3 0 OA OB y + ， ∴ 2 y ．∴ 3,2 2,3 5, 1 AB OB OA ， ∴ 2 25 1 26 AB ． 故选：B． 6．（2020·湖北期末）已知非零向量 a ， b 满足 | | a b |=| ，则“ 2 2 a b a b ”是“ a b ”的（
）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解: 【答案】C 【解析】
2 22 2 2 2| | | | 2 2 2 2 4 4 4 4 a b a b a b a b a a b b a a b b = = = ，
| | | | 0 a b ，∴等价于 0 a b a b ， 故选：C. 7．（2020·广东龙岗·期末）已知非零向量 , m n 满足 4 3 m n ，1cos< ,3m n .若 ( ) n tm n ，则实数 t的值为（
）
A．4 B．–4 C．94 D．–94 【答案】B 【解析】
( ) n tm n ， ( ) 0 n tm n ， 20 tn m n \ ? =， 则2cos< , 0 t n m m n n ? + = ， 4 3 m n ，1cos< ,3m n ， 23 104 3t n n n \ 鬃 + = ，解得 4 t . 故选：B. 8．（2020·河南商丘·期末）若两个向量 a ， b 的夹角是23， a 是单位向量， | | 2 b ，2 c a b ，则向量 c与 b 的夹角为 (
)
A．6 B．3 C．23 D．34 【答案】B 【解析】
两个向量 a ， b 的夹角是23， a 是单位向量， | | 2 b ， 21 2 cos 13a b ． 2 c a b ，2 2 2| | (2 ) 4 4 4 4 4 2 c a b a a b b ． 2(2 ) 2 2 4 2 c b a b b a b b ． 设向量 c 与 b 的夹角为 ，[0 ，] ，
则2 1cos2 2 2 | | | |c bc b ，3 ， 故选：
B ． 9．（2020·黑龙江道里·哈尔滨三中三模（文））已知 ABC 中，长为 2 的线段 AQ 为 BC 边上的高，满足：sin sin AB B AC C AQ ，且12AH AC ，则 BH （
）
A．4 77 B． 4 7
C．4 33 D． 2 7
【答案】D 【解析】
分别在 AB 、 AC 上取点 E 、 F ，使得 2 AE AF AQ ，连接 QE 、 QF 、 BF ，如图所示：
线段 AQ 为 BC 边上的高， sin AB B AQ ， sin AC C AQ ， sin AB B AE ，sin AC C AF ， AE AF AQ ， 由平面向量加法的平行四边形法则可得 / / AE QF ， / / AF QE ， 四边形 AEQF 为菱形， AQ 平分角 BAC ，BAF 120 ， ABAC ， Q 为 BC 的中点， E 、 F 分别为 AB 、 AC 的中点， 2 2 4 AB AF AQ ， 又12AH AC ， 点 H 为 AC 的中点，即与点 F 重合， 在 ABF 中，2 2 2 22 cos 16 4 8 28 BH BF AB AF AB AF BAF , 2 7 BH . 故选：D. 10．（2020·湖北东西湖·华中师大一附中其他（文））在矩形 ABCD 中， 3 AB ， 4 AD ，点 P 是以点 C 为圆心，2 为半径的圆上的动点，设 APAB AD uuur uuur uuur，则 的最小值为（
）
A．1 B．76 C．2 D．83 【答案】B 【解析】
如图，建立平面直角坐标系，故可得 3,4 C ， 0,0 , 3,0 , 0,4 A B D ，
故点 P 在圆 2 2: 3 4 4 C x y 上， 设 2cos 3,2sin 4 P ， 3,0 , 0,4 AB AD ， 又 APAB AD uuur uuur uuur，所以2cos 3 32sin 4 4 ， 从而 2 1 5 7cos sin 2 sin 23 2 6 6 ， 故选：B. 二、多选题 11．（2020·山东泰安·期末）下列各式中，结果为零向量的是（
）
A． ABMB BO OM B． ABBC CA C． OAOC BO CO D． ABAC BD CD 【答案】BD 【解析】
对于选项 A ：
ABMB BO OM AB ，选项 A 不正确； 对于选项 B ：
0 AB BC CA AC CA ，选项 B 正确； 对于选项 C ：
OAOC BO CO BA ，选项 C 不正确； 对于选项 D ： 0 AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r 选项 D 正确.
故选：BD 12．（2020·山东泰安·高三三模）已知向量 2, 1 , 3,2 , 1,1 a b c r r r，则（
）
A．/ / a b
B． a bc
C． ab c D．5 3 c a b 【答案】BD 【解析】
由题意 2 2 ( 3) ( 1) 0 ，A错； 1,1 , 1 1 0 a b a b c a b c ，故 .B 正确，C错误； 5 3 a b r r5(2, 1) 3( 3,2) (1,1) c ，D正确． 故选：BD 13．（2020·山东济南·高一期末）已知 M 为 ABC 的重心， D 为 BC 的中点，则下列等式成立的是（
）
A．1 12 2AD AB AC
B．0 MA MB MC C．2 13 3BM BA BD
D．1 23 3CM CA CD
【答案】ABD 【解析】
如图，根据题意得 M 为 AD 三等分点靠近 D 点的点. 对于 A选项，根据向量加法的平行四边形法则易得1 12 2AD AB AC ，故 A正确； 对于 B 选项，2 MB MC MD ，由于 M 为 AD 三等分点靠近 D 点的点，2 MA MD ，所以0 MA MB MC ，故正确； 对于 C 选项， 2 2 1 2=3 3 3 3BM BA AD BA BD BA BA BD ，故 C 错误； 对于 D选项， 2 2 1 23 3 3 3CM CA AD CA CD CA CA CD ，故 D正确. 故选：ABD
14．（2020·山东临沂·高三一模）在 ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 2 3 b ， 3 c ，3 A C ，则下列结论正确的是（
）
A．3cos3C B．2sin3B C． 3 a
D． 2ABCS
【答案】AD 【解析】
3 A C ，故 2 B C ，根据正弦定理：sin sinb cB C ，即 2 3sin3 2sin cos C C C ， sin 0 C ，故3cos3C ，6sin3C ，2 2sin sin2 2sin cos3B C C C . 2 2 22 cos c a b ab C ，化简得到24 3 0 a a ，解得 3 a 或 1 a ， 若 3 a ，故4A C ，故2B ，不满足，故 1 a . 1 1 6sin 1 2 3 22 2 3ABCS ab C △. 故选：
AD . 三、填空题 15． （2020·河南新乡县一中期末）如图，在ABC 中， D 为 AB 的中点，2 DE EC ，若 BE xAB yAC ，则 xy ______.
【答案】32
【解析】
1 2 1 2 5 22 3 2 3 6 3BE BD DE AB DC AB AC AD AB AC ， 所以5 2 36 3 2x y . 故答案为：32 . 16． （2020·福建三模（文））设 ABC 内角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c.已知 (4)cos cos a c B b C ，则 cosB ______． 【答案】14 【解析】
由 (4 )cos cos a c B b C 及正弦定理， 得 (4sin sin )cos sin cos A C B B C ， 即 4sin cos sin( ) sin A B B C A ，因为 (0, ) A ， sin 0 A ， 所以1cos4B
故答案为：14 17．（2020·新疆二模（理））在 ABC 中， 45 C ， 4 AB ，D为 BC 边上的点，且 13 AD ， 3 BD ，则 AC ________. 【答案】
2 6
【解析】
如图，
∵ 4 AB ， 13 AD ， 3 BD ，
在△ ABD 中，余弦定理2 2 216 9 13 1cos2 2 4 3 2AB BD ADBAB BD ， ∵ 0 π B
∴3sin2B ． 由正弦定理：sin sinAC ABB C ， 可得：34 2 2 62AC , 故答案为：
2 6 ． 四、双空题 18．（2020·浙江衢州·高一期末）已知 ( 2,3) a ， ( 1,1) b k ，若/ / a b ，则 k ________；若 a b ，则 k ________. 【答案】13
52
【解析】
/ / a b ， 2 3( 1) 0 k ，解得13k ； a b ， 2( 1) 3 0 a b k ，解得52k ． 故答案为：13；52． 19． （2020·台州市书生中学高二期末）在ABC 中，6A ，A 的角平分线 AD交 BC 于点 D，若2 AB ，6 AC ，则， BC _______， AD _______． 【答案】2
3
【解析】
在 ABC 中，由余弦定理，
2 2 232 cos 2 6 2 2 6 22BC AB AC AB AC A ，所以 BC 2 ； 所以 ABC 为等腰三角形， 120 B ， 30 A C ， 在 ADC 中， 15 135 ADC B ， 由正弦定理，sin sinAD ACC ADC，即6sin30 sin135AD ，解得 AD 3 . 故答案为：2 ； 3
20．（2020·浙江金华·高二期末）已知：
| | 2 a ， ( 1,1) b ， , 60 a b ，则 | | a b ________；若3a kb 与 b 垂直，则 k ________. 【答案】2
32
【解析】
因为 | | 2 a ， ( 1,1) b ， , 60 a b ，所以2 b ，12 2 12a b
所以 22 22 2 2 2 2 a b b a a b ，所以 | | 2 a b
因为 3akb 与 b 垂直，所以 3 0 a kb b ，即23 0 a b kb 所以 3 2 0 k ，解得32k =
故答案为：2 ；32 21．（2020·浙江省宁海中学零模）如图，在 ABC 中，点 D在线段 AB 上，若 2 2 AD DC DB ，则AC BC 的最大值是__________；此时 sin DAC _____.
【答案】9 22
74
【解析】
设 ADC ，则 BDC ， 所以在 ADC 中，2 2 22 cos 8 8cos AC AD CD AD CD ， 在 BDC 中， 2 2 22 cos 5 4cos BC BD CD BD CD ， 所以 2 2 28 8cos 5 4cos 32cos 8cos 40 AC BC
21 8132 cos8 2 ， 所以当1cos8 时，2 2AC BC 取最大值812， 所以 AC BC 的最大值是9 22； 此时28 8cos 9 AC 即 3 AC ， 所以在 ADC 中，2 2 29 4 4 3cos2 2 3 2 4AC AD CDDACAC AD ， 由 0, DAC 可得27sin 1 cos4DAC DAC . 故答案为：9 22；74. 五、解答题 22．（2020·嘉祥县第一中学高一月考）
已知 ABC 的角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a 、 b 、 c ，设向量 ( , ) m a b ， (sin , n B
sin ) A ， ( 2, 2) p b a . （1）若 // m n ，求证：
ABC 为等腰三角形； （2）若 m p ，边长 2 c ，角π3C ，求 ABC 的面积. 【答案】（1）见解析（2）
3
【解析】
⑴因为 ，所以 sin sin a A b B ，即 · ·2 2a ba bR R ,其中 R 是 ABC 的外接圆半径， 所以 a b ，所以 ABC 为等腰三角形. ⑵因为 m p ，所以 2 2 0 a b b a .
由余弦定理可知， 22 24 3 a b ab a b ab ，即 23 4 0 ab ab
解方程得：
4 ab （ 1 ab 舍去）
所以1 1sin 4 sin 32 2 3S ab C . 23．（2020·烟台市教育科学研究院期末）已知点 ,2 A m， 1,1 B ， 2,4 C . （1）若 | | CA CB 最小，求实数 m 的值：
（2）若 CA 与 CB 夹角的余弦值为55，求实数 m 的值. 【答案】（1）
3 m ；（2）
4 m 或 12 m . 【解析】
（1）由题意， ( 2, 2) CA m ， ( 1, 3) CB
于是 ( 3, 5) CA CB m ， 所以2| | ( 3) 25 5 CA CB m ， 所以 | | CA CB 的最小值为 5， 此时 3 m ； （2）由28cos ,| | | |( 2) 4 10CA CB mCA CBCA CBm ， 得28 55( 2) 4 10mm ， 化简得28 48 0 m m ，解得 4 m 或 12 m . 24．（2019·山东省临沂第一中学月考）
的内角 的对边分别为 , , a b c ，已知2sin( ) 8sin2BA C ． （1）求 cosB ； （2）若 6 a c ， ABC 面积为 2，求 b ． 【答案】（1）1517；（2）2． 【解析】
（1）
2sin 8sin2BA C ，∴ sin 4 1 cos B B ，∵2 2sin cos 1 B B ，
∴ 2216 1 cos cos 1 B B ，∴ 17cos 15 cos 1 0 B B ，∴15cos17B ； （2）由（1）可知8sin17B ， ∵1sin 22ABCS ac B ，∴172ac ， ∴ 22 2 2 2 2 2 217 152 cos 2 15 2 15 36 17 15 42 17b a c ac B a c a c a c ac ， ∴ 2 b ． 25．（2020·山东高三月考）在① 3 sin cos a c A a C ，② 2 sin 2 sin 2 sin a b A b a B c C 这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答． 已知 ABC 的角 A ， B ， C 对边分别为 , , a b c ， 3 c ，而且______． （1）求 C ； （2）求 ABC 周长的最大值． 【答案】（1）3C ；（2）
3 3
【解析】
(1)选①: 因为 3 sin cos a c A a C , 所以 sin 3sin sin sin cos A C A A C , 因为 sin 0 A ,所以 3sin cos 1 C C ,即1sin6 2C , 因为 0 C ,所以56 6 6C ,所以6 6C ,即3C ; 选②: 因为 2 sin 2 sin 2 sin a b A b a B c C , 所以 22 2 2 a b a b a b c ,即2 2 2a b c ab , 所以2 2 2cos12 2a b cCab , 因为 0 C ,所以3C ;
(2)由(1)可知:3C , 在 ABC 中,由余弦定理得2 22 cos 3 a b ab C ,即2 23 a b ab , 所以 2233 34a ba b ab , 所以 2 3 a b ,当且仅当 a b 时等号成立, 所以 3 3 a b c ,即 ABC 周长的最大值为 3 3 . 26．（2020·山东潍坊·高一期末）从①4B ，②3 2sin a B 这两个条件中选一个，补充到下面问题中，并完成解答.已知 ABC 中， a ， b ， c 分别是内角 A ， B ， C 所对的边，且2 2 2sin sin sin sin sin A B C B C . （1）求角 A ； （2）已知 6 b ，且________，求 sinC 的值及 ABC 的面积.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
【答案】（1）23 ；（2）6 24，9 3 34. 【解析】
（1）因为2 2 2sin sin sin sin sin A B C B C ， 由正弦定理得2 2 2a b c bc ， 即2 2 212 2b c abc ， 得1cos2A ， 又 0 A ， 所以23A ； （2）选择①时：4B ，23A ， 故6 2sin sin( ) sin cos cos sin4C A B A B A B ；
根据正弦定理sin sina bA B ，故 3 a ， 故1 9 3 3sin2 4S ab C . 选择②时：3 2sin a B ，根据正弦定理sin sina bA B ， 故6sin 323 2sinBB， 解得2sin2B ， 6 2sin sin( ) sin cos cos sin4C A B A B A B ， 根据正弦定理sin sina bA B ，故 3 a ， 故1 9 3 3sin2 4S ab C . 27．（2020·山东高一期末）如图，在直角△ABC 中，点 D为斜边 ...
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